弹簧质量阻尼系统模型

1、自动控制原理综合训练项目题目：关于MSD系统控制的设计1设计任务及要求分析31.1 初始条件31.2 要求完成的任务31.3 任务分析42系统分析及传递函数求解41.1 系统受力分析41.2 传递函数求解923系统开环传递函数的求解93 .用MATLAB对系统作开环频域分析103 .T开环系统波特图104 .2开环系统奈奎斯特图及稳定性判断124 .系统开环频率特性各项指标的计算14总结16参考文献17弹簧质量阻尼器系统建模与频率特性分析1设计任务及要求分析1.1 初始条件已知机械系统如图。图11机械系统图1.2 要求完成的任务(1)推导传递函数Y(s)/X(s),X(s)/P(s),(2)

2、给定in=0.2g,b»=0.6Ns/m,k=8N/m,k、=5N/in,以p为输入u(t)(3)用Matlab画出开环系统的波特图和奈奎斯特图，并用奈奎斯特判据分析系统的稳定性。(4)求出开环系统的截止频率、相角裕度和幅值裕度。(5)对上述任务写出完整的课程设计说明书，说明书中必须进行原理分析，写清楚分析计算的过程及其比较分析的结果，并包含Matlab源程序或Simuliiik仿真模型，说明书的格式按照教务处标准书写。1.3 任务分析由初始条件和要求完成的主要任务，首先对给出的机械系统进行受力分析,列出相关的微分方程，对微分方程做拉普拉斯变换，将初始条件中给定的数据代入，即可得出Y

3、(s)/X(s),X(s)/P(s)两个传递函数。由于本系统是一个单位负反馈系统，故求出的传递函数即为开环传函。后在MATLAB中画出开环波特图和奈奎斯特图，由波特图分析系统的频率特性，并根据奈奎斯特判据判断闭环系统位于右半平面的极点数，由此可以分析出系统的稳定性。最后再计算出系统的截止频率、相角裕度和幅值裕度，并进一步分析其稳定性能。2系统分析及传递函数求解2.1系统受力分析单自由度有阻尼振系的力学模型如图2T所示，包括弹簧、质量及阻尼器。以物体的平衡位置。为原点，建立图示坐标轴X。则物体运动微分方程为nix=ex-kx(2-1)FT形式，为式中：-C文为阻尼力，负号表示阻尼力方向与速度方向

4、相反。2-1将上式写成标准n)x+cx+kx=0(2-2)令p2=-,211=-,则上式可简化为ininx+2iix+p2=0(2-3)这就是有阻尼白由振动微分方程。它的解可取x=e"其中s是待定常数。代入(2-1)式得(s2+2ns+p2)eC=0,要使所有时间内上式都能满足，必须s2+2ns+p2=0,此即微分方程的特征方程，其解为s1>2=-n±J1F-p.(2-4)于是微分方程(21)的通解为x=C1e5lt+c2e5lt=eF(qeVk+4(2-5)式中待定常数C1与c2决定与振动的初始条件。振动系统的性质决定于根式而不是实数、零、还是虚数。对应的根Si与均

5、可以是不相等的负实根、相等的负实根或复根。若S】与宓为等根时，此时的阻尼系数值称之为临界阻尼系数，记为Cc，即cc=2mPo引进一个无量纲的量？，称为相对阻尼系数或阻尼比。4=n/p=c/2mp=c/cc(2-6)当心p或4>1,根式巧下是实数，称为过阻尼状态，当nvp或4VI,根式称为临界阻尼状态。现图22是虚数,称为弱阻尼状态，当n=p,即4=1,分别讨论三种状态下的运动特性o1 .过阻尼状态此时>1，即J-P?Vil,(b)式中S1及S2均为负值,则e中及eR是两根下降的指数曲线,故(22)式所表示的是两条指数曲线之和，仍按指数衰减，不是振动。图3-2所示为C1>c2,

6、Ci<0时的情况。2 .临界阻尼状态此时7=1,(b)式中si=S2=-n=-p,特征方程的根是重根，方程(21)的另一解将为teH,故微分方程(21)的通解为x=(Ci+c2t)e>(2-7)式中等号右边第一项qe-Pt是一根下降的指数曲线，第二项则可应用麦克劳林级数展开成以下形式：cte-p*=21(2-8)2 -e2l/t+p+p1/2!+p¥/3!+pWn!从上式看出，当时间t增长时，第二项steR也趋近于零。因此(c)式表示的运动也不是振动，也是一个逐渐回到平衡位置的非周期运动。3 .弱阻尼状态此时p>ll,或4vl。利用欧拉公式e±A/n,-p

