第三章静态场及其边值问题的解

1、第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波1第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波2本章内容本章内容 3.1 静电场分析静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法镜像法 3.6 分离变量法分离变量法 静态电磁场：静态电磁场：场量不随时间变化，包括：场量不随时间变化，包括： 静电场、恒定电场和恒定磁场静电场、恒定电场和恒定磁场 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 静态情况下，电场和磁场由各自的源

2、激发，且相互独立静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波33.1 静电场分析静电场分析 本节内容本节内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量静电场的能量 3.1.5 静电力静电力第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波42. 边界条件边界条件0ED微分形式：微分形式：ED本构关系：本构关系：1. 基本方程基本方程0ddlESDCSq积分形式：积分形式：02t1tn2n1EEDDS2t1tn2n1EEDD3.

3、1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件若分界面上不存在面电荷，即若分界面上不存在面电荷，即 ，则，则0S第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波5介质介质2 2介质介质1 121212E1Ene212n21n12n2t1n1t21/tantanDDEEEE 在静电平衡的情况下，导体内部的电场为在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的，则导体表面的边界条件为边界条件为 0tnEDS 场矢量的折射关系场矢量的折射关系 导体表面的边界条件导体表面的边界条件第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波60E由由即即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，静电场可以用一个标量函数的梯

4、度来表示，标量函数标量函数 称为静称为静电场的标量电位或简称电位。电场的标量电位或简称电位。1. 电位函数的定义电位函数的定义E3.1.2 电位函数电位函数2. 电位的表达式电位的表达式体分布电荷的电位体分布电荷的电位1()( )d4VrrVCR面电荷的电位：面电荷的电位： 点电荷的电位：点电荷的电位：( )4qrCR()1( )d4lCrrlCR线电荷的电位：线电荷的电位：( )1( )4dSSrrSCR第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波7 静电位不惟一，可以相差一个常数，即静电位不惟一，可以相差一个常数，即)(CC选参考点选参考点令参考点电位为零令参考点电位为零电位确定值电位确定值( (

5、电位差电位差) )两点间电位差有定值两点间电位差有定值 选择电位参考点的原则选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义应使电位表达式有意义。 应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无 限远作电位参考点。限远作电位参考点。 同一个问题只能有一个参考点。同一个问题只能有一个参考点。3. 电位参考点电位参考点 为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，

6、所以该点的电位也就具有确定值，即定值，所以该点的电位也就具有确定值，即第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波84. 电位差电位差两端点乘两端点乘 ，则有，则有ldE将将d)ddd(ddyyyyxxllE上式两边从点上式两边从点P到点到点Q沿任意路径进行积分，得沿任意路径进行积分，得关于电位差的说明关于电位差的说明 P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至点移至Q 点点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。 电位差也称为电压，可用电位差也称为电压，可用U 表示。表示。 电位差有确

7、定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。)()(ddQPlEQPQPP、Q 两点间的电位差两点间的电位差电场力做电场力做的功的功第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波9在均匀介质中，有在均匀介质中，有5. 电位的微分方程电位的微分方程在无源区域，在无源区域，0EED202标量泊松方程标量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波106. 静电位的边界条件静电位的边界条件 设设P1和和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为别为1和和2。当两点间距离当两点间距

8、离l0时时 导体表面上电位的边界条件：导体表面上电位的边界条件：0dlim21021PPlElSe)(21nDDD由由 和和12媒质媒质2媒质媒质121l2P1P 若介质分界面上无自由电荷，即若介质分界面上无自由电荷，即0Snn1122常数，常数，SnSnn112221第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波11 例例3.1.4 两块无限大接地导体平板分别置于两块无限大接地导体平板分别置于 x = 0 和和 x = a 处，处，在两板之间的在两板之间的 x = b 处有一面密度为处有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。示。求两导体平板之间的电位

9、和电场。0S 解解 在两块无限大接地导体平板之间，除在两块无限大接地导体平板之间，除 x = b 处有均匀面电处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程斯方程212d( )0,(0)dxxbx222d( )0,()dxbxax111222( )( )xC xDxC xD方程的解为方程的解为obaxy两块无限大平行板两块无限大平行板0S1( )x2( ) x第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波120110(),0SbaCDa 002200,SSbbCDa 010020()( ),(0)( )(),()SSab

