工程光学讲稿(电磁)

1、第九章第九章光的电磁理论基础光的电磁理论基础第一节第一节光的电磁性质光的电磁性质一、电磁场的波动性一、电磁场的波动性（一）麦克斯韦方程组（一）麦克斯韦方程组（Maxwellsequation）1、积分形式：、积分形式： 0 dtdDIHdldtdEdlBdsQDdsllss 第一式为电场高斯定理第一式为电场高斯定理:在如何电场中，通过闭合曲面的电位移通量等于该曲面所包围的总电量。在如何电场中，通过闭合曲面的电位移通量等于该曲面所包围的总电量。第二式为磁场高斯定理第二式为磁场高斯定理:表示穿过任意闭合曲面的磁感应通量等于零。表示穿过任意闭合曲面的磁感应通量等于零。第三式为法拉第电磁感应定律第三式

2、为法拉第电磁感应定律:表示沿任何闭合曲线的电场强度的线积分等于通过该闭合曲线所包围面积的磁通量的变表示沿任何闭合曲线的电场强度的线积分等于通过该闭合曲线所包围面积的磁通量的变化率的负值。化率的负值。第四式为安培全电流定律第四式为安培全电流定律表示磁场强度沿闭合环路的积分等于该环路所包围的电流强度的代数和。表示磁场强度沿闭合环路的积分等于该环路所包围的电流强度的代数和。2、微分形式：、微分形式：为封闭曲面内的电荷密度为封闭曲面内的电荷密度;为闭合回路上的传导电流密度为闭合回路上的传导电流密度;为位移电流密度。为位移电流密度。D0BtDjHzzyyxx000jtD微分算符微分算符tBE( (二二)

3、 ) 物资方程物资方程当电磁场在介质中传播时，介质就会对电磁场带来影响，为描述这种影响，当电磁场在介质中传播时，介质就会对电磁场带来影响，为描述这种影响，引入物质方程。引入物质方程。：电导率：电导率：介电常数：介电常数=0rr：相对介电常数：相对介电常数：磁导率：磁导率=0rr：相对磁导率：相对磁导率在静止、各向同性的均匀介质中，上述三个量均为常数。在静止、各向同性的均匀介质中，上述三个量均为常数。真空中，真空中，0，08.54210-12法法/米，米，0410-7亨亨/米米（三）电磁场的波动性（三）电磁场的波动性对于电磁场远离辐射源：对于电磁场远离辐射源：=0,j=0,=0,j=0,即不存在

4、传导电流，不存在自由电荷，这就即不存在传导电流，不存在自由电荷，这就要求介质的电导率要求介质的电导率。此时有：。此时有：EjEDHB0 D0 E0 BtBE0tE-B或或自由空间的麦克斯韦方程组。自由空间的麦克斯韦方程组。在矢量分析（场论）理论中，有公式：在矢量分析（场论）理论中，有公式：若分别对下列方程两式取旋度有：若分别对下列方程两式取旋度有：同理：同理：上两式就是波动的微分方程的标准形式。上两式就是波动的微分方程的标准形式。FFF)()()(01 0 )E( 0E )()( )( 22222222222 tEvEtEEEEEEtEBtE 012222tBvB 1 令令tBEtE-B称为电

5、磁波传播速度。称为电磁波传播速度。表明表明和和是时间和空间坐标的函数，而且其随时间和空间坐标的变化过程遵是时间和空间坐标的函数，而且其随时间和空间坐标的变化过程遵从波动的规律。从波动的规律。当电磁波在真空中传播时，其传播速度为：当电磁波在真空中传播时，其传播速度为：这个理论值与实验测定值是非常接近。这个理论值与实验测定值是非常接近。在介质中，引入相对介电常数在介质中，引入相对介电常数r=/0和相对磁导率和相对磁导率r=/0电磁波在真空中的速度电磁波在真空中的速度c与介质中的速度与介质中的速度v的比值的比值n为介质对电磁波的折射率为介质对电磁波的折射率1vEBs/m.c8712001099794

