近世代数习题解答(张禾瑞)二章

1、近世代数习题解答第二章群论1群论1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?证不是一个群,因为不适合结合律.2. 举一个有两个元的群的例子.证G1,1对于普通乘法来说是一个群.3. 证明,我们也可以用条件1,2以及下面的条件4,5来作群的定义:4.G至少存在一个右单位元e,能让aea对于G的任何元a都成立5.对于G的每一个元a,在G里至少存在一个右逆元a1,能让aa1e证(1)一个右逆元一定是一个左逆元，意思是由aa1e得a1ae因为由4G有元a能使a1ae所以(a1a)e(a1a)(a1a)a1(aa1)aa1eaa1ae即a1ae(2) 一个右恒等元e一定也是一个左恒等元，意即由ae

2、a得eaa11ea(aa)aa(aa)aea即eaa这样就得到群的第二定义.(3) 证axb可解1取xa1ba(a1b)(aa1)bbeb这就得到群的第一定义.反过来有群的定义得到4,5是不困难的.2单位元,逆元,消去律1. 若群G的每一个元都适合方程x2e,那么G就是交换群证由条件知G中的任一元等于它的逆元，因此对a,bG有ab(ab)1b1a1ba.2.在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.证(1)先证a的阶是n则1a的阶也是n.ane(a1)nn11(a)ee若有mn使(a1)me即m1m(a)e因而ae1ame这与a的阶是n矛盾.a的阶等于a1的阶(2)a的阶大于2,贝Uaa112右

3、aaae这与a的阶大于2矛盾(3)ab贝Ua1b1总起来可知阶大于2的元a与a1双双出现，因此有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数3.假定G是个数一个阶是偶数的有限群，在G里阶等于2的元的个数一定是奇数.证根据上题知，有限群G里的元大于2的个数是偶数；因此阶2的元的个数仍是偶数，但阶是1的元只有单位元，所以阶2的元的个数一定是奇数.4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的证aG故a，a2，am，an，G由于G是有限群，所以这些元中至少有两个元相等mnnmaa(mn)故aenm是整数，因而a的阶不超过它.a，a和a的阶是不是一定相同？4群的同态假定在两个群G和G的一个同态映射之下，a不一定相同例

4、如G1,G1对普通乘法G，G都作成群，且(x)1(这里x是G的任意元，1是G的元)由可知GsG但1|3J山的阶都是3.22而1的阶是1.5变换群1. 假定是集合的一个非一一变换,会不会有一个左逆元1,使得证我们的回答是回有的A1,2,3,1T121t1212t323t434t5显然是一个非一一变换但2. 假定A是所有实数作成的集合证明所有A的可以写成xaxb,a,b是有理数,a0形式的变换作成一个变换群这个群是不是一个交换群？证(1):xaxbxexdxe(axb)deaxebdea,ebd是有理数ea0是关闭的显然时候结合律a1b0则:xx:axb11/b、:xx()aa而1所以构成变换群又

5、1:xx12:x2x12:x2(x1)故21:x2x11221因而不是交换群3. 假定S是一个集合A的所有变换作成的集合，我们暂时仍用旧符号:aa(a)来说明一个变换证明，我们可以用12：a12(a)12(a)来规定一个S的乘法，这个乘法也适合结合律，并且对于这个乘法来说还是S的单位元.证1:a1(a)2:a2(a)那么12：a12(a)12(a)显然也是A的一个变换.现在证这个乘法适合结合律:（12）3:a（12）3（a）123（a）1(23):a123(a)123(a)故(12)31(23)再证还是S的单位元:aa(a):a(a)(a):a(a)(a)4证明一个变换群的单位元一定是恒等变换

6、。证设是是变换群G的单位元G，G是变换群，故是一一变换，因此对集合A的任意元a，有A的元b，:ba（b）(a)(a)=(b)(b)a(a)a另证(x)1(x)根据1.7.习题3知1(x)x(x)x5. 证明实数域上一切有逆的nn矩阵乘法来说，作成一个群。证G=实数域上一切有逆的nn矩阵11A,BG则B1A1是AB的逆从而A,BG是G的单位元。对矩阵乘法来说，G当然适合结合律且E（n阶的单位阵）故G作成群。6置换群1. 找出所有S3的不能和（；23）交换的元证S3不能和圜）交换的元有（123）,（2爲）,（3；3）这是难验证的2. 把S3的所有的元写成不相连的循环置换的乘积解：S3的所有元用不相

7、连的循环置换写出来是，(12),(13),(23),(123),(132).3.证明：(1)两个不相连的循环置换可以交换(讣21Ik)(ikik1h)证(讣2ik)(iki1i2ikik1im)=(i2i3ik1iIimim1imim1ini1i2(i1i2ikik1ik2imim1inikik2ik3ik1im1in=(扛inikik1ik2imim1i1ik2ik3ik1im1in)(ik1ik咕)(订2i1i2ik)=(i1i2ikikikik1ik22ik3ik1im1ii彳mm1ii.mm1ikik1ik2i1ik2ik3imim1ik1im1inin),故(血ik)(ikim)(i