10、xxxbabxaxbxaa 0110()( )( )SxabE xxea 1221122021000SDC aDC bDC bDCC 利用边界条件，有利用边界条件，有xb12( )( ),bb0210( )( )Sx bxxxx 处，处，最后得最后得0 x 处，处，1(0)0 x a2( )0a 处，处，所以所以0220( )( )SxbE xxea由此解得由此解得第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波13电容器广泛应用于电子设备的电路中：电容器广泛应用于电子设备的电路中： 3.1.3 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁在电子电路

11、中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用。路、选频等作用。 通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂 电路。电路。 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以 减少电能的损失和提高电气设备的利用率。减少电能的损失和提高电气设备的利用率。第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波14 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷储存电荷能力的物理量。能力的物理量。 孤立导体的电容定义为所带电量孤立导体的电容定义为所带

12、电量q与其电位与其电位 的比值，即的比值，即qC 1. 电容电容 孤立导体的电容孤立导体的电容 两个带等量异号电荷（两个带等量异号电荷（ q）的的 导体组成的电容器，其电容为导体组成的电容器，其电容为12qqCU 电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和周围电介质电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。E02U1qq第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波15 如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过，充电过程中外加电源所做的总功将全部转换成电

13、场能量，或者说电场能程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功。量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功。静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有 能量。能量。 任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立电荷分布的建立(或充电或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服过程。在此过程中，外加电源

14、必须克服电荷之间的相互作用力而做功。电荷之间的相互作用力而做功。3.1.4 静电场的能量静电场的能量 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波161. 静电场的能量静电场的能量 设系统从零开始充电，最终带电量为设系统从零开始充电，最终带电量为 q 、电位为、电位为 。 充电过程中某一时刻的电荷量为充电过程中某一时刻的电荷量为q 、电位为、电位为 。(01) 当当增加为增加为(+ d)时，时，外电源做功为外电源做功为: (q d)。 对对从从0 到到 1 积分，即得到外电源所做的总功为积分，即得到外电源所做的总功为101d2qq 根据能量守恒定律，此功也就是电量为根据能量守恒定律，此功也就是电量为

15、q 的带电体具有的电的带电体具有的电场能量场能量We ，即，即 对于电荷体密度为对于电荷体密度为的体分布电荷，体积元的体分布电荷，体积元dV中的电荷中的电荷dV具具有的电场能量为有的电场能量为qW21eVWd21de第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波17故体分布电荷的电场能量为故体分布电荷的电场能量为对于面分布电荷，对于面分布电荷，电场能量为电场能量为对于多导体组成的带电系统，则有对于多导体组成的带电系统，则有iq 第第i 个导体所带的电荷个导体所带的电荷i 第第i 个导体的电位个导体的电位式中：式中： iiiiSSiiSiSqSSWiiii21d21d21eVVWd21eSSSWd21e第

16、3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波182. 电场能量密度电场能量密度 从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。EDw21e电场能量密度：电场能量密度：e1d2VWD E V电场的总能量：电场的总能量：积分区域为电场积分区域为电场所在的整个空间所在的整个空间2e111ddd222VVVWD E VE E VEV 对于线性、各向同性介质，则有对于线性、各向同性介质，则有2e111222wD EE EE 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波19由于体积由于体积V 外的电荷密度外的电荷密度0，若将上，若将上式中的积分区域扩大到整个场空

17、间，结式中的积分区域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要电荷分布在有限区域果仍然成立。只要电荷分布在有限区域内，当闭合面内，当闭合面S 无限扩大时，则有无限扩大时，则有211 O( O()DRR)、故故 推证推证：()DDD E D R0Se11dd22VVWVDV1()d2VDDVSVSDVDdd )(VDESDVSd21d210)1O()d11O(d2RSRRSDSS第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波20 例例3.1.7 半径为半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的电的电荷，试求静电场能量。荷，试求静电场能量。520242062202022015