6、2104108542811 rrrrrrcv 0000111rrvcn 实验测得真空中的光速为：实验测得真空中的光速为：=c2.997924582.99792458+108m/s二、平面电磁波及其性质二、平面电磁波及其性质（一）波动方程的平面波解（一）波动方程的平面波解如果在垂直于传播方向的平面上，在任意时刻，在任意空间位置，其各点幅如果在垂直于传播方向的平面上，在任意时刻，在任意空间位置，其各点幅值和相位都相同的波，称为平面电磁波。值和相位都相同的波，称为平面电磁波。1.1.方程求解方程求解: :设光沿设光沿Z轴正向传播，则平面波轴正向传播，则平面波的和的和仅是仅是z和和t的函数的函数:xy

7、zv)1( 0y 0 x 22222222222222tEEzEEzEyExEE ：由由拉拉普普拉拉斯斯运运算算符符可可得得求微分方程的通解：求微分方程的通解：f1 1和和f2 2分别以（分别以（z/vz/vt)t)，(z/v(z/vt)t)为自变量的函数，各代表以相同速度为自变量的函数，各代表以相同速度v v沿沿z z轴，正负方向传播的平面波，通常取轴，正负方向传播的平面波，通常取z z轴正方向。轴正方向。（二）波动方程的平面简谐波解（二）波动方程的平面简谐波解（Simple Harmonic WaveSimple Harmonic Wave）：）： 由上式得到的平面波的通解，具体的波动形式

8、将取决于波源的形式，取最由上式得到的平面波的通解，具体的波动形式将取决于波源的形式，取最简单的简谐振动作为波动方程的特解：简单的简谐振动作为波动方程的特解：0122222tEvzE0122222tBvzB)()()()(2121tvzftvzfBtvzftvzfE )( ; )(tvzfBtvzfE 波动方程可化为：波动方程可化为：电场、磁场的振幅矢量电场、磁场的振幅矢量 角频率角频率 位相，表示在时刻位相，表示在时刻t t，在，在z z处的电磁场的振动状态。处的电磁场的振动状态。)(cos),(tvzAtzE)(cos),(tvzAtzBA A)(tvz(三三)平面波的参数平面波的参数波的频

9、率和周期波的频率和周期角频率：角频率：周期周期：T 2 fT1 Tf 22 波长与周期波长与周期)( )( 0真真空空中中介介质质中中cTTv kn0 介质中的波长与真空中波长的关系介质中的波长与真空中波长的关系波数波数k k、波矢量、波矢量波数波数k: k: 长为长为22距离内包含的波长数。距离内包含的波长数。波矢量波矢量vk 20kkk k0：为表示波传播方向的单位矢量。为表示波传播方向的单位矢量。引入波矢量后，波动方程可以写成下式：引入波矢量后，波动方程可以写成下式：沿空间任一方向沿空间任一方向k传播的平面波：传播的平面波：E = Acos(kr-t) E = Acosk(xcos+yc

10、os+zcos)-t任一方向传播得平面波任一方向传播得平面波平面波的复数形式：平面波的复数形式：E = Aexp j ( kr-t )复振幅，表示光波在空间的分布，在只关心场振复振幅，表示光波在空间的分布，在只关心场振动的空间分布（干涉、衍射）时常用。动的空间分布（干涉、衍射）时常用。（四）平面电磁波的性质：（四）平面电磁波的性质： 1 1、横波特性：电矢量和磁矢量的方向均垂直波的传播方向。、横波特性：电矢量和磁矢量的方向均垂直波的传播方向。 2 2、E E、B B、k k互成右手螺旋系。互成右手螺旋系。 3 3、E E和和B B同相位。同相位。三三、球面波和柱面波：、球面波和柱面波：1、球面

