吉林省长春市汽开区中考数学一模试卷解析版

1、2019年吉林省长春市汽开区中考数学一模试卷、选择题（本大题共 8小题，每小题3分，共24分）2.从2019年起，长春市开始了城市轨道交通第三期建设，在建设规划中未来长春市城市轨道交通4.使不等式2x-4>0成立的最小整数是（）本三尺.问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（）7.如图，为了保证道路交通安全，某段高速公路在A处设立观测点，与高速公路的距离AC为20米.现测得一辆小轿车从 B处行驶到C处所用的时间为4秒.若/ BAC= &quo

2、t;，则此车的速度为（）1 .计算3+ (-1）的结果是（A. 2B. - 2C. 3D. - 3总长度将达到460000米，460000这个数字用科学记数法表示为（D. 4.6 X 1063.卜列立体图形中，主视图是矩形的是（）D. 35.九章算术是我国古代的数学名着，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去A . x2- 3= (10 - x) 2B. x2- 32= ( 10 - x) 2C. x2+3= ( 10-x) 2D, x2+32= (10-x) 26.如图，直线11/12.若/ 1 = 72° . / 3=50° ,则/ 2的大小为（）A . 5

3、0°B. 52C. 58D. 62A . 5tan a 米/秒B. 80tana米/秒C.A . 4.6X 104B. 46X 104A.B.C.4.6 X 105C.A . - 2B. 0C.230.D.2十米/秒D.1c8 .如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点 B在函数y=一 （x>0）的图象上，若/ C=60° , AB=2,则k的值为（）A. 72B. V5C. 1D. 2二、填空题（本大题共 6小题，每小题3分，共18分）9 .比较大小：2在.（填“>”、"=”或"v ”）10,计算：6a6+3a

4、2=.11 .如图，AB为。的直径， PAB的边PA, PB与。的交点分别为 C、D.若总奇=而,则/ P的大小为 度.12 .如图，在RtABC中，/ ACB= 90° , CD为AB边上的中线，过点A作AE，CD交BC于点E .若AC=2, BC=4,则 AE 的长为13.如图，在平面直角坐标系中，点M、A、B、N依次在上轴上，点 M、A的坐标分别是（1, 0）、（2, 0）.以点A为圆心，AM长为半径画弧，再以点 B为圆心，BN长为半径画弧，两弧交于点C,测得/ MAC = 120° , / CBN =150° ,则点 N的横坐标是 .14 .如图，在平面直

5、角坐标系中，点。是边长为2的正方形ABCD的中心.函数y= （ x- h） 2的图象与正方形ABCD有公共点，则h的取值范围是 .三、解答题（本大题共 10小题，共78分）15. （ 6分）先化简再求值:16. （6分）如图，现有三张不透明的卡片，卡片的正面分别标有字母A、B、C,每张卡片除字母不同外，其余均相同，将三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记下字母后放回，重新洗匀，再从中随机抽取一张请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的字母相同的概率.17. （ 6分）小欢和小乐一起去超市购买同一种矿泉水和同一种面包，小欢买了3瓶矿泉水和3个面包共花21元钱；小乐买了 4瓶矿泉水和

6、5个面包共花32.5元钱.求此种矿泉水和面包的单价.18. （7分）图、图均是边长为1的小正方形组成的5X5的网格，每个小正方形的顶点称为格 点线段AB的端点均在格点上.（1）在图中作正方形 ABCD,正方形ABCD的面积为 （2）在图中作RtAABM,使点M在格点上，且 sinZ BAM =-19. （7分）如图，AB是。的直径，点C、D在。上，过点C作。的切线交AB的延长线于点E.已知。的半径为6, /CDB=25° .(1)求/ E的度数，(2)求防的长.(结果保留兀)20. (7分)某校开展“走进中国数学史”为主题的知识竞赛活动，八、九年级各有200名学生参加竞赛.为了解这两

7、个年级参加竞赛学生的成绩情况，从中各随机抽取20名学生的成绩，数据如下：八年级 91 89 77 86 7151 97 93 72 9181 92 85 85 9588 88 90 64 91 九年级 84 93 66 69 7687 77 82 85 8890 88 67 88 9196 68 97 99 88整理上面数据，得到如下统计表：成绩50WxW5960<x< 6970<x< 7980< x< 8990<x< 100人数年级11378042样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：统计量平均数中位数年级8众数6力差八年级83.858