18、4)d49d49(21arrrarrraa10()3rrEera 解解： 方法一方法一，利用利用 计算计算 VVEDWd21e 根据高斯定理求得电场强度根据高斯定理求得电场强度 3220()3raEerar故故VEVEVEDWVVVd21d21d2121220210e第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波21)()3(2d3d3dd2202030211arrarrarrrErEaraara 方法二方法二：利用利用 计算计算 VVWd21e 先求出电位分布先求出电位分布 故故5202022021e154d4)3(221d21arrraVWaV作业：作业：P167 3.7 3.9 第3章 电磁场与电

19、磁波电磁场与电磁波223.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 本节内容本节内容 3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场的基本方程和边界条件 3.2.2 恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟 3.2.3 漏电导漏电导第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波23恒定电流恒定电流 恒定电场与静电场的重要区别：恒定电场与静电场的重要区别： （1 1）恒定电场可以存在于导体内部。）恒定电场可以存在于导体内部。 （2 2）恒定电场中有电场能量的损耗）恒定电场中有电场能量的损耗, ,要维持导体中的恒定电要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。流，就

20、必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。 恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。 3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场的基本方程和边界条件这种恒定分布电荷产生的电场称为恒定电场。这种恒定分布电荷产生的电场称为恒定电场。 由由J J E E 可知，导体中若存在可知，导体中若存在恒定电场恒定电场恒定电荷分布恒定电荷分布第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波24EJ0d0dlESJCS00EJ1. 基本方程基本方程 恒定电场的基本方程为恒定电场的基本方程为微分形式：微分形式：积分形式：积分形式：)(rJ 恒定电场的基本场矢量是电流

21、密度恒定电场的基本场矢量是电流密度 和电场强度和电场强度)(rE 线性各向同性导电媒质的本构关系线性各向同性导电媒质的本构关系0)(EEJ 恒定电场的电位函数恒定电场的电位函数0E0 EE0 J由由0)(02若媒质是均匀的，则若媒质是均匀的，则 均匀导电媒质中均匀导电媒质中没有体分布电荷没有体分布电荷第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波252. 恒定电场的边界条件恒定电场的边界条件0dlEC0dSJS媒质媒质2 2媒质媒质1 121212E1Ene0)(21nJJe0)(21nEEe 场矢量的边界条件场矢量的边界条件2nn1JJ即即2t1tEE即即 导电媒质分界面上的电荷面密度导电媒质分界面上

22、的电荷面密度n2211222111n21n)()()(JeeSJJDD场矢量的折射关系场矢量的折射关系212n21n12n2t1n1t21/tantanJJEEEES1J2Jne媒质媒质1 1媒质媒质2 2hPSl1E2Ene媒质媒质1 1媒质媒质2 2Nh第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波26 电位的边界条件电位的边界条件nn221121, 恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场 既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因 而导体表面不是等位面；而导体表面不是等位

23、面； 说明说明：b11、a第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波27 例例3.2.1一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为 1、 1 和和 2、 2 ，外加电压，外加电压U。求介质面上的自由电荷密度。求介质面上的自由电荷密度。 解解：极板是理想导体，：极板是理想导体，为等位面，电流沿为等位面，电流沿z 方向。方向。1n2nJJ 由由1n2nSDD由由U1d2d11, 22, zo12121 12212()ddUUUEdE dJ12121122,JJJJEE12JJJ1212()ddJU21122121212112()SDDJUdd 介第3章 电磁场与

24、电磁波电磁场与电磁波283.2.2 恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟 如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为的方法称为比拟法。比拟法。D0U静电场静电场J0U恒定电场恒定电场第3章 电磁场与电

25、磁波电磁场与电磁波29恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟基本方程基本方程ED,EEJ0202n2n1t2t1 DDEEn2n1t2t1 JJEE静电场（静电场（ 区域）区域） 00d, 0dlESJCS0, 0EJ,E0,0DEnn221121 ,nn221121 ,本构关系本构关系位函数位函数边界条件边界条件恒定电场（电源外）恒定电场（电源外）对应物理量对应物理量静电场静电场EEDJqI恒定电场恒定电场GC0d, 0dlESDCS第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波30 工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之间，填充

26、不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压U 时，必定会有微小的漏电流时，必定会有微小的漏电流 J 存在。存在。 漏电流与电压之比为漏电导漏电流与电压之比为漏电导，即，即UIG 其倒数称为绝缘电阻，即其倒数称为绝缘电阻，即IUGR13.2.3 漏电导漏电导第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波31(1) 假定两电极间的电流为假定两电极间的电流为I ；(2) 计算两电极间的电流密度计算两电极间的电流密度 矢量矢量J ；(3)

