自动控制系统课件PPT第5章 频率法

1、2010.11.1412010.11.142u5.1 频域特性的概念 u5.2 典型环节频率特性的绘制u5.3 系统开环频率特性的绘制u5.4 奈奎斯特稳定判据u5.5 控制系统的相对稳定性2010.11.143u5.1 频域特性的概念 u5.2 典型环节频率特性的绘制u5.3 系统开环频率特性的绘制u5.4 奈奎斯特稳定判据u5.5 控制系统的相对稳定性2010.11.1445.1 频域特性的概念 频率响应法的频率响应法的特点特点u 频率特性是控制系统在频域中的一种数学模型，是研究自频率特性是控制系统在频域中的一种数学模型，是研究自 动控制系统的一种动控制系统的一种工程方法工程方法。u 系统

2、频率特性能间接地揭示系统的动态特性和稳态特性，系统频率特性能间接地揭示系统的动态特性和稳态特性， 可可简单迅速简单迅速地判断某些环节或参数对系统性能的影响，指地判断某些环节或参数对系统性能的影响，指 出系统改进方向。出系统改进方向。u 频率特性可以由频率特性可以由实验确定实验确定，这对于难以建立动态模型的系，这对于难以建立动态模型的系 统来说，很有用处。统来说，很有用处。2010.11.145傅立叶原理表明：任何傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号连续测量的时序或信号 都都可以表示为不同频率可以表示为不同频率的的正弦波信号正弦波信号的无限叠的无限叠加加 伟大的傅立叶原理伟大的傅立叶原理20

3、10.11.146)()()(sGsXsYtXtxsin)()()(22jsjsXsXsX输入信号的拉氏变换输入信号的拉氏变换 P273/P389P273/P389线性定常系统的传递函数为线性定常系统的传递函数为输入信号为输入信号为2010.11.1471121()( )( ),()()()()miiiinnijKszA sG sspsssssssp nnnssassassajsbjsbjsjsXsssssssAsXsGsY221121)()()()()()()(系统的传递函数通常可以写成系统的传递函数通常可以写成 由此得到输出信号的拉氏变换由此得到输出信号的拉氏变换2010.11.148 系

4、统的输出为 P74 (5-1) 对稳定系统,s1,s2,.sn都具有负实部，当时间t趋于无穷大时，上式的暂态分量将衰减至零。因此系统的稳态响应为 (5-2) 1212( )ns ts ts tjtjtny tbebea ea ea etjtjtWebbetyty)(lim)(其中待定系数b和 可按下式计算jXjGjsjsjsXsGbjs2)()()()(jXjGjsjsjsXsGbjs2)()()()( (5-3)(5-4)b2010.11.149 G(j) 用模和幅角可表示为 (5-5) (5-6) )()()(jejGjG)(Re)(Im)()(jGjGarctgjG)()()()()(j

5、jejGejGjG2010.11.1410()()()()( )()()22()2()sin(),j tj tjjWjtjtXeXeytG jeG jejjeeG jXjG jXt 欧拉公式(5-8)或 (5-9)式中 为稳态输出信号的幅值。 )sin()(tYtyWXjGY)(coscossin2cossinsin2jxjxjxjxjxjxeexexjxeeexjxxj欧拉公式：2010.11.1411 上式表明，线性定常系统对正弦输入信号的稳态响应仍然是与正弦输入信号同频率的正弦信号；输出信号的振幅是输入信号振幅的 倍；输出信号相对输入信号的相移为 ；输出信号的振幅及相移都是角频率 的函数

6、。 (5-10) 称为系统的频率特性，它反映了在正弦输入信号作用下，系统的稳态响应与输入正弦信号的关系。)(jG)(jG)()()(jGjejGjG2010.11.1412其中 (5-11) 称为系统的幅频特性，它反映系统在不同频率正弦信号作用下，输出稳态幅值与输入信号幅值的比值，即系统的放大（或衰减）特性。 (5-12)称为系统的相频特性，它反映系统在不同频率正弦信号的作用下，输出信号相对输入信号的相移。系统的幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性。)(Re)(Im)()(jGjGarctgjG()()YGjjX2010.11.1413根据传递函数求取频率特性:传递函数:频率特性: （s=j