8、891127.03九年级83.95根据以上信息，回答卜列问题：(1)与出上表中众数 m的值.(2)试估计八、九年级这次选拔成绩87.580分以上的人数和.m99.45(3)你认为哪个年级学生的竞赛成绩较好？说明你的理由.(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)21. (8分)某工地需要利用炸药实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到300米以外的安全区域，炸药导火线的长度y (厘米)与燃烧的时间 X (秒)之间的函数关系如图所示.(1)请写出点B的实际意义，(2)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.(3)问操作人员跑步的速度必须超过多少，才能保证安全.22. (9分)已

9、知 AC=DC, AC±DC ,直线 MN经过点A,作DBXMN ,垂足为 B,连结CB .感知如图，点A、B在CD同侧，且点 B在AC右侧，在射线 AM上截取AE= BD,连结CE, 可证 BCDA ECA,从而得出 EC=BC, / ECB= 90° ,进而得出/ ABC=度；探究如图，当点A、B在CD异侧时，感知得出的/ ABC的大小是否改变？若不改变，给出 证明；若改变，请求出/ ABC的大小.应用在直线MN绕点A旋转的过程中，当/ BCD = 30° , BD=J时，直接写出BC的长.23. (10分)如图1,在菱形ABCD中，/ B= 60。，AB=4

10、.点P从点A出发以每秒2个单位的速 度沿边AD向终点D运动，过点P作PQXAC交边AB于点Q,过点P向上作PN / AC,且PN = £lpQ,以PN、PQ为边作矩形 PQMN.设点P的运动时间为t (秒)，矩形 PQMN与菱形mABCD重叠部分图形的面积为 S.(1)用含t的代数式表示线段 PQ的长.(2)当点M落在边BC上时，求t的值.(3)当0<t< 1时，求S与t之间的函数关系式.(4)如图2,若点。是AC的中点，作直线 OM.当直线OM将矩形PQMN分成两部分图形的 面积比为1: 2时，直接写出t的值.24. (12分)在平面直角坐标系中，函数y=ax2- 2a

11、x- 4a (x> 0)的图象记为M1，函数y= - ax2-2ax+4a (x<0)的图象记为 M2,其中a为常数，且aw。，图象Mi, M2,合起来得到的图象记 为M.(1)求图象M1与x轴的交点坐标，(2)当图象M1的最低点到x轴距离为3时，求a的值.5| (3)当a=1时，右点(m, r)在图象M上，求m的值，(4)点P、Q的坐标分别为(-5, - 1) , ( 4, - 1),连结PQ.直接写出线段 PQ与图象M有两个交点时a的取值范围.2019 年吉林省长春市汽开区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共8 小题，每小题3 分，共 24 分)1 【分析】根

12、据有理数的加法计算解答即可【解答】解：3+ ( 1) =2,故选：A【点评】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键2 .【分析】科学记数法的表示形式为 aX10n的形式，其中1w|a|vl0, n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值v 1时，n是负数.【解答】 解：将460000用科学记数法表示为：4.6X105.故选：C【点评】此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax 10n的形式，其中1w|a|<10, n为整数，表示时关键要正确确定a的

13、值以及n的值.3 【分析】主视图是从物体的正面看得到的图形，分别写出每个选项中的主视图，即可得到答案【解答】解：A.此几何体的主视图是等腰三角形；B.此几何体的主视图是矩形；C.此几何体的主视图是等腰梯形；D 此几何体的主视图是圆；故选：B【点评】此题主要考查了简单几何体的主视图，关键是掌握主视图所看的位置4 【分析】先求出不等式的解集，再找到最小整数解即可【解答】解：2x- 4> 0,2x>4,x>2,则使不等式2x- - 4>0成立的最小整数是 2,故选：C【点评】 本题考查一元一次不等式的整数解，在对于不等式整数解，要先确定未知数的取值范围，再找到满足题意的整数解

14、x尺，则斜边为（10-x）尺,5.【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面利用勾股定理解题即可.【解答】解：设竹子折断处离地面 x尺，则斜边为（10-x）尺，根据勾股定理得：x2+32= （10-x） 2.故选：D.【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾 股定理解题.6.【分析】利用平行线的性质，三角形的内角和定理解决问题即可.【解答】解：如图， li / 12,1 = /4=72° , . / 2+Z3+Z4=180° ,.-.Z 2=180° - Z 3- Z 4=180° 50