27、由由J = E 得到得到 E ;(4) 由由 ，求出两导，求出两导 体间的电位差；体间的电位差；(5) 求比值求比值 ，即得出，即得出 所求电导。所求电导。21dlEUUIG/ 计算电导的方法一计算电导的方法一： 计算电导的方法二计算电导的方法二： (1) 假定两电极间的电位差为假定两电极间的电位差为U； (2) 计算两电极间的电位分布计算两电极间的电位分布 ； (3) 由由 得到得到E ; (4) 由由 J = E 得到得到J ; (5) 由由 ，求出两导体间，求出两导体间 电流；电流； (6) 求比值求比值 ，即得出所，即得出所 求电导。求电导。ESISJdUIG/ 计算电导的方法三计算电

28、导的方法三：静电比拟法：静电比拟法：CGCG第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波32 例例3.2.2 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a 、b，长度为长度为l ，其间媒质的电导率为，其间媒质的电导率为、介电常数为、介电常数为。解解：直接用恒定电场的计算方法直接用恒定电场的计算方法电导电导)/ln(2ablUIG绝缘电阻绝缘电阻ablGRln211baablIlIUln2d2dlElba则则IlIJ2lIJE2设由内导体流向外导体的电流为设由内导体流向外导体的电流为I 。第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波33本节内容本节内容 3.3.1 恒定磁场

29、的基本方程和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件 3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位恒定磁场的矢量磁位和标量磁位 3.3.3 电感电感 3.3.4 恒定磁场的能量恒定磁场的能量 3.3.5 磁场力磁场力3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波340HJB微分形式微分形式: :0dddSSCSBSJlH1. 基本方程基本方程BH2. 边界条件边界条件本构关系：本构关系：SJHHBBt2t12n1n0若分界面上不存在面电流，即若分界面上不存在面电流，即JS0，则，则积分形式积分形式: :002tt1n2n1HHBB3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场的

30、基本方程和边界条件第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波35 矢量磁位的定义矢量磁位的定义 磁矢位的任意性磁矢位的任意性 与电位一样，磁矢位也不是惟一确定的，它加上任意一个标与电位一样，磁矢位也不是惟一确定的，它加上任意一个标量量 的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即由由AA 0BBA 即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。 磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其散度磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其散度造成的。为了得到确定的造成的。为了得到确定的A，可以对，可以对A的散度加以限制，在恒定磁的散

31、度加以限制，在恒定磁场中通常规定，并称为场中通常规定，并称为库仑规范库仑规范。0A()AAA 1. 恒定磁场的矢量磁位恒定磁场的矢量磁位矢量磁位或称磁矢位矢量磁位或称磁矢位 3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位恒定磁场的矢量磁位和标量磁位第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波36的物理意义磁矢位AsSlmldASdASdB A1意曲面的磁通量为边界的任环流等于通过以此回路沿任意闭合回路的、静磁场中矢势BdSL)AA(qG ，A212电磁动量的增量为在电磁系统中与场动量有关、。AB， A，A， B，A ，B-A 3的线积分才恰当和而用磁场显然已是过多的来描述用的任意性起的但是由于规范变换所引不

32、够的来描述是在量子力学中磁场仅用是有可观察的物理效应它说明在量子力学中物理实验效应是一个著名的近代、第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波37 磁矢位的微分方程磁矢位的微分方程在无源区：在无源区：AB0A 0J JA202 A矢量泊松方程矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程AJ2()AAJ JB（可以证明满足（可以证明满足 ） 0A对于面电流和细导线电流回路，磁矢位对于面电流和细导线电流回路，磁矢位分别为分别为 利用磁矢位计算磁通量：利用磁矢位计算磁通量：细线电流细线电流：CRlIrAd4)(面电流面电流：SSSRrJrAd)(4)(类比可得出类比可得出VVRrJrAd)(4)(CSSl