7、）011n1nnn011m1mmmasasasabsbsbsbR(s)C(s)G(s)mm 1mm 11mnn 1nn 11nj()j()C(j )b (j )b(j )b (j )bG(j )R(j )a (j )a(j )a (j )a() e=A()eGjG j C s( )Rs( )G sA（）幅频特性；G（j）的模，它等于稳态 的输出分 量与输入分量幅值之比. P134（）相频特性；G（j）的幅角，它等于稳态输出分 量与输入分量的相位差。2010.11.1414u5.1 频域特性的概念 u5.2 典型环节频率特性的绘制u5.3 系统开环频率特性的绘制u5.4 奈奎斯特稳定判据u5.5

8、 控制系统的相对稳定性2010.11.1415 以角频率为参变量，根据系统的幅频特性 和相频特性 在复平面 上绘制出的频率特性叫做幅相特性曲线或频率特性的极坐标图。 它是当角频率从0到无穷变化时，矢量 的矢端在 平面上描绘出的曲线。曲线是关于实轴对称的。5.2 典型环节的频率特性绘制 P136)(jG)(jG)(jGjejHjG)()(GH5.2.1 5.2.1 典型环节的幅相特性曲线典型环节的幅相特性曲线2010.11.1416KjG)(KsG)(1. 放大环节放大环节（比例环节） 放大环节的传递函数为 其对应的频率特性是 （5-13） （5-14）KjG)(0)(jG其幅频特性和相频特性分

9、别为图图5-1 5-1 放大环节的频率响应放大环节的频率响应. . 00mIKeR2010.11.1417积分环节对正弦输入信号有900的滞后作用；其幅频特性等于 ，是的函数，2. 积分环节积分环节 积分环节的频率特性幅频特性和相频特性分别为 频率特性如图所示。jjG1)(11)(jjG0900)(arctgjG图图5-2 5-2 积分环节的积分环节的频率响应频率响应eRmI0G09012010.11.1418 3. 惯性环节惯性环节 惯性环节的频率特性为 幅频特性和相频特性分别为11)(jTjG2211)(TjGarctgTjG)(. .0450 01 10.50.5T/1 图图5-3 5-

10、3 惯性环节惯性环节 的频率响应的频率响应mI G0eR 当由零至无穷大变化时，惯性 环节的频率特性在 平面上 是正实轴下方的半个圆周。)(jG2010.11.14194. 振荡环节振荡环节 振荡环节的传递函数是 （5-15）其频率特性是 幅频特性和相频特性分别为 121)(22TssTsGTjTTjTjG2)1 (1121)(22222212)(TTarctgjG2222224)1 (1)(TTjG2010.11.1420small图图5-4 5-4 振荡环节的频率响应振荡环节的频率响应nnrMnnr0mIr1eR G振荡环节的幅频特性和相频特性均与阻尼比有关，不同阻尼比的频率特性曲线如图所

11、示如图所示。big2010.11.1421 5. 一阶微分环节 典型一阶微分环节的频率特性为其中为微分时间常数。1)(jjG幅频特性和相频特性分别为1)(22jGarctgjG)(1 1eR0mIG0G 图5-5 一阶微分环节 的频率响应频率特性如图所示。它是一条过点（1，j0）与实轴垂直相交且位于实轴上方的直线。纯微分环节的频率特性与正虚轴重合。2010.11.1422 6. 二阶微分环节 其频率特性是 幅频特性和相频特性分别为12)(22jjG22222241)(jG2212)(arctgjG二阶微分环节频率特性曲线如图所示 图5-6 二阶微分环 节频率特性图1)1(2mIeR00 G20

12、10.11.14235.2.2 5.2.2 开环系统的幅相频率特性开环系统的幅相频率特性 绘制系统开环频率特性的极坐标图，则需把系统所包含的各个环节对应频率的幅值相乘，相角相加。例例 5.1：求如下传递函数的极坐标图。 解：解： G(j)可写为： jTeG j1jTjT1G je1jT2010.11.1424其幅值与相角分别为： 由于幅值是从1开始单调减小，相角也是单调减小，所以该传递函数的极坐标图是一条螺旋线 22TjT11Tj11ejGTtgT1TjTj11e)G(j0ImRe012010.11.1425设系统的开环传递函数为 系统的型号系统的型号: :一种依据系统开环传递函数中积分环节的