11、波：任意时刻波振面为球面的、球面波：任意时刻波振面为球面的光波波动方程光波波动方程tjtjrkjtrkjeEeeAeAE)(rkjeAE)()(100EkEkvBvBE1k)(exp1tkrirAE2、柱面波是具有无限长圆柱形波面的波。、柱面波是具有无限长圆柱形波面的波。四、光波的辐射和辐射能四、光波的辐射和辐射能光波在传播过程中，伴随着能量的传播，以光波在传播过程中，伴随着能量的传播，以s表示电磁波的能流密度矢量，表示电磁波的能流密度矢量，它与它与E、H有如下关系：有如下关系：)exp(1ikrrAE )exp(1ikrrAE)(cos ) ; 1( 1sin11 09B )BH( 1 22

12、20tkzAEBBEvEBEBEBESEBEHES 垂垂直直)(exptkrirAE 发散的球面波：发散的球面波：会聚的球面波：会聚的球面波：对于人眼或探测系统都无法接收到对于人眼或探测系统都无法接收到S的瞬时值，只能接收一个周期的平均值的瞬时值，只能接收一个周期的平均值在物理学中，辐射强度的平均值在物理学中，辐射强度的平均值S称为光强以称为光强以I I表示表示所以光强所以光强I与平面波幅值与平面波幅值A的平方成正比，对于同一介质中，两场点的相对光强的平方成正比，对于同一介质中，两场点的相对光强，可用，可用I=A2第二节第二节光波的叠加光波的叠加一、波的叠加原理：一、波的叠加原理：几个波在相遇

13、点产生的合振动是各个在该点产生振动的矢量和。几个波在相遇点产生的合振动是各个在该点产生振动的矢量和。需要注意：需要注意：1.叠加结果为光波振幅的矢量和，而不是光强的和。叠加结果为光波振幅的矢量和，而不是光强的和。2.光波传播的独立性：两光波相遇后又分开，每个光波仍然保持原有的特性光波传播的独立性：两光波相遇后又分开，每个光波仍然保持原有的特性（频率、波长、振动方向、传播方向等）（频率、波长、振动方向、传播方向等）3.叠加的合矢量仍然满足波动方程的通解。一个实际的光场是许多个简谐波叠叠加的合矢量仍然满足波动方程的通解。一个实际的光场是许多个简谐波叠加的结果。加的结果。TAdttkzTAS0222

14、21)(cos1221AI)()()(21pEpEpE二、两个同频率、振动方向相同的单色光波的叠加二、两个同频率、振动方向相同的单色光波的叠加（一）代数加法（一）代数加法 设光源设光源s s1 1，s s2 2发出的单色光波在发出的单色光波在空间任意点空间任意点p p相遇，则：相遇，则： E1=a1cos(kr1-t) E2=a2cos(kr2-t) 式中式中a1 1, ,a2 2分别是两束光波在分别是两束光波在p点点的振幅。令的振幅。令1 1= =kr1 1,2 2= =kr2 2，则根据叠加原理，则根据叠加原理，p点的合振幅为：点的合振幅为： E = E1+E2 = a1cos(1t）a2

15、cos(2t）由三角函数公式可得：由三角函数公式可得： E=Acos(- t)式中式中 s1s2pr1r22211221112212221coscossinsinarccos)cos(2 aaaatgaaaaA （二）振幅矢量加法（二）振幅矢量加法12Aa1a2o)tcos(aE)tcos(aE222111 设两个矢量在设两个矢量在ox的投影的运动的投影的运动为简谐振动为简谐振动x)tcos(AE 合振动方程为：合振动方程为：合振动的幅值合初相角为：合振动的幅值合初相角为：2211221112212221coscossinsinarccos)cos(2 aaaatgaaaaA E1E2E(三）

16、、复函数的叠加：三）、复函数的叠加：设有两个振动方向相同，频率相同的复函数的简谐振动方程为：设有两个振动方向相同，频率相同的复函数的简谐振动方程为：E1=a1expi(t+1）E2=a2expi(t+2）由叠加原理可知：由叠加原理可知：E=E1+E2= a1expi(t+1）+a2expi(t+2）=expit( a1expi1+a2expi2) 令令 a1expi1+a2expi2Aexpi E= expitAexpi=Aexpi(t+) 复数复数E与其共轭的复数与其共轭的复数E*可表示为：可表示为： E=Aexpi(t+) E*=Aexp-i(t+) 由复数性质：由复数性质：A2=EE*=