33、ASASBddd第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波382. 恒定磁场的标量磁位恒定磁场的标量磁位 一般情况下，恒定磁场只能引入磁矢位来描述，但一般情况下，恒定磁场只能引入磁矢位来描述，但在无传导在无传导电流（电流（J0）的单连通空间）的单连通空间 中，则有中，则有即即在无传导电流（在无传导电流（J0）的单连通空间）的单连通空间中，可以引入一个中，可以引入一个标量位标量位函数来描述磁场。函数来描述磁场。 标量磁位的引入标量磁位的引入0HmH 标量磁位或磁标位标量磁位或磁标位 磁标位的微分方程磁标位的微分方程00,()BBHM将将 代入代入mH m0H2mm0 m0HM m0M 等效磁荷体密度等

34、效磁荷体密度I磁壳磁壳通）除去磁壳的区域（单连 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波39 与静电位相比较，有与静电位相比较，有 标量磁位的边界条件标量磁位的边界条件m0 n21()SeMM 0m0BHHB 、2m0在线性、各向同性的均匀媒质中在线性、各向同性的均匀媒质中 标量磁位的表达式标量磁位的表达式01( )( )d4VrrVRmm0( )1( )d4VrrVRm1m212nn和和m1m2或或2mm10mSnn 和和m1m2式中：式中： 等效磁荷面密度等效磁荷面密度第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波40静电位静电位 磁标位磁标位 磁标位与静电位的比较磁标位与静电位的比较0,ED0,0HB

35、E mH PP m0M 2P0() 2mm0 m0 n21()SeMM Pn21()SePP m1m2m1m212,nn121212,nn静电位静电位 0 PEDP磁标位磁标位 m 0mHB0M第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波4122m00m00m,qa Mqa Mq 上下上当当r l 时，可将磁柱体等效成磁偶极子，时，可将磁柱体等效成磁偶极子，则利用与静电场的比较和电偶极子场，有则利用与静电场的比较和电偶极子场，有mm33001144prp rrr 2mm00zpqlpq leaM l：其中其中0mB 解解：M0为常数，为常数，m= 0，柱内没有磁荷。在柱的两个端面上，柱内没有磁荷。在柱

36、的两个端面上，磁化磁荷为磁化磁荷为m00m00,MM 上下R1R2rPzx-l/2l/2M 例例3.3.1半径为半径为a、长为、长为l 的圆柱永磁体，沿轴向均匀磁化，的圆柱永磁体，沿轴向均匀磁化，其磁化强度为其磁化强度为 。求远区的磁感应强度。求远区的磁感应强度。0zMe M第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波421. 磁通与磁链磁通与磁链 ii3.3.3 电感电感 单匝线圈形成的回路的磁链定单匝线圈形成的回路的磁链定 义为穿过该回路的磁通量义为穿过该回路的磁通量 多匝线圈形成的导线回路的磁多匝线圈形成的导线回路的磁 链定义为所有线圈的磁通总和链定义为所有线圈的磁通总和 CI 细回路细回路 粗

37、导线构成的回路，磁链分为粗导线构成的回路，磁链分为 两部分：一部分是粗导线包围两部分：一部分是粗导线包围 的、磁力线不穿过导体的外磁通量的、磁力线不穿过导体的外磁通量 o ；另一部分是磁力线穿过；另一部分是磁力线穿过 导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量 i。 iCI o粗回路粗回路第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波43 设回路设回路 C 中的电流为中的电流为I ，所产生的磁场与回路，所产生的磁场与回路 C 交链的磁链交链的磁链为为 ，则磁链，则磁链 与回路与回路 C 中的电流中的电流 I 有正比关系，其比值有正比关系，其比值IL称为回路称为回路 C

38、的自感系数，简称自感。的自感系数，简称自感。 外自感外自感ILiiILoo2. 自感自感 内自感；内自感；粗导体回路的自感：粗导体回路的自感：L = Li + Lo 自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与电流无关。电流无关。 自感的特点自感的特点：第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波44 对两个彼此邻近的闭合回路对两个彼此邻近的闭合回路C1 和回路和回路 C2 ，当回路，当回路 C1 中通过中通过电流电流 I1 时，不仅与回路时，不仅与回路 C1 交链的交链的磁链与磁链与I1 成正比，而且与回路成正比，而且与回路 C2 交链的磁