13、多少来对系统进行分类的方法 0 0 型系统型系统（N=0） 2 2 I I 型系统型系统（N=1） 3. II 3. II 型系统型系统（N=2） 21NbaTj1Tj1jTj1Tj1K)j(jGH2010.11.1426 极坐标图的形状与系统的型号有关，一般情况如下（注意起始点）：II型系统I型系统0 型系统0ImRe0002010.11.1427 ()()()mmnnbjwGjwajw R eIm01 mn2 mn3 mn注意注意终止点终止点：2010.11.1428eRmI2121TTTT10mI) 1)(1(121TjTjeRmI011Tj1 增加n个有限负实极点极点后，=0时，GH的

14、奈氏的曲线顺时针转n/22010.11.1429 增加n个有限负实零点负实零点后，=0时，GH的奈氏的曲线逆时针转n/22010.11.1430结论：结论： 1. 0 1. 0 型系统型系统（N=0）：极坐标图起始于正实轴上的有限点，终止于原点。 2 2I I 型系统型系统（N=1）：由于存在一个积分环节，所以低频时，极坐标图是一条渐近于和虚轴平行的直线。当=时，幅值为零，曲线收敛于原点并且与某坐标轴相切。 3. II 3. II 型系统型系统（N=2）：低频处，极坐标图是一条渐近于负实轴的直线 。在=处幅值为零，且曲线相切于某坐标轴。2010.11.14315.2.3 5.2.3 典型环节频

15、率特性的伯德图典型环节频率特性的伯德图一、对数坐标图一、对数坐标图 1. 1. 幅频特性图：幅频特性图： 纵坐标：纵坐标：幅值的对数20lg（dB），采用线性分度； 横坐标：横坐标：用频率的对数lg分度。 2.2.相频特性图相频特性图 纵坐标：纵坐标：频率特性的相移，以度为单位，采用线性 分度； 横坐标：横坐标：用频率的对数lg分度。2010.111204060-20-40-60090180902346857dBL)()(2010.11.14331. 放大环节（比例环节） 放大环节的频率特性为 对数幅频特性为()(GjKK为 大 于 零 的 常 数 ）KjGlg20)

16、(lg2001011020Klog20dB)(L1010010001001000000100900180度）（10图 5-7 放大环节的Bode图相频特性为 如图所示，是一条与角频率无关且与轴重合的直线。00)(jG2010.11.14342. 积分环节积分环节的频率特性是 其幅频特性为 对数幅频特性是 jjG1)(1)(jG120lg()20lg20lg()90G jG j 604002020dB)(L01. 01 . 01decdB/2001. 01 . 0110000900900180度）（ 图5-8 积分环节 的Bode图102010.11g()20lg120

17、lg 1()arct0arctG jTTG jgTgT 3. 惯性环节 惯性环节的频率特性是 其对数幅频特性是22221()1111G jjTTjTT渐近渐近特性特性decdB/20精精确确特特性性图5-9 惯性环节的Bode图)()(Ldb1001020T1201T1101T151T1T12T110T120000450902010.11.1436 其对数幅频特性是1)(jjG2220lg()20lg1()G jG jarctg 4. 一阶微分环节 一阶微分环节频率特性为20100db)(L1100111011110110011001101110111001)(度09004500 图图5-10

18、 5-10 一阶微分环节一阶微分环节 的的BodeBode图图20/dB dec渐近特性精确特性2010.11.14375. 振荡环节 频率特性为 其对数幅频特性为TjTjG2)1 (1)(222222222220lg()20lg(1)42()1G jTTTG jarctgT 0decdB/404020dB)(L高频渐近线高频渐近线T1101T1T110低频渐近线低频渐近线图5-11(a) 振荡环节渐近线对数幅频特性db)(L20040T1101T1T11005. 00 . 15 . 0decdb/40图5-11(b) 振荡环节对数幅频率特性图2010.11.1438其对数幅频特性为相频特性为

19、 2)1 ()(22jjG22222220lg()20lg(1)4G j 2212)(arctgjG16. 6. 二阶微分环节二阶微分环节 频率特性二阶微分环节与振荡节的Bode图关于轴对称，渐近线的转折频率为 ，相角变化范围是00至+1800。402001101dB0180090001110精确特性渐近特性decdB /40)(图5-12 二阶微分环节的Bode图2010.11.1439u5.1 频域特性的概念 u5.2 典型环节频率特性的绘制u5.3 系统开环频率特性的绘制u5.4 奈奎斯特稳定判据u5.5 控制系统的相对稳定性2010.11.1440将系统开环传递函数分解成若干典型环节的