15、6; 72° =58故选：C.【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识, 属于中考常考题型.7.【分析】由于观测点A处与高速公路距离（AC）为20米，则/ ACB=90° ,根据a角的正切函 数值先表示BC的长，再根据速度=路程一时间得到汽车的速度即可.【解答】解：在 RtAABC 中，/ ACB=90° , / BAC= a, AC=20 米，. BC=AC?tan/BAC=20X tan”（米）.,此车速度=20 x tan4=5tana 米/秒，故选：A.【点评】本题考查了解直角三角形的应用，理解正切函数的意义是解题

16、的关键.8.【分析】先根据菱形的性质求出B点坐标，再把B点坐标代入反比例函数的解析式即可得出k的值.【解答】 解：二菱形 OABC中，/C=60° , AB = 2,cd = -Loc= 1 , OD =oc=73, 上2BD= 1,B (1,5)，顶点B在函数y =§ (x> 0)的图象上,k= 1x73= x/3.故选：B.【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定满足此函数的解析式，同时也考查了菱形的性质，求出点 B的坐标是解题的关键.二、填空题(本大题共 6小题，每小题3分，共18分)9.【分析】根据无理数的逐步逼近的方

17、法，去判断于是可知2vJGv3,即可判断正确答案.【解答】解：.pv五石， 2 V -X 3 2v 一：故答案为v .【点评】本题考查的是实数的大小比较，关键是要对无理数进行准确的近似判断，学会运用逐步 逼近法是解题的重点.10 .【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案.【解答】 解：6a6+3a2=3a4.故答案为：3a4.【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键.11 .【分析】 连接OC、OD,根据圆心角、弧、弦的关系得到/AOC = / COD = / DOB = 60° ,根据等边三角形的性质解答.【解答】解：连接OC、OD,AC= fcD=

18、 DR,AOC=Z COD = Z DOB = 60° , . OA=OC, OB=OD, . AOC和 BOD都是等边三角形， ./ A=60° , / B = 60° ,P=60故答案为：60 .【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.12 .【分析】根据直角三角形的性质得到AD=CD = BD,根据等腰三角形的性质得到/ ACD=/ CAD,ZDCB = Z B,根据余角的性质得到/ CAE = Z B,根据三角函数的定义即可得到结论.【解答】 解：.一/

19、ACB=90° , CD为AB边上的中线，AD= CD = BD, ./ACD = / CAD, /DCB = /B, AEXCD,CAE+ZACD = Z B+ZCAD = 90° , ./ CAE=/ B,.tan/ CAE = tanB,里萼AC BC'嘲卷CE= 1 , 1ae=j/aC2+CE2=V22-F12=，故答案为：巫.【点评】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线定义斜边的一半，余角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键.13 .【分析】根据含30。的直角三角形的性质和坐标特点解答即可.【解答】解：= MAC =1

20、20° , ./ CAB = 60° , . / CBN = 150° , ./ ABC = 30 ° , ./ C=90° ,ma = AC = 2- 1 = 1,AB=2AC= 2,BC=V3, -ON= 1+1+2+Vj=4+Vy 点N的坐标为(4+B0),故答案为：(4+0),【点评】此题考查坐标与图形，关键是根据含30。的直角三角形的性质和坐标特点解答.14 .【分析】由于函数y= (x-h) 2的图象为开口向上，顶点在 x轴上的抛物线，故可先分别得出点A和点B的坐标，因为这两个点为抛物线与与正方形ABCD有公共点的临界点，求出即可得

21、解.【解答】解：二.点。是边长为2的正方形ABCD的中心，点A和点B坐标分别为(1, 1)和(-1, 1),函数y= (x-h) 2的图象为开口向上，顶点在 x轴上的抛物线，其图象与正方形 ABCD有公共点的临界点为点 A和点B,把点B坐标代入y= (x-h) 2,得 1 = (- 1 - h) 2h=0 (舍)或 h= - 2；把点A坐标代入y= (x- h) 2,得 1 = (1 - h) 2h= 0 (舍)或 h= 2.函数y= (x-h) 2的图象与正方形 ABCD有公共点，则h的取值范围是-2W h<2.故答案为：-2<h<2.【点评】本题考查二次函数图象与正方形交

