导数概念(平均变化率)

1、高中选修高中选修- -高二数学备课组任小勇问题情境问题情境 某市某市20042004年年3 3月月1818日、日、4 4月月1818日、日、4 4月月2020日的最高气温分别为日的最高气温分别为3.53.5、18.618.6、33.4,33.4,气温曲线如图所示气温曲线如图所示: :18.63.5o1323433.4t (d)T(oC)A(1,3.5)B(32,18.6)C(34,33.4)问题问题1 1 哪一段时间气哪一段时间气温变化得更温变化得更“大大”？ 问题问题2 2 哪一段时间气哪一段时间气温变化得更温变化得更“快快”？ 时间时间3 3月月1818日日 4 4月月1818日日4 4月

2、月2020日日日最高气温日最高气温3.53.518.618.633.433.4温差温差15.1 温差温差14.818.63.5o1323433.4t (d)T(oC)A(1,3.5)B(32,18.6)C(34,33.4) t(d)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)T ()210以以3 3月月1818日作为第一日作为第一天，温度随时间变天，温度随时间变化的化的图象图象如左图如左图. .问题问题1 1 问题问题22图中哪一段图像更图中哪一段图像更“陡峭陡峭”？如何量化图像的如何量化图像的“陡峭陡峭”程度？程度？时间时间3月月18日日4

3、月月18日日4月月20日日日最高气温日最高气温3.518.633.4 t(d)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)T ()21018.63.5o1323433.4t (d)T(oC)A(1,3.5)B(32,18.6)C(34,33.4)yC-yBxC-xB（1）仅考察）仅考察 的大小，能的大小，能否精确量化否精确量化BC段陡峭的程度？段陡峭的程度？Bcyy（2）还必须考察什么量？）还必须考察什么量？（3）曲线上曲线上BC之间的一之间的一段几乎成了直线，由此联段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线的倾斜想到如何量化直线的倾斜程度？程度

4、？AC= ( )o134xyf(1)f(34)134)1()34( fff(34) - f(1)34-1o134xyAC= ( )x1f(x1)f(1)f(34)1)1()(11xfxfo1x234xyAC= ( )x1f(x1)f(x2)f(1)f(34)2234)()34(xxff)(xf一般地，函数在区间上一般地，函数在区间上 的的平均变化率平均变化率为为 ,21xxx0y1x2x1()fx2()fxxy建构数学理论建构数学理论x xfx xf)()(11x y 1212)()(xxxfxf(2)平均变化率是曲线陡峭程度的平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化数量化”，或者说曲线陡峭程度是平

5、均变化率或者说曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化视觉化”建构数学理论建构数学理论(1)平均变化率的实质就是平均变化率的实质就是:两点两点(x1,f(x1),(x2,f(x2)连连线的线的斜率斜率.（以直代曲思想）（以直代曲思想）（数形结合思想）（数形结合思想）“数离形时难直观，形离数时难入微数离形时难直观，形离数时难入微”华罗华罗庚庚定义理解定义理解o13234t (d)T()18.63.533.4A(1,3.5)B(32,18.6)C(34,33.4)平均变化率的平均变化率的“大小大小”与图与图像的像的“陡峭陡峭”程度有什么关程度有什么关系？系？思考思考:变式探究变式探究向高为向高为H的水瓶中

6、注水，注满的水瓶中注水，注满为止，如果注水量为止，如果注水量y与水深与水深x的的函数关系的图像如图所示，那函数关系的图像如图所示，那么水瓶的形状么水瓶的形状( )( )Ox Hy B例水经过虹吸管从容器甲流向容器乙例水经过虹吸管从容器甲流向容器乙, ,t t 秒后秒后容器甲中水的体积容器甲中水的体积V V ( (t t) )= =10105 5-0.1-0.1t t( (单位单位: :cmcm3 3）平均变化率的绝对值越平均变化率的绝对值越大大, ,则变化越快则变化越快. .（1 1）求第一个）求第一个1010s s内容器甲中体积内容器甲中体积V V 的平均变化率的平均变化率. .（2 2）求

7、第二个）求第二个1010s s内容器甲中体积内容器甲中体积V V 的平均变化率的平均变化率. .数学应用数学应用乙乙甲甲. .负值代表了什么负值代表了什么? ?. .哪个秒内变化快哪个秒内变化快? ?(1)(1)求函数的增量求函数的增量y=f(x2)-f(x1)；(2)(2)计算平均变化率计算平均变化率. .题后反思题后反思求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤:1212()()f xf xyxxx例例2 已知函数已知函数 f(x)=x2,分别计算分别计算f(x)在下列区在下列区间上的平均变化率：间上的平均变化率： （1）1，3；（2）1，2；（3）1，1.1；（4）1，1.001.

8、 432.12.001（5）0.9，1；（6）0.99，1；（7）0.999，1.变题变题: :1.991.91.999课后思考课后思考: :为什么趋近于为什么趋近于2 2呢？呢？2 2的几何意义是什么？的几何意义是什么？数学应用数学应用xyp p13例例3 已知函数已知函数f(x)=2x+1, g(x)=- -2x ,分别计算分别计算在区间在区间-3，-1，0，5上上 f(x)及及g(x) 的平均的平均变化率变化率. 数学应用数学应用思考思考: :一次函数一次函数y=kx+b在区间在区间 m,n 上的平上的平均变化率有什么特点？均变化率有什么特点？1.1.平均变化率的定义：平均变化率的定义： 1212()()f