7、,t=e±v'P,-n,t=8sp2-n2t±isill7p2-n2t(2-9)可将(2-2)式改写为x=+Czefg7，)=e-rt(Dcos而+D2sin7p2-n2t)JLU)或x=Ae-nlsin(7p2-n2t+(1-11)令Pd=JP?T/，则x=Ae-rtsiii(pdt4-cp)(2-12)式中A与e为待定常数，决定于初始条件。设t=0时，x=xo，文=%，则可求得A小+(红也尸,T-(243)VPdXq+IIXo将A与W代入(24)式，即可求得系统对初始条件的响应，由式(213)可知，系统振动己不再是等幅的简谐振动，而是振幅被限制在曲线:Ae-&q

8、uot;之内随时间不断衰减的衰减振动。如图33所示。图23这种衰减振动的固有圆频率、固有频率和周期分别为式中P、f、T是无阻尼自由振动的固有圆频率、固有频率和周期。由上可见，阻尼对自由振动的影响有两个方面：一方面是阻尼使自由振动的周期增大、频率减小,但在一般工程问题中n都比P小得多，属于小阻尼的情况。例4=n/p=O.O5R4,fd=0.9990f,Td=1.00125T：=0.20时,fd=0.98f,Td=1.02T,所以在阻尼比较小时，阻尼对系统的固有频率和周期的影响可以略去不计，即可以近似地认为有阻尼自由振动的频率和周期与无阻尼自由振动的频率和周期相等。另一方面，阻尼对手系统振动振幅的

9、影响非常显著，阻尼使振幅随着时间不断衰减，其顺次各个振幅是：t=h时，Ai=AeR；Ii+Tj时，A2=AeF/a：t=t1+2Tli时,A3=Ae-+2T*),o而相邻两振幅之比是个常数。即=A/Aj+i=靖(2-16)式中称为减幅系数或振幅衰减率，n称为衰减系数，n越大表示阻尼越大，振幅衰减也越快。当4=0.05时，1=L37,A2=A1/137=0.73A1，每一个周期内振幅减少27%,振幅按几何级数衰减，经过10次振动后,振幅将减小到初值的4.3%。可见，衰减是非常显著的。在工程上，通常取(26)式的白然对数以避免取指数的不便，即(2-17)5=Ln(Aj/Ajr)=n工式中6称为对数

10、减幅或对数衰减率。将代入，得6=2加1/Jp2-1/=2八4/也-(2-18)当穴1时，42兀4(2-19)因为任意两个相邻的振幅之比是一个常数©小，即A/4=&/A=A/A=A/q=e。'1a=eJ故有A/An=(A/A)(4/G)6/A*)=e"因此对数减幅b也可表达为b=±Ln，_(2-20)jAj-rt)此外，根据(3-6)式，可以用实测法来求得系统的阻尼系数。因为A1Ac1ALn=iiTC-n=Ln=LnAqEAn2mTaAj-h故。=网J(2.21)所以只要实测得出衰减振动的周期Td及相邻两次振幅Aj和AJ+1，即可计算出系统的阻尼系数

11、C。根据弹簧和阻尼器的特性可得以下关系式：Fki(t)=kix(t),Fk2(t)=k2x(t)y(t),Fb2(t)=b2ciy(t)/dt设不加p(t)时，质量块处于平衡状态，此时x=0,y=0,即x(0)=0,y(0)=0,根据受力平衡方程，在不计重力时，可得出以下方程：k2x(t)-y(t)=b3dy(t)/dt(2-22)乂根据牛顿第二定律，有方程：md2x(t)/dt2=p(t)-Fki(t)-Fk2(t)-Fb2(t)(2-23)2.2 传递函数求解(1)求Y(s)/X(s)：对式(21)进行拉普拉斯变换，得：k2X(s)-k2Y(s)=b?*sY(s),化简得传递函数：Y(s)

12、/X(s)=k2/(b2s+k2)(2-24)(2)求X(s)/P(s)：对式(22)进行拉普拉斯变换,得：ms?X(s尸P(s)k】X-2k"X(s)Y(s),并将式(23)代入可解得传递函数：X(s)/P(s)=(b2s+kDImb?J+mk?也(ki+2k?)s+kik2(2-25)已知条件为：给定m=0.2g也=0.6Ns/iiLk=8N/nLk?=5N/m,设p(t)是输入u(t)的阶跃力。将所给参数代入传递函数式(23)和式(2.4)中，可求得具体的传递函数如下:Y(s)/X(s)=5/(0.6s+5)(2-26)X(s)/P(s)=(0.6s+5)/(1.2*10A-4