8、kik)(i1i2ik)(ikik1h)(ij，故(i2ik)(ikik1h).3.证明一个K一循环置换的阶是K.证设(症ik)(i：；ik)i12(i3bk1(hik)i1ik1k(i1ik)(ij设hk,那么h(i1ikiih1ih)(iJ5.证明Sn的每一个元都可以写成(12),(13),(1n)这n1个2循环置换中的若干个乘积。证根据2.6.定理2。Sn的每一个元都可以写成若干不相干循环置换的乘积而我们又能证明(i2ik)(贏川花)(Lik)同时有(hh)(1i1)(1ii)(11),这样就得到所要证明的结论。Clini17循环群1. 证明一个循环群一定是交换群。证G(a)am,anG

9、则aman2假设群的元a的阶是n，证明ar的阶是n这里d(rn)是r和n的最大公因子证因为(r,n)d所以rdr(,ndni，而(nm)13. 假设a生成一个阶n是的循环群G。证明ar也生成G，假如(r,n)1(这就是说r和n互素)证a生成一个阶n是的循环群G，可得生成元a的阶是n，这样利用上题即得所证,或者，由于(r,n)1有srtn1srtnsrtnrnraaaa(a)即a(a)故(a)(a)r4假定G是循环群，并且G与G同态，证明G也是循环群。证有2。4。定理1知G也是群，设G且(a)a(是同态满射)bG则存在bG使(b)bbak因而GsGkk故(ak)a即(b)ak因而ba即?=(?)

10、5假设G是无限阶的循环群，G是任何循环群，证明G与G同态。证i)设G是无限阶的循环群，G(a)G(a)令(a)ass且(asa)aaa(as)(a)所以GsGi令：)设G何而a的阶是n。ah1a当且只当h1nq1k1,0k1n易k1知是G到G的一个满射ah2ah2nq2k20k2n设k1k2nqk则gh)2n(3阳2)kk1k2n(q1q2q)kkqkqk1k2k1k2那么h1ha1a2aaaaaaGsG8子群1找出S3的所有子群证S3=(1),(12),(13),(23),(123),(132)的子群一定包含单位元(1)。i) S3本身及只有单位元(1)都是子群ii) 包含(1)和一个2一循

11、环的集合一定是子群因(1)(ij)(ij),(ij)2(1)H2=(1),(12),H3=(1),(13),H4=(1),(23)亦为三个子群iii)包含(1)及两个3循环置换的集合是一个子群(ijk)2(ijk),(ijk)(ikj)(1)出=(1),(123),(132)是子群，S3有以上6个子群,今证只有这6个子群，iv)包含(1)及两个或三个2循环置换的集合不是子群因(ij)(ik)(ijk)不属于此集合V)若一集合中3循环置换只有一个出现一定不是子群因(ijk)2(ikj)vi)一个集合若出现两个3循环置换及一个2循环置换不是子群因(ij)(ijk)(ik)诚)3循环置换及2循环置换

12、都只有两个出现的集合不是子群因若(ij),(ik)出现则(ij)(ijk0(jk)故S3有且只有6个子群。2证明；群G的两个子群的交集也是G的子群。证出屮2是G的两个子群，H比IH显然非空a,bH则a,b比同时a,bH2因出,出是子群，故ab1比，同时ab1H2所以ab1H1H2H故H是G的子群3取S3的子集S(12),(123),S生成的子群包含哪些个元？一个群的两个不同的子集不会生成相同的子群？证(12)2(1)S(123)2(132)S(12)(123)(13)S(12)(132)(23)S从而SS3群的两个不同的子集会生成相同的子群51 (123)S1生成的子群为(1),(123),(

13、132)52 (132)S2生成的子群为(1),(123),(132)4证明，循环群的子群也是循环群。证G=(a)是循环群，H是G的子群设akH，而Ohk时akH。任意bH则bG因而bammkqrOrkmkqrkqraaaa因amH，kqa(ak)q所以H(ak)是循环群.5.找出模12的剩余类加群的所有子群证剩余类加群是循环群故其子群是循环群G=0,1,11(i)(1)(5)(7)(11)G(ii)H1(0)(iii)(2)(10)即h20,2,4,6,8,103)(3)(9)即H30,3,69(v)(4)(8)即h40,4,8W)(6)即出0,6有且只有以上6个子群.6.假定H是群G的一个

14、非空子集,并且H的每一个元的阶都有限，证明，H作成子群的充要条件:a,bH推出abH证必要性显然充分性a,bH推出abH,(*)所以只证aH推出即可.aH,a的阶有限设为mmam1e即aae所以a1am1由(*)可知am1H，因而a1H这样H作成G的子群.9子群的陪群1. 证明阶是素数的群一定是循环群证：设群G的阶是素数P,则可找到aG而ae,则a的阶p,根据2.9.定理3知np,但p是素数,故,np那么a0,a1,a2ap1是G的P个不同元，所以恰是P的不同元，故np.2. 证明阶是pm的群(p是素数)一定包含一个阶是p的子群.证：设阶是pm的群为G,m是正整数，可取aG,而ae,n1根据2