20、串联形式将系统开环传递函数分解成若干典型环节的串联形式(1)(1)典型环节幅频特性相乘得到系统开环幅频特性典型环节幅频特性相乘得到系统开环幅频特性典型环节相频特性相加得到系统开环相频特性典型环节相频特性相加得到系统开环相频特性如幅频特性有渐近线，则根据开环频率特性表达式如幅频特性有渐近线，则根据开环频率特性表达式的实部和虚部，求出渐近线的实部和虚部，求出渐近线最后在最后在G(j)H(j)G(j)H(j)平面上绘制出系统开环频率特性平面上绘制出系统开环频率特性的极坐标图的极坐标图5.3.1 5.3.1 绘制系统开环频率特性极坐标图的步骤绘制系统开环频率特性极坐标图的步骤(2)(2)(3)(3)(

21、4)(4)(5)(5)2010.11.1441将系统的开环传递函数写成典型环节乘积的形式将系统的开环传递函数写成典型环节乘积的形式(1)(1)若存在转折频率，在若存在转折频率，在轴上标出转折频率的坐标位置轴上标出转折频率的坐标位置修正误差，画出比较精确的对数幅频特性修正误差，画出比较精确的对数幅频特性由各串联环节的对数幅频特性叠加后得到系统开环对由各串联环节的对数幅频特性叠加后得到系统开环对数幅频特性的渐近线数幅频特性的渐近线画出各串联典型环节相频特性，将它们相加后得到系画出各串联典型环节相频特性，将它们相加后得到系统开环相频特性统开环相频特性(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)5

22、.3.2 5.3.2 绘制系统开环频率特性伯德图的步骤绘制系统开环频率特性伯德图的步骤2010.11.1442例5-1 已知系统的开环传递函数为 它由一个放大环节和两个惯性环节串联而成，其对应的频率特性是幅频特性和相频特性分别为1212212()()()1TTGjHjarctgTarctgTarctgT T 1111)()(222221TTKjHjG1111)()(21jTjTKjHjG)(1111)()(2121TTsTsTKsHsG2010.11.14431. 1. 极坐标图极坐标图当 时，当 时，当 时， 。00180)()(,0)()(jHjGjHjG0212190)()()()(jH

23、jGTTTTKjHjG，211TT00)()(,)()(jHjGKjHjG2010.11.1444211TT),0(2121TTTTjK002121TTTTjk211TTmIeRK图图5-13 5-13 开环系统极坐标图开环系统极坐标图G当由零增至无穷大时，幅值由K衰减至零，相角0度变至-180度，且均为负相角。频率特性与负虚轴的交点频率为 ，交点坐标是。其极坐标图如图5-13所示。2010.11.1445由开环传递函数知，对数幅频特性的渐近线有两个转折频率 和 ，且 ，将它们在轴上标出（图5-14）；在纵坐标上找到20lgK的点A，过 A点作平行于横轴的直线AB，这条平行线对应放大环节的幅频

24、特性；在转折频率 处作轴的垂线（虚线）交平行线AB于B点，以B为起点作斜率为-20dB/dec的斜线BC，C点对应转折频率 ，折线ABC对应放大环节K和惯性环节 的叠加；2111TT11T21T11Ts11T21T2 2 伯德图伯德图2010.11.1446 图图5 514 14 开环系统开环系统BodeBode图图dBA0Klog20BdecdB /20C渐近特性D)(L11T精确特性21TdecdB /40度0450L)()4()2()1 ()3(2010.11.1447u5.1 频域特性的概念 u5.2 典型环节频率特性的绘制u5.3 系统开环频率特性的绘制u5.4 奈奎斯特稳定判据u5

25、.5 控制系统的相对稳定性2010.11.1448由第3章知，线性系统稳定的充分必要条件是：系统特征方程的根（即系统闭环传递函数的极点）全部负实数或具有负实部的共轭复数，也就是所有的闭环特征根分布在S复平面虚轴的左侧（P75）判断闭环系统稳定的方法： （1）解闭环特征方程 难 （2）劳斯判据 可行，但不够形象且与频率无关 （3）有无其他方法？2010.11.14491）一阶系统 （P154） 特征方程式为 ，特征方程式的根为 。( )D ssp假设系统的根为负实根，令特征方程中的 ，则矢量 的矢端将沿着虚轴滑动。当=0，夹角=0,当从0增加到时,这个矢量逆时针旋转/2角度。sp sj()D j