17、Aexpi(t+) Aexp-i(t+) = expit Aexpi Aexp(-i) exp(-it) =(a1expi1+a2expi2 )(a1exp(-i1)+a2exp-(i2)=a12+a22+a1a2expi(12）exp(-i(12)由尤拉公式：由尤拉公式：expi(12)+exp-i(12)=2cos(12) 上式得上式得：A2= a12+a22+2a1a2cos(12)（四）对叠加结果的分析：（主要对象为合成的光强）（四）对叠加结果的分析：（主要对象为合成的光强）I= 合成光强的大小取决于位相差合成光强的大小取决于位相差。若若，设，设22112211coscossinsin

18、 aaaatg )cos(2122122212aaaaAaaa21)(122cos4)cos1 (22002IIAI)()(1212rrk)n (rrnrrnn )(2)(21212 n单色光在传播介质中的波长（单色光在传播介质中的波长（n/n）真空中的波长真空中的波长n介质的折射率。介质的折射率。光程差光程差n(rn(r2 2-r-r1 1) )是分析叠加结果的重要物理量。是分析叠加结果的重要物理量。当：当：2m，n(rn(r2 2- r- r1 1) )m m 有极大有极大 I = Imax = 4I0 (m=1,1，2，3，）(2m+1)，(2m+1) m+1) /2极小极小I = Im

19、in= 0 (m=0,1，2，3，）三、驻波：三、驻波：两个频率相同、振动方向相同而传播方向相反的单色光波的叠加将形成驻两个频率相同、振动方向相同而传播方向相反的单色光波的叠加将形成驻波。波。垂直入射的光波和它的反射光波之间将形成驻波。垂直入射的光波和它的反射光波之间将形成驻波。设反射面设反射面z=0的平面，假的界面有很高的反射比，入射波和反射波的幅值的平面，假的界面有很高的反射比，入射波和反射波的幅值相等。相等。)cos()cos(21tkzaEtkzaE式中，式中，是反射时相位变化。是反射时相位变化。驻波驻波为不同的为不同的z处的驻波振幅处的驻波振幅波腹的位置：波腹的位置：波节的位置：波节

20、的位置：)2cos()2cos(221tkzaEEE)2cos(2kza, 3 , 2 , 1,2nnkz, 3 , 2 , 1,)21(2nnkz四、两个频率相同、振动方向垂直的单色光波的叠加四、两个频率相同、振动方向垂直的单色光波的叠加（一）合成光波偏振态的分析（一）合成光波偏振态的分析光源光源s s1 1和和s s2 2发出两个频率发出两个频率相等而振动方向互相垂直相等而振动方向互相垂直的单色光波，其振动方向的单色光波，其振动方向平行平行x x轴和轴和y y轴，并沿轴，并沿z z轴轴方向传播。显然在方向传播。显然在p p点处点处产生的光振动可写为：产生的光振动可写为：（1）（2）由（由（

21、1）得：）得：Ex/a1 = cos(kz1)cost + sin(kz1)sint (3)由（由（2）得）得:Ey/a2 = cos(kz2)cost + sin(kz2)sint (4)将（将（3）cos(kz2)（4）cos(kz1)得：得： )cos()cos(2211tkzaEtkzaEyxs1s2z1z2pyx(6) )sin(cos)sin()sin(122221kzkztkzaEkzaEyx )(sin)cos(2)()(12212212221kzkzkzkzaaEEaEaEyxyx 2212222121221221222212sincos2)(sin)cos(2aaEEaEa

