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1、第三章第三章 求和运算求和运算n3.1 3.1 求和公式的性质求和公式的性质n3.2 3.2 和式求界和式求界3.1 3.1 求和公式的性质求和公式的性质n有限和：有限和：（求和序数为非整数时默认为其底函数）（求和序数为非整数时默认为其底函数）n无穷和：无穷和： 即即n发散、收敛、绝对收敛发散、收敛、绝对收敛3.1 3.1 求和公式的性质求和公式的性质n线性性质线性性质（对无穷收敛级数也成立）（对无穷收敛级数也成立）3.1 3.1 求和公式的性质求和公式的性质n算术级数算术级数n几何级数几何级数无穷下降几何级数：无穷下降几何级数： （| |x x| 1 | 1 ）n积分级数与微分级数积分级数与

2、微分级数3.1 3.1 求和公式的性质求和公式的性质n调和级数调和级数n套叠级数套叠级数 和和例：例：3.1 3.1 求和公式的性质求和公式的性质n积积3.2 3.2 和式求界和式求界n数学归纳法数学归纳法例：证明例：证明 的界是的界是0 0(3(3n n). ). 即证明存在常数即证明存在常数c c满足：满足：n=0 n=0 时时 c1c1即可。即可。假设界对假设界对n n成立，则成立，则n+1n+1时：时：只需只需(1/3 + 1/c) 1 (1/3 + 1/c) 1 即即 c 3/2 c 3/2 即可。即可。3.2 3.2 和式求界和式求界n数学归纳法（续）数学归纳法（续）反例：证明反例

3、：证明n=1 n=1 时时 显然成立。显然成立。假设界对假设界对n n成立，则成立，则n+1n+1时：时：原因：被O隐藏的常数随n增长，不再是是常数。3.2 3.2 和式求界和式求界n对项限界对项限界n最大项限界最大项限界对级数对级数 设设则：则：3.2 3.2 和式求界和式求界n对项限界（续）对项限界（续）n几何级数限界几何级数限界给定级数给定级数 ，设对所有，设对所有k 0k 0，有，有a ak+1k+1/a/ak k r r (r1(r00，满足：，满足：（即可忽略初始的几项）（即可忽略初始的几项）3.2 3.2 和式求界和式求界n分解和式（续）分解和式（续）例：求例：求 的界的界当当n

4、 3n 3时有：时有：故：故：3.2 3.2 和式求界和式求界n分解和式（续）分解和式（续）例（更复杂）：求例（更复杂）：求 的界的界思路：把域思路：把域1 1到到n n分解成分解成 lg nlg n 段，每段上界为段，每段上界为1 13.2 3.2 和式求界和式求界n积分近似公式（续）积分近似公式（续）对单调增函数：对单调增函数：3.2 3.2 和式求界和式求界n积分近似公式（续）积分近似公式（续）3.2 3.2 和式求界和式求界n积分近似公式（续）积分近似公式（续）可看出对单调增函数：可看出对单调增函数：同理对单调减函数：同理对单调减函数：3.2 3.2 和式求界和式求界n积分近似公式（续）积分近似公式（续）例：调和函数的紧确界：例：调和函数的紧确界：作业作

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