15、.9.定理3,a的阶是pn而nm,进一步可得ap的阶为p.n1H(ap)是阶为p的G的子群.3. 假定a和b是一个群G的两个元，并且abba，又假定a的阶是m,b的阶n是并且(mn)1证明:ab的阶是mn证ame,bne但b)mnamnbmne.设(ab)re.则(ab)mramrbmrbmrenmr,(m,n)1故nr.(ab)nranrbnremnr,(m,n)1故mr又(m,n)1mnr因此ab的阶是mn.a,x,x来4. 假定是一个群G的元间的一个等价关系，并且对于G的任意三个元说,axaxxx证明与G的单位元e等价的元所作成的集合为H证由于是等价关系，故有ee即eH.a,b,H，则a

16、e,be因而aeaa1,bebb1由题设可得ea1,eb1由对称律及推移律得b1a1再由题设得ab1e即ab1H这就证明了H是G的一个子群.5. 我们直接下右陪集Ha的定义如下：Ha刚好包含G的可以写成ha(hH)G的每一个元属于而且只属于一个右陪集.证任取aG则aeaHa这就是说，G的每一个元的确属于一个右陪集若xHa,xHb则xh|a,xh2b.11则gah2b,因而ah1h2b,bh2ga11hahh1h2b,hbhh2hHaHb,HbHa故Ha=Hb这就证明了，G的每一个元只属于一个右陪集.6. 若我们把同构的群看成是一样的，一共只存在两个阶是4的群，它们都是交换群.证设G是阶为4的群

17、.那么G的元的阶只能是1,2,4.1若G有一个元的阶为4,则G为循环群；2. 若G有一个元的阶为2,则除单位元外，其他二元的阶亦均未2.就同构的观点看阶为4的群，只有两个；由下表看出这样的群的确存在.循环群012300123112302230133012非循环群eabceeabcaaecbbbceaccbae循环群是交换群，由乘法表看出是交换群10不变子群、商群1. 假定群G的不变子群N的阶是2,证明,G的中心包含N证设Ne,nN是不变子群，对于任意aG有ana1N1右anae则ana，ne矛盾anan贝Uanna即n是中心元.又e是中心元显然.故G的中心包含N.2. 证明，两个不变子群的交集

18、还是不变子群令证N弘N2,则N是G的子群.nNnN1及nN2,anaN1,anaN2anaN故N是不变子群.3. 证明：指数是2的子群一定是不变子群.证设群H的指数是2则H的右陪集为He,HaH的左陪集为eH,aHHeeH由HeHaeHaH易知HaaH因此不论X是否属于H均有HxxH4. 假定H是G的子群，N是G的不变子群证明HN是G的子群。证任取h1n1(h1n1)(h2n2)HN，h2n2HNh1(n1h2)n2h1(h2n3)n3(h(nh)1h12)n1nn21h1HNN，hhn1HhN1N(hn)1h1nHN.至于HN非空是显然的!HN是G的子群.5. 列举证明,G的不变子群N的不变

19、子群1未必是G的不变子群（取G=!）证取GS4N1,1234,1324,1423N11,1423易知N是G的子群，N,是N的子群我们说N是iG的不变子群这是因为i3i4i1i2i3i4i1i2i3i4i1i2i3i4此即说明ana1N,aG,nN-因为N是阶为4的群,所以为交换群，故其子群N1是不变子群.但Ni却不是G的不变子群，原因是：13411423341324N1116. 一个群G的可以写成abab!形式的元叫做换位子证明：i）所有的有限个换位子的乘积作成的集合C是G的一个不变子群；ii）G/C是交换群;iii）若N是G的一个不变子群，并且G/N是交换群，那么NC证i）e显然是有限个换位

20、子的乘积；11eeeee故eC（有限个换位子的乘积）（有限个换位子的乘积）=有限个换位子的乘积，故C对G的乘法是闭的.由于a1b1abb1a1ba1是换位子，故（有限个换位子的乘积）的逆仍为（有限个换位子的乘积）即有c1C，故C是子群；cC,gC由gcg1C有gcg1c1cC即gcg1C所以C是不变子群(ii) x、yGcCxyxyc就有xyyxc故xyyxC1因而xyCyxC即(xC)(yC)(yC)(xC)所以Gn是交换子群；(iii) 因G/N是交换子群就有(xN)(yN)(yN)(xN)(xy)N(yx)NxyyxNxyyxnnN因此x1y1xyN又由于N是子群,所以N包含有限个换位子的乘积，即NC.11同态与不变子群1我们看一个集合A到集合A的满射，证明，若S是S的逆象，S一定是S的象;但若S的S的象,S不-1定是S的逆象证i)在之下的象一定是S；若有S的元s在之下的象sS,