39、链交链的磁链 12 也与也与 I1 成正比，其成正比，其比例系数比例系数12121IM 称为回路称为回路 C1 对回路对回路 C2 的互感系数，简称互感。的互感系数，简称互感。21212IM 3. 互感互感同理，回路同理，回路 C2 对回路对回路 C1 的互感为的互感为C1C2I1I2Ro1dl2dl2r1r第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波45 互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围 磁介质有关，而与电流无关。磁介质有关，而与电流无关。 满足互易关系，即满足互易关系，即M12 = M21 当与回路交链的互感磁通与自感磁通

40、具有相同的符号时，互当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时，互 感系数感系数 M 为正值；反之，则互感系数为正值；反之，则互感系数 M 为负值为负值。 互感的特点：互感的特点：第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波463.3.4 恒定磁场的能量恒定磁场的能量1. 磁场能量磁场能量 在恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势做功所供给的在恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势做功所供给的能量，就全部转化成磁场能量。能量，就全部转化成磁场能量。 电流回路在恒定磁场中受到磁场力的作用而运动，表明恒定电流回路在恒定磁场中受到磁场力的作用而运动，表明恒定 磁场具有能量。磁场具有能量。 磁场能量是在

41、建立电流的过程中，由电源供给的。当电流从磁场能量是在建立电流的过程中，由电源供给的。当电流从 零开始增加时，回路中的感应电动势要阻止电流的增加，因零开始增加时，回路中的感应电动势要阻止电流的增加，因 而必须有外加电压克服回路中的感应电动势。而必须有外加电压克服回路中的感应电动势。 假定建立并维持恒定电流时，没有热损耗。假定建立并维持恒定电流时，没有热损耗。 假定在恒定电流建立过程中，电流的变化足够缓慢，没有辐假定在恒定电流建立过程中，电流的变化足够缓慢，没有辐 射损耗。射损耗。第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波47 设回路从零开始充电，最终的电流为设回路从零开始充电，最终的电流为 I 、交链

42、的磁链为、交链的磁链为 。 在时刻在时刻 t 的电流为的电流为i =I 、磁链为、磁链为 = 。 (01) 根据能量守恒定律，此功也就是电流根据能量守恒定律，此功也就是电流为为 I 的载流回路具有的的载流回路具有的磁场能量磁场能量Wm ，即，即对对从从0 到到 1 积分，即得到外电源所做的总功为积分，即得到外电源所做的总功为外加电压应为外加电压应为所做的功所做的功101dd2WWII dddddddWu qi tiIt 当当增加为增加为(+ d)时，回路中的感应电动势时，回路中的感应电动势:t ddin2m21d2121LIlAIIWCtuddin第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波48 对于

43、对于N 个载流回路，则有个载流回路，则有对于体分布电流，则有对于体分布电流，则有例如，对于两个电流回路例如，对于两个电流回路 C1 和回路和回路C2 ，有，有回路回路C2的自有能的自有能回路回路C1的自有能的自有能C1和和C2的互能的互能21222212112111md)(21d)(21CClIAAlIAAW22212221111121212121IIII212222112121IMIILILjCjjNjjjNjjlAIIWd212111mVVAJWd21m第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波492. 磁场能量密度磁场能量密度 从场的观点来看，磁场能量分布于磁场所在的整个空间。从场的观点来看，

44、磁场能量分布于磁场所在的整个空间。磁场能量密度：磁场能量密度：磁场的总能量：磁场的总能量：积分区域为电场积分区域为电场所在的整个空间所在的整个空间对于线性、各向同性介质，则有对于线性、各向同性介质，则有m12wB Hm1d2VWB H V2m111222wB HH HH2m111ddd222VVVWB H VH H VHV第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波50 例例3.3.8 同轴电缆的同轴电缆的内导体半径为内导体半径为a ，外导体的内、外半径外导体的内、外半径分别为分别为 b 和和 c ，如图所示。导体中通有电流，如图所示。导体中通有电流 I ，试求同轴电缆，试求同轴电缆中单位长度储存的磁