13、s3+10A-3s2+10.8s+40)(2-27)2.3 系统开环传递函数的求解(1)对于Y(s)/X(s)：由微分方程Y(s)/X(s)=5/(0.6s+5)可画出单位负反馈系统方框结构图如下:X(s)5/(0.6s+5)故开环传递函数为:G(S)=5/(0.6s+5)(2)对于X(s)/P(s)：由微分方程nis2X(s尸P(s)klX(s)-2k2X(s)Y(s)及Y(s)/X(s尸k2/(b2s+k2)可画出系统方框结构图如下：0.6s+5P,1.2*10-4s3+10-3s2+10.8s+40.故开环传递G(s)=(0.6s+5)/(1.2*10-4s3+10-3s2+10.8s+

14、40)3用MATLAB对系统作开环频域分析(1)对于Y(s)/X(s)：G(s)=5/(0.6s+5)画波特图时采用的MATLAB语句如下：»num=5;den=(0.6,5);»margin(num,den)%画系统的开环对数幅频、相频特性运行结果如图31BodeDiagramGm=Inf,Pm=-180deg(at0rad/s)2030-f(8PJ名nwQEW.101231010101010Frequency(ra(Vs>图3-1Y(s)/X(s)的开环波特图(2)对于X(s)/P(s):G(s)=(0.6s+5)/(1.2*10-4s3+10-3s2+10.8s

15、+40)画波特图时采用的MATLAB语句如下：%画系统的开环对数幅频、相频特性运»num=0.6,5;den=(1.2*104,103,10.8,401);»margin(niun,den)行结果如图32所示:20(gp)0001BodeDiagramGm=InfdB(atInfrad/s)tPm-157deg(at308rad/s)20o6oo1810101010Frequency(rad/s)104图3-2X(s)/P(s)的开环波特图3.2开环系统奈奎斯特图及稳定性判断(1)对于Y(s)/X(s)画奈奎斯特图时MATLAB语句如下:»num=5;»

16、den=0.6,5;»nyquist(num,cien)运行结果如图33所示:s一至teu一ag一图3-3Y(s)/X(s)开环奈奎斯特图开环传函G(S)=5/(0.6s+5),由于系统开环传递函数不存在右半平面的极点,故P=0,3从。变到+8时，系统的开环幅相曲线不能包围(l,jO)点周数N=0,则系统位于右半平面的闭环极点数为:Z=P-2N=0,故系统是稳定的。(2)对于X(s)/P(s)画奈奎斯特图时MATLAB语句如下：»num=0.6,5;»den=1.2*>0一3io-3I。8,40；»nyquist(num,den)运行结果如图34所

17、示:图34X(s)/P(s)开环奈奎斯特图开环传函G(s)=(0,6s+5)/(1.2*10-4s3+10-3s2+10.8s+40),由于系统开环传递函数不存在右半平面的极点，故P=0,3从。变到+8时，系统的开环幅相曲线不能包围(-1,j0)点周数N=0,则系统位于右半平面的闭环极点数为:Z=P-2N=0,故系统是稳定的。4.系统开环频率特性各项指标的计算(1)对于Y(s)/X(s)：G(S)=5/(0.6s+5)计算各项频率指标时采用的MA1TAB语句如下:»num=5;den=(0.6,5);»inargin(num,den);»gm,pm,wcg,wq)

18、=margin(num,den)计算幅值裕度gm(yo)、相位裕度pm(%)、穿越频率wcg(o)ro)、截止频率wcp(o)c0)。运行结果gm=Iiifpm=180wcg=NaNwup=0由结果可知该系统幅值裕度为无穷，截止频率为0,相位裕度为180是正值，故系统稳定。(2)对于X(s)/P(s):G(s)=(0.6s+5)/(1.2*10-4s3+10-3s2+10.8s+40)计算各项频率指标时采用的MATLAB语句如下：»mim=0.6;den=(1.2*10A-4,10A-3,10.8,40)»margin(num9den);»gin,pm,wcg,wcp=iiiargin(num,den)计算幅值裕度gm(y()、相位裕度pm(ho)、穿越频率wcgQjQ、截止频率wcp(3e)。运行结果gm=Iiifpm=15.6933wcg=Iiifwcp=307.8588由结果可知该系统幅值裕度为无穷，截止频率为3O8rad/s,相位裕度为15.7是正值，故系统稳定。总结本次课设是对一个弹焚质量阻尼器系统建模并进行频率特性分析。首先根据这个实际的机械系统的受力分析得出它的受力微分方程，对其进行拉普拉斯变