22、点的问题，需要先判断抛物线的开口方向，顶点位置及抛物线与正方形二者的临界交点，需要明确临界位置及其求法.三、解答题(本大题共 10小题，共78分)15 .【分析】根据分式的运算法则即可求出答案.【解答】解：原式=6工=一二工旦= .K当x= 时,原式=【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型.16 .【分析】 根据题意列出图表得出所有等情况数和两次抽出的卡片上的字母相同的情况数，然后 根据概率公式即可得出答案.【解答】解：根据题意列表如下：ABCAAABACABABBBCBCACBCCC共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上的字母相同的有3种情况,

23、所以P （两次抽出的卡片上的字母相同）=【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是 放回实验还是不放回实验.17 .【分析】 设每瓶矿泉水x元，每个面包y元，根据“小欢买了 3瓶矿泉水和3个面包共花21元 钱；小乐买了 4瓶矿泉水和5个面包共花32.5元钱”，即可得出关于 x, y的二元一次方程组， 解之即可得出结论.【解答】解：设每瓶矿泉水 x元，每个面包y元,依题意,解得：得：产1叔+5y=3Z5色/5答：每瓶矿泉水 2.5元，每个面包 4.5元.【点评】本题考查了

24、二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.18 .【分析】（1）根据正方形的性质画出图形，利用勾股定理解答即可;（2）根据三角函数解答即可.【解答】解：（1）如图所示：正方形 ABCD即为所求：正方形ABCD的面积=Viox Vio = io,故答案为：10.（2）如图所示： ABM即为所求:【点评】此题主要考查了作图与应用设计，关键是正确掌握正方形的面积计算公式，掌握三角形 正弦的定义.19 .【分析】(1)连接切点和圆心，构造直角三角形，利用圆周角定理先求出/COB的度数，即可求出/ E;(2)利用弧长公式即可解决问题.【解答】解：(1)如图，连结OC.CE是

25、。O的切线， OCXCE.OCE=90° . . / COB=2/CDB, / CDB = 25° , ./ COB =50 ° . ./ E=40(2)COE = 50° ,半径为 6,二不的长为n6 _5兀180【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、直角三角形两个锐角互余及弧长公式，连接切点和圆心是解题的关键.20.【分析】(1)根据众数的定义直接解答即可；(2)先求出在随机抽取 20名学生的成绩中80分以上的人数所占的百分比，再乘以总人数，即 可得出答案；(3)根据给出的平均数和方差分别进行分析，即可得出答案.【解答】解：(1) 88出现了 4

26、次，出现的次数最多，众数m的值为88.(2)根据题意得：(7+8+8+6) + 20X200= 290 (人)答：估计八、九年级这次选拔成绩80分以上的人数和约为 290人.(3)我认为九年级学生的竞赛成绩比较好，理由如下：九年级学生竞赛成绩的平均数较高，表示九年级竞赛成绩较好；九年级学生竞赛成绩的方差小，表示九年级学生竞赛成绩比较集中，整体水平较好.【点评】此题考查了频(数)率分布表，利用统计表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统 计图，才能作出正确的判断和解决问题.此题还考查了方差、平均数、中位数和众数的定义.21.【分析】(1)直接根据图象，解答即可;(2)根据待定系数法，即可求得y与

27、x的函数关系式；(3)根据操作人员跑步的路程大于300,列出不等式，求解即可.【解答】解：(1)导火线燃烧尽需要 75秒；(2)设y与x之间的函数关系式为：y=kx+b ( kw 0),将(75, 0)和(0, 90)代入 y=kx+b,，y与x的函数关系式为：丫="汁90 (0WxW75)；5(3)设操作人员跑步的速度为a米/秒，根据题意得：75a>300,解得 a>4,.操作人员跑步的速度必须超过4米/秒，才能保证安全.【点评】 本题主要考查一次函数的应用和一元一次不等式的应用，解决第(3)小题的关键是操作人员跑步的路程大于 300米.22 .【分析】感知证明 BCD

28、 ECA (SAS)即可解决问题探究结论不变，证明 BCDAECA (SAS)即可解决问题.应用分两种情形分别求解即可解决问题.【解答】解：【感知】，如图 1中，在射线 AM上截取AE=BD,连结CE. ACXDC, DBXMN , ./ ACD = Z DBA = 90° . ./ CDB+Z CAB=180° , . / CAB+Z CAE= 180°，/D=/CAE, CD = AC, AE=BD,BCD，ECA (SAS),BC=EC, / BCD = Z ECA, . / ACE+Z ECD = 90 ° , / ECD+Z DCB= 90&#