26、jpImRe1jjp0ImRe1jjp0逆时针：ArgD(j)= /2 顺时针：ArgD(j)= -/25.4.1 控制系统的稳定判据2010.11.1450注意： （1）当一阶系统中的从-增加到时，若角度逆时针旋转角度为，该系统稳定；若角度顺时针旋转角度为，该系统不稳定。 （2）令s=j，仅为记忆方便而作的假设，没有任何物理意义。 ImRe1jjp0逆时针：ArgD(j)= /21 1eR0mIG0G 一阶微分环节 的频率响应2010.11.14512）二阶系统 特征方程式为 ，特征方程式的根为 ，即12( )()()D sspsp21,21nnpj 1212()()()|()()sjD j

27、spspDjDjImRe1()D j02()D jjImRe1()D j02()D jj00逆时针：ArgD(j)= /2+0+ /2-0 =2/2顺时针：ArgD(j) =2/22010.11.14523）n阶系统 特征方程式为 ，特征方程式的根为 12( )()()()nD sspspsp1212()()()()|()()()nsjnD jspspspDjDjDj系统稳定的充要条件：特征方程式的所有根必须在左半S平面可以等价转化为 当从0变到时，如果矢量D(j)的相角逆时针变化为ArgD(j) =n/2，则系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。 当从-变到时，如果矢量D(j)的相角逆时针变化

28、为ArgD(j) =nn，则系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。2010.11.1453由此得到闭环特征方程多项式为1121111111( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )1( )( )( )( )( )HKHgHBBgBK N sK NsWsW s H sD sDsK N sD sW sK N s NsK NsWsW s H sD sK N sDs( )( )( )BgDsD sK N s5.4.2 用开环幅相频率特性判断闭环系统的稳定性( )cX s( )rX s( )H s1( )W s为找到开环传递函数和闭环特征多项式的关系，特构造辅助函

29、数F(s)如下( )( )( )11( )( )( )gBKK N sDsF sWsD sD s 辅助函数F(s)的特征：（1）其零点为闭环函数的极点；（2）其极点为开环传递函数的极点；（3）其零点和极点的个数是相同的；（4）F(s)和开环传递函数仅相差1。2010.11.1454如果系统闭环也是稳定的，那么它的闭环特征方程式 的全部根应该在左半S平面，而由-变到时，矢量 的相角变化为ArgDB(j) =n。如果开环系统是稳定的，那么它的特征方程式 的n个根应该在左半S平面，而由-变到时，矢量 的相角变化为ArgD(j) =n。()BDj( )D s( )BDs()D j5.4.2.1 开环是

30、稳定的系统( )D s由辅助函数与开环系统之间的关系 知，辅助函数的矢量 的相角变化为，ArgDB(j)- ArgD(j)=0。即F(j)的极坐标轨迹不包围原点，则系统闭环是稳定的；如果F(j)的极坐标轨迹包围原点，则系统闭环不稳定。( )( )/( )1( )BKF sDsD sWs ()F j2010.11.1455F(j)相角变化()KWj0ImRe010ImRe010（a）系统稳定（b）系统不稳定( )1( )KF sWs 0ImRe01ImWk平面F平面1, 0 j()kWj()1()kF jW j 曲线2010.11.1456若系统闭环特征方程式的n个根中，有Z个在右半S平面，（n

31、-Z）个在左半S平面，则当由-变到时，矢量 的相角变化为如果开环系统特征方程式的n个根不全在左半S平面，其中有P个根在右半S平面，（n-P）个根在左半S平面，则开环系统是不稳定的。而由-变到时，矢量 的相角变化为()BDj()() + ()(2 )Arg D jnPPnP()D j5.4.2.2 开环是不稳定的系统这种情况下，辅助函数的相角变化为()() + ()(2 )BArg DjnZZnZ()/()()()()22,BBArg DjD jArg DjArg D jPZNPZN N为辅助函数的相角逆时针变化的圈数。2010.11.1457如果开环系统特征方程式的n个根不全在左半S平面，其中