22、EaaEEaEaEyxyxyxyx)()(1212zzk(5) )sin(sin)cos()cos(122221kzkztkzaEkzaEyx 同理：同理： 将将(5)2+(6)2得：得：设设1= kz1, 2= kz2,合振动的大小和方向随时间变化，合振动矢量末端运动合振动的大小和方向随时间变化，合振动矢量末端运动轨迹方程为：轨迹方程为：可见其轨迹一般是椭圆，椭圆偏振光可见其轨迹一般是椭圆，椭圆偏振光由上式可知椭圆的形状取决于两叠加光波的振幅比由上式可知椭圆的形状取决于两叠加光波的振幅比a2/a1和相位差和相位差，合振动，合振动的不同偏振状态如图：的不同偏振状态如图：分析：分析：1、当、当0

23、或或2时，时，线偏振光线偏振光2、当、当时的奇数倍，时的奇数倍，线偏振光线偏振光3、当、当时，时，正椭圆正椭圆xyEaaE12xyEaaE121222212aEaEyx2 当当a1=a2=a时：时：合成矢量末端运动轨迹是一个圆偏振光合成矢量末端运动轨迹是一个圆偏振光。当当任意取值时，任意取向的椭圆偏振光任意取值时，任意取向的椭圆偏振光。左旋光与右旋光：左旋光与右旋光：222aEEyx1、右旋光：迎着光的传播方向观察，合矢量顺时针方向旋转。2、左旋光：迎着光的传播方向观察，合矢量逆时针方向旋转。五、两个不同频率的单色光波的叠加五、两个不同频率的单色光波的叠加 讨论两个振动方向相同，振幅相等、且在

24、同一方向传播，讨论两个振动方向相同，振幅相等、且在同一方向传播，但频率接近的单色光波的叠加，其结果产生光学上的但频率接近的单色光波的叠加，其结果产生光学上的“拍拍”现象。现象。（一）光学拍（一）光学拍两个不同频率的单色光波两个不同频率的单色光波)cos()cos(2211tkzaEtkzaE 利用叠加原理，得合成波利用叠加原理，得合成波)cos()cos(221tzktzkaEEEmm 式中式中2/ )(212/ )(21kkk平均角频率平均角频率2/ )(21m平均波数平均波数2/ )(21kkkm调制频率调制频率调制波数调制波数)cos(2tkaAmm令令)cos(tzkAE 合成波是一个

25、频率为合成波是一个频率为 而振幅受到调制的波，即振幅随而振幅受到调制的波，即振幅随时间和位置在时间和位置在-2a-2a与与2a2a间变化。间变化。 合成的振动相当于振幅随时间缓慢变化的简谐振动。合成的振动相当于振幅随时间缓慢变化的简谐振动。则则toxx1x221xxx 当当m21很小很小振幅变化缓慢，而光波的频率很高，振幅变化缓慢，而光波的频率很高，E E变化极快。变化极快。合成波的强度与合成波的强度与A A2 2成比例成比例)(2cos1 2)(cos42222tzkatzkaAImmmm 合成波的强度随时间和位置在合成波的强度随时间和位置在0 04a4a2 2之间变化，这种之间变化，这种强

26、度时大时小的现象称为拍。强度时大时小的现象称为拍。 拍频等于拍频等于 ，即等于振幅调制频率的两倍，或等，即等于振幅调制频率的两倍，或等于两叠加单色光波频率之差。于两叠加单色光波频率之差。m2图图9-35频率不同的两个单色光波的叠加频率不同的两个单色光波的叠加a)两个单色波两个单色波b)合成波合成波c)合成波的振幅变化合成波的振幅变化d)合成波的强度变化合成波的强度变化（二）群速度和相速度（二）群速度和相速度 单色光波的传播速度指它的等相面的传播速度，即相速度单色光波的传播速度指它的等相面的传播速度，即相速度而光动方程所确定的光波速度而光动方程所确定的光波速度v vc/nc/n反映的是光波波面相位的反映的是光波波面相位的传播速度，也称相速。传播速度，也称相速。 合成波应包含等相面传播速度和等幅面传播速度两部分。合成波应包含等相面传播速度和等幅面传播速度两部分。相速度，由相位不变条件相速度，由相位不变条件