29、176; ,即/ ECB = 90° , ./ ABC = 45故答案为45【探究】不改变.理由如下：如图，如图2中，在射线AN上截取AE= BD,连接CE,设MN与CD交于点O. ACXDC, DBXMN , ./ ACD = Z DBA = 90 ° , . / AOC=Z DOB, ./ D=Z EAC, CD = AC, . BCDA ECA (SAS),BC= EC, / BCD = Z ECA, . / ACE+Z ECD = 90 ° , ./ ECD+Z DCB= 90° ,即/ ECB = 90° , ./ ABC = 45

30、° .【拓展】如图-1中，连接AD. ./ ACD+Z ABD = 180° , .A, C, D, B四点共圆， ./ DAB = Z DCB = 30° ,.-.ab=V3BD=V6,EB= AE+AB = >/2+>/6,. ECB是等腰直角三角形，“ EB - BC= + 3+1.如图中，同法可得BC=-/3-1.综上所述，BC的长为b+1或衣-1.【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和 性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中 考压轴题.23 .【分析】

31、(1)由菱形性质得/ D = /B=60。，AD=AB = CD = 4, 4ACD是等边三角形，证出 APQ是等腰三角形，得出 PF = QF, PF = PA?sin60°即可得出结果；(2)当点M落在边BC上时，由题意得： PDN是等边三角形，得出 PD = PN,由已知得 PN= F5pQ=3t,得出PD = 3t,由题意得出方程，解方程即可；21(3)当 0vtwf时，PQ = 2jt, PN=上±PQ=3t, $=矩形 PQMN 的面积=PQXPN,即可得b2出结果；当 a< t<1 时， PDN 是等边三角形，得出 PE=PD = AD-PA=4-

32、2t, / FEN = / PED = 60。，5得出 NE = PN- PE = 5t-4, FN = 3NE = 73 (5t - 4) , $=矩形 PQMN 的面积-24EFN 的面积，即可得出结果；(4)分两种情况：当 0vtw看时，4ACD是等边三角形，AC = AD=4,得出OA=2, OG是4MNH的中位线，得出 OG=4t-2, NH = 2OG=8t-4,由面积关系得出方程，解方程即可；当< tw2时，由平行线得出 OEFsMEQ,得出瞿 =3,即 V?=三三，解得EF =5EQ MQ EF+V3t 3t2立工槌工二 得出EQ=J%+2£©

33、4;L由三角形面积关系得出方程，解方程即可.41-2【解答】解：(1)二.在菱形ABCD中，/ B=60° ,，/D=/B=60° , AD = AB=CD = 4, 4ACD 是等边三角形， ./ CAD = 60° ,PQ± AC,.APQ是等腰三角形，PF=QF, PF=PA?sin60。=2tx第=t, .PQ=2/jt;(2)当点M落在边BC上时，如图2所示：由题意得： PDN是等边三角形， PA+PD= AD, 即 2t+3t=4, 解得：t=1.(3)当0Vt途时，如图1所示:PQ=2回，PN=3t,$=矩形 PQMN 的面积=PQxPN=

34、2jtx3t=6yit2； 当,V t<1时，如图3所示:5. PDN是等边三角形,pe= PD = AD - PA= 4 - 2t, Z FEN = Z PED = 60° ,NE= PN - PE= 3t- (4 2t) =5t4,FN = V3NE = V3 (5t - 4),，$=矩形 PQMN的面积-24EFN的面积=6/312-2XX2行(5t-4) 219t2+40.v<3t -16 Vs,(4)分两种情况：当即 S= - 19t2+40 ：24所示:. ACD是等边三角形,AC= AD = 4, O是AC的中点, . OA= 2, OG是 MNH的中位线,.OG = 3t- (2t) = 4t- 2, NH= 2OG = 8t- 4,. MNH 的面积=MN X NH = da2/3tx(8t-4)=，啦2,4，y -当t<2时，如图5所本:5 AC / QM ,OEFA MEQ,EF解得：EF =EQ = V3t+-4t-2. MEQ 的面积=X 3tx （回