32、有P个根在右半S平面，（n-P）个根在左半S平面，则闭环系统稳定的充要条件是：当由-变到时，开环频率特性的轨迹在复平面上应逆时针围绕（-1,j0）点旋转N=P圈，否则闭环系统不稳定。闭环系统稳定的充要条件是：闭环特征方程式的n个根全在左半S平面，即Z=0。则另一种等价的稳定判据的描述方法如下：综合以上两种情况，我们得到以开环系统的极坐标根轨迹（奈式曲线）判断相应的闭环系统稳定性的判据奈奎斯特判据。2010.11.1458 闭环系统稳定的充分必要条件是奈氏轨迹映射在GH平面上的封闭曲线 逆时针包围 点P周，其中P为开环传递函数 在S平面右半部的极点数。 当 在S平面右半部没有极点时，即P=0，闭

33、环系统稳定的充分必要条件是 在GH平面上不包围 点。)()(sHsG( 10)j ，( 10)j ，)()(sHsGGH)()(sHsGGH基于开环传递函数基于开环传递函数 的奈氏判据如下：的奈氏判据如下：2010.11.1459 与 之间的关系前面曾经指出，频率特性是 特定情况下的传递函数。下面分两种情况来研究 与 之间的关系。 当 在S平面虚轴上（包括原点）无极点时，奈氏轨迹可分成三个部分如图所示， （1） ，s沿负虚轴变化； （2） ，s沿正虚轴变化； （3） ，s沿以原点为圆心，半径为无穷大的右半圆弧变化，对应 由顺时针绕。( )( )G s H s)()(jHjG)()(sHsGjs

34、 ()()G jH j)()(sHsG002010.11.1460 SF) 1 () 2() 3 (j s s（1）当s在S平面负虚轴上变化时， ，()()( )( )()()()()sjjGjHjG s H sGjHjGjHjejs（5-165-16）在在GHGH平面上的映射如右图中平面上的映射如右图中曲线（曲线（1 1）。）。2010.11.1461图图5-15 5-15 s s 在在GHGH平面上的映射平面上的映射mIGHeR)2(0)1 ()3(0Kkmna)(GHGHmIeR)2(0)1 ()3(0Kmnb)(GH（2）当s在S平面正虚轴上变化时，)()()()()()()()(jH

35、jGjjsejHjGjHjGsHsG如图5-15中的曲线（2），这正是系统的开环频率特性。由于正负虚轴在S平面上以实轴为对称，它们在GH平面上的映射曲线（1）、（2）两部分也对称于实轴。js 2010.11.1462开环系统存在一个积分项，令s=j,当=0时， 轨迹不连续，无法判断其是否包围（-1，j0）点，故修改为以 为圆心， 为半径，在右半平面作很小的半圆，小半圆的表达式为 ，令 ，由0-变到0+时， 角的变化为2()jKKWjej 05.4.2.3 开环有串联积分环节的系统 P160设系统的开环传递函数为12( )(1)(1)KKWssT sT sjse0220ImRe0j0j（1）当

36、时，开环传函的幅相特性为00je（2）当 时，开环传函的幅相特性为44je（3）当 时，开环传函的幅相特性为22je2010.11.1463结论： （1）当开环传递函数中存在积分串联环节时，可以用一个在右半平面，且半径趋向于0的小半圆代替，当由0-变到0+时， 角的变化为 （2）具有一个积分环节的开环传递函数，在=0附近的幅相特性为：以为半径，相角由0度旋转到-/2。 （3）具有N个积分环节的开环传递函数，在=0附近的幅相特性为：以为半径，相角由0度旋转到-N/2。222010.11.14641ImRe2R0001ImRe22R000一个零极点两个零极点2010.11.1465三个零极点1Im

37、Re32R000当由-变到时，开环频率特性的轨迹在复平面上没有围绕（-1,j0）旋转。一个简单的判断方法：铅笔和绳子。2010.11.1466 闭环系统稳定的充分必要条件是：闭环系统稳定的充分必要条件是：GH 平面上的开平面上的开环频率特性环频率特性 当当 时，时，按按逆时针逆时针方向包围方向包围 点点P周。当位于周。当位于S平面右半部平面右半部的开环极点数的开环极点数P=0 时，即当开环传递函数的全部极点均时，即当开环传递函数的全部极点均位于位于S平面左半部（包括原点和虚轴）时，闭环系统稳定平面左半部（包括原点和虚轴）时，闭环系统稳定的充分必要条件是奈氏曲线的充分必要条件是奈氏曲线 不包围不