45、场能量与自感。中单位长度储存的磁场能量与自感。 解解：由安培环路定理，得：由安培环路定理，得2222202220IeaaIeabHIcebccbcabc第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波5122220m322() () 2 d22cbIcWcb 三个区域单位长度内的磁场能量分别为三个区域单位长度内的磁场能量分别为2200m120() 2 d2216aIIWa 2200m2() 2dln224baIIbWa 24220222223ln4()4()Icccbcbbcb第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波52单位长度内总的磁场能量为单位长度内总的磁场能量为mm1m2m322242200022222

46、3lnln1644()4()WWWWIIIbcccbacbbcb单位长度的总自感单位长度的总自感422000m22222223lnln822()4()WbcccbLIacbbcb内导体的内自感内导体的内自感内外导体间的外自感内外导体间的外自感外导体的内自感外导体的内自感第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波53作业：P167-168 3.11 3.19 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波543.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理 本节内容本节内容 3.4.1 边值问题的类型边值问题的类型 3.4.2 惟一性定理惟一性定理边值问题边值问题：在给定的边界条件下，求

47、解位函数的泊松方程或：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或 拉普拉斯方程拉普拉斯方程第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波553.4.1 边值问题的类型边值问题的类型1|( )Sf S已知场域边界面已知场域边界面S 上的位函数值，即上的位函数值，即222|()SfSn111|()Sf S、2|( )SfSn第一类边值问题第一类边值问题（或狄里赫利问题）（或狄里赫利问题）已知场域边界面已知场域边界面S 上的位函数的法向导数值，即上的位函数的法向导数值，即 已知场域一部分边界面已知场域一部分边界面S1 上的上的位函数值，而另一部分边界位函数值，而另一部分边界面面S2 上则已知上则已知位函数的法

48、向导数值，即位函数的法向导数值，即第三类边值问题第三类边值问题（或混合边值问题）（或混合边值问题）第二类边值问题第二类边值问题（或纽曼问题）（或纽曼问题）SV第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波5622220 xy例：例：(0, )0, ( , )0ya y0( ,0)0, ( , )xx bU（第一类边值问题）（第一类边值问题）0UbaOxy0UbaOxy0 x0 x22220 xy00,0 xx axx0( ,0)0, ( , )xx bU（第三类边值问题）（第三类边值问题）例：例：第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波57有限值rrlim 自然边界条件自然边界条件 （无界空间）（无界空间）

49、 周期边界条件周期边界条件(2) 衔接条件衔接条件不同媒质分界面上的边界条件，如不同媒质分界面上的边界条件，如121212,nn1212rS2第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波58 在场域在场域V 的边界面的边界面S上给定上给定 或或 的的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 具具有惟一值。有惟一值。 n3.4.2 惟一性定理惟一性定理SV惟一性定理的重要意义惟一性定理的重要意义给出了静态场边值问题具有惟一解的条件给出了静态场边值问题具有惟一解的条件为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为求解结果的正确性提供

50、了判据为求解结果的正确性提供了判据惟一性定理的表述惟一性定理的表述第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波593.5 镜像法镜像法 本节内容本节内容 3.5.1 镜像法的基本原理镜像法的基本原理 3.5.2 接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像 3.5.3 导体球面的镜像导体球面的镜像 *3.5.4 导体圆柱面的镜像导体圆柱面的镜像 3.5.5 点电荷与无限大电介质平面的镜像点电荷与无限大电介质平面的镜像 *3.5.6 线电流与无限大磁介质平面的镜像线电流与无限大磁介质平面的镜像第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波60 当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面当有电荷存在于导体或介质表面

51、附近时，导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。的分布。非均匀感应电荷产生的电位很难求非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代解，可以用等效电荷的电位替代1. 问题的提出问题的提出几个实例几个实例q q3.5.1 镜像法的基本原理镜像法的基本原理接地导体板附近有接地导体板附近有一个点电荷，如图所一个点电荷，如图所示。示。qq非均匀感应电荷非均匀感应电荷等效电荷等效电荷第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波61 接地导体球附近有一个点电荷，如图。接地导体球附近有一个点电荷，如图。非均匀感应电

52、荷产生的非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代等效电荷的电位替代 接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷。荷为线电荷。q q非均匀感应电荷非均匀感应电荷qq等效电荷等效电荷结论结论：所谓镜像法是：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷 或线电荷的作用或线电荷的作用。问题问题：这种等效电荷是否存在？：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？这种等效是否合理？第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波622. 镜像法的原理镜像法的原理 用位于用