38、包围GH平面的平面的 点。点。)()(jHjG 变化到由), 1(j( 1, 0)jGH奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据2010.11.1467 (i) 当系统开环传递函数 的全部极点都位于S平面左半部时（P=0），如果系统的奈氏曲线 不包围GH平面的 点（N=0），则闭环系统是稳定的（z=P-N=0），否则是不稳定的；（ii) 当系统开环传递函数 有P个位于S平面右半部的极点时，如果系统的奈氏曲线 逆时针包围点的周数等于位于S平面右半部的开环极点数（N=P），则闭环系统是稳定的（Z=P-N=0），否则是不稳定的；( 1, 0)j)()(sHsGGH)()(sHsGGH( 1, 0)j2010

39、.11.1468（iii） 如果系统的奈氏曲线 顺时针包围 点（N0），则闭环系统不稳定（Z=P-N0）。 综上，奈氏曲线综上，奈氏曲线 是否包围是否包围GHGH平面的点平面的点 是判别系统是否稳定的重要依据（当然还须考虑是否存是判别系统是否稳定的重要依据（当然还须考虑是否存在在S S平面右半部的开环极点和曲线平面右半部的开环极点和曲线 包围包围 点的方向）。当点的方向）。当 曲线恰好通过曲线恰好通过GHGH平面的平面的 点（注意不是包围），此时如果系统无位于点（注意不是包围），此时如果系统无位于S S平面右半平面右半部的开环极点，则系统处于临界稳定状态。部的开环极点，则系统处于临界稳定状态。

40、( 1, 0)jGHGH( 1, 0)j( 1, 0)jGHGH( 1, 0)j2010.11.1469例5.2 试用奈氏判据分析系统的稳定性。 P163解 该系统的开环传递函数为其对应的频率特性是12( )0 -a-arctgTrctgT )() 1)(1()()(2121TTsTsTKsHsG) 1)(1()()(21jTjTKjHjG其幅频特性为：2212( )()1 ()1KATT其相频特性为：当 时：( )( )0AK 0( )0( )-180A 当 时： 2010.11.14701221212222222221212()()( )( )(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)

41、KG jH jPjQjTjTKTTK TTjTTTT令 ，则有 ，即极坐标与虚轴有交点，把其代人虚部有：11 21TT( )0P1 2112()K TTQTT开环传递函数频率特性的复数形式为：令 ，则有 ，即极坐标与实轴有交点20( )0Q2010.11.1471综合上述分析，开环传递函数的极坐标图为：P16310K0eRmIGH例例5.2 5.2 奈氏曲线奈氏曲线2010.11.1472解 该系统的开环传递函数为其对应的频率特性是)10()12()()(22TssTsKsHsGv)21 ()()(22TjTjKjHjGv例例5.35.3 试用奈氏判据分析系统的稳定性。试用奈氏判据分析系统的稳

42、定性。222( )0 -90 -a1TrctgT 其幅频特性为：2222( )(1)(2)KATT 其相频特性为：当 时：( )( )90A 0( )0( )0-180,A 当 时： 2010.11.1473222222222222222()()( )( )(12)2(1)(1)(2)(1)(2)vvvKG jH jPjQjTjTTKTKjTTTT令 ，则有 ，即极坐标与虚轴有交点，把其代人虚部有：11121,0T1()0Q11()2K TP 开环传递函数频率特性的复数形式为：令 ，则有 ，即探讨极坐标与实轴是否有交点202()0P2010.11.1474综合上述分析，开环传递函数的奈式曲线为

43、图图5-20 5-20 例例5-75-7奈氏曲线奈氏曲线02TKV 0 0eRGHmI012)(NTKaV时112TKV 0 0eRGHmI212)(NTKbV时02010.11.1475 开环传递函数无右半开环传递函数无右半S S平面的极点，即平面的极点，即P=0P=0，系统是，系统是否稳定取决于奈氏曲线与负实轴的交点坐标值否稳定取决于奈氏曲线与负实轴的交点坐标值 的大的大小，当小，当 时，时， 不包围不包围 点，即点，即N=0N=0图图5-5-2020（a a），系统是稳定的；当），系统是稳定的；当 时奈氏曲线时奈氏曲线 顺时针包围顺时针包围 点两周，即点两周，即 N=-2,N=-2,图图

44、5-205-20（b b），），系统不稳定。系统不稳定。2TKv12TKv), 1(j12TKvGHGH), 1(j2010.11.1476三个转折周期：解 写出如下伯德图的传递函数320lg60,10KK例例5.45.4 P184 5-7 (1)P184 5-7 (1)。300-40-1204060-20-40-2L( )110 100则相应的典型环节为：111,1 0.11 0.0031sss111,10 300开环增益为：需要注意的是，第3个典型环节为-40db，所以应该是平方项：2010.11.1477解 传递函数为( )0arct0.12t0.003garctgarc g 相频特性为

45、：所以传递函数为：2( )( )1000(1)(0.11) 0.0031G s H ssss300-40-1204060-20-40-2L( )110 100-45-135-3602010.11.1478u5.1 频域特性的概念 u5.2 典型环节频率特性的绘制u5.3 系统开环频率特性的绘制u5.4 奈奎斯特稳定判据u5.5 控制系统的相对稳定性2010.11.1479 在工程应用中，由于环境温度的变化、元件的老化以及元件的更换等，会引起系统参数的改变，从而有可能破坏系统的稳定性。因此在选择元件和确定系统参数时，不仅要考虑系统的稳定性，还要求系统有一定的稳定程度，这就是所谓自动控制系统的相对

46、稳定性问题。 5.5.1 5.5.1 相对稳定性的概念相对稳定性的概念 P165P1652010.11.1480已知两个最小相位系统（P146）的奈氏曲线如图5-21(a)和(b)红线所示。当系统参数变化，使开环放大倍数增加50%后，两系统的奈氏曲线分别如图5-21中虚线所示。图图5-21 5-21 系统的相对稳定性系统的相对稳定性mI00GHeRB1)(b00GHeR)(a1AmIB00A2010.11.14815.5.2 5.5.2 稳定裕度稳定裕度 通常用稳定裕度来衡量系统的相对稳定性或系统的稳定程度，其中包括系统的相角裕度和幅值裕度。1. 相位裕量（相角裕度）相位裕量（相角裕度） 如图

47、5-22所示，GH平面上的单位圆与系统开环频率特性曲线的交点频率 称为幅值穿越频率或剪切频率，它满足c)0(1)()(cccjHjG图图5-225-22mIeR)(cGHjj110c02010.11.1482相位裕量的含义相位裕量的含义：使系统达到临界稳定状态时开环频率特性的相角减小（对应稳定系统）或增加（对应不稳定系统）的数值。)()()(cccjHjG)(c0jj11mIeRcGH00图图 5-23(a)5-23(a)0相位裕量( ) 幅值穿越频率所对应的相移 与1800角的差值)(c00180)()180()(cc2010.11.1483 2. 2. 增益裕量（幅值裕度）增益裕量（幅值裕

48、度） 如图5-23(b)所示，把系统的开环频率特性曲线与GH平面负实轴的交点频率称为相位穿越频率 （截止频率），它应满足 )()(1gggjHjGK增益裕量(Kg，GM) 相位穿越频率所对应的开环幅频特性的倒数值，即mIeRGHgK1gjj11100gK0c0 图图5-23(b)5-23(b)g)0(180)()(0gggjHjG2010.11.1484 对于最小相位系统,当增益裕量 ( )，系统稳定(图5-24)，且Kg值愈大,系统的相对稳定性愈好。如果幅值裕度 ( ),系统则不稳定( 图5-24)。 1gK1gK()()1ggG jH j()()1ggG jH j 当 Kg=1 时，系统的

49、开环频率特性曲线穿过(-1,j0)点，临界稳定。可见，求出系统的增益裕量 Kg 后，可根据 Kg值的大小分析最小相位系统的稳定性和稳定程度。2010.11.1485)(c0jj1gK11mIeRGH100gK0图图5-245-24g增益裕量的含义增益裕量的含义 使系统到达临界稳定状态时开环频率特性的幅值增大（对应稳定系统）或缩小（对应不稳定系统）的倍数。)()(ggjHjG2010.11.1486 通常有三种求解系统相角裕度和幅值裕度的方法，即解析法、极坐标图法和伯德图法。)252(40)()(2ssssHsG例例 5.45.4 已知最小相位系统的开环传递函数为 试求出该系统的幅值裕度和相角裕度。 2010.11.1487解 系统的开环频率特性为其幅频特性和相频特性分别是)2