53、位于场域边界外场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种得以明显简化的一种间接求解法间接求解法。 在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变的前提条件下，变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一泛定

54、方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且是惟一的解答。是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法。种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法。3. 镜像法的理论基础镜像法的理论基础 解的解的惟一性定理惟一性定理第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波63 像电荷的个数、位置及其电量大小像电荷的个数、位置及其电量大小“三要素三要素” ” 。4. 镜像法应用的关键点镜像法应用的关键点5. 确定镜像电荷的两条原则确定

55、镜像电荷的两条原则等效求解的等效求解的“有效场域有效场域”。镜像电荷的确定镜像电荷的确定像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域区域 的边界条件来确定。的边界条件来确定。第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波641. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像点电荷对无限大接地导体平面的镜像,qq hh 11()04qzRR（）00zRR满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。3.5.2 接地导体平面的镜像接地导体平面

56、的镜像镜像电荷镜像电荷电位函数电位函数因因 z = 0 时，时，有效区域有效区域RR q qhhq q qh第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波65上半空间上半空间( ( z0 ）的电位函数）的电位函数q qh22222211( , , )4()()qx y zxyz hxyz h(0)z 2223 202()Szqhzxyh in2223 2d dd2()SSqhx yqSxyh 222 3 200d d2()qhqh 导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的总感应电荷为导体平面上的总感应电荷为第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波662. 点电荷对相交半无限大接地导体

57、平面的镜像点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点电荷电荷q 位于位于(d1, d2 )处。处。 显然，显然，q1 对平面对平面 2 以及以及 q2 对平对平面面 1 均不能满足边界条件。均不能满足边界条件。1231111()4qRRRR对于平面对于平面1，有镜像电荷，有镜像电荷q1=q，位于，位于(d1, d2 )对于平面对于平面2，有镜像电荷，有镜像电荷q2=q，位于，位于( d1, d2 ) 只有在只有在(d1, d2 )处处再设置一再设置一镜像电荷镜像电荷q3 = q，所有边界条件才

58、能，所有边界条件才能得到满足。得到满足。电位函数电位函数 d11qd22RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波67 例例3.5.1 一个点电荷一个点电荷q与无限大导体平面距离为与无限大导体平面距离为d，如果把它，如果把它移至无穷远处，需要做多少功？移至无穷远处，需要做多少功？ 解解：移动电荷：移动电荷q时，外力需要克服电时，外力需要克服电场力做功，而电荷场力做功，而电荷q受的电场力来源于导受的电场力来源于导体板上的感应电荷。可以先求电荷体板上的感应电荷。可以先求电荷q 移至移至无穷远时电场力所做的功。无穷远时电场力所做的功。20( )4(2 )x

59、qE xexe22200( ) d1d4(2 )16ddWqE xxqqxxd 2oe016qWWd qqx = 0d-d 由镜像法，感应电荷可以用像电荷由镜像法，感应电荷可以用像电荷 替代。当电荷替代。当电荷q 移移至至x时，像电荷时，像电荷 应位于应位于x，则，则像电荷产生的电场强度像电荷产生的电场强度qq q2e0011224(2 )16qqWqqdd第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波683.5.3 导体球面的镜像导体球面的镜像1. 点电荷对接地导体球面的镜像点电荷对接地导体球面的镜像 球面上的感应电荷可用镜像电荷球面上的感应电荷可用镜像电荷 q来等效。来等效。 q 应位于导体球内（应

60、位于导体球内（因为因为不可影响原方程不可影响原方程），且在点电荷），且在点电荷q与球与球心的连线上，距球心为心的连线上，距球心为d。则有。则有 01()4qqRR 如图所示，点电荷如图所示，点电荷q 位于半径位于半径为为a 的接地导体球外，距球心为的接地导体球外，距球心为d 。方法方法：利用导体球面上电位为零确定：利用导体球面上电位为零确定 和和 q。d dq?问题问题： PqarRdqPaqrRRdd第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波69 令令 ra，由球面上电位为零，由球面上电位为零，即即 0，得，得=0qqRRRqRq 常数此式应在整个球面上都成立。此式应在整个球面上都成立。OqPOq