第十章机械振动

1、第十章机械振动一.选择题：【C】1、(基础训练3)长为I的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，(如图213-16所示)，作成一复摆已知细棒绕通过其一端的轴的转动惯量Jml2，此摆作微小3振动的周期为(A)2%(B)2兀氏.(C)2兀俘.(D)江匸.V2gpg3g提示：均匀的细棒一段悬挂，构成一个复摆，可根据复摆的振动方程求解办法，求出复摆的振动周期。C】2(基础训练4)一质点作简谐振动，周期为T.当它由平衡位置向x轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为(A)T/12(B)T/8.(C)T/6.(D)T/4.提示：从从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程在

2、旋转矢量图上，矢量转过的角1理位移为3，对应的时间为T/6.B3(基础训练8)图中所画的是两个简谐振动的振动曲线.若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为(A)2二(B):(C)1二(D)0.2提示：使用谐振动的矢量图示法，合振动的初始状态为【B】4、(自测提高5)一简谐振动曲线如图所示.则振动周期是(A)2.62s.(B)2.40s.(C)2.20s.2.00s.提示：使用谐振动的矢量图示法，初始状态旋转矢量位于第四象限，初始相位为，到第一次回到平衡位置时，旋转矢量转过的角度为+=5,32365兀此过程经历时间为1s,可得=，等到周期为2.4s6m图13-242k，并联后系统的劲度【

3、C】5、(自测提高6)如图所示，在一竖直悬挂的弹簧下系一质量为m的物体，再用此弹簧改系一质量为4m的物体，最后将此弹簧截断为两个等长的弹簧并联后悬挂质量为m的物体，贝U这三个系统的周期值之比为(A)1:2:-.1/2.(B)1:1:2.1(C)1:2:.(D)1:2：1/4.2提示：劲度系数为k的轻弹簧截成二等份，每份的劲度系数为变为系数为4k.【D】6、(自测提高7)一物体作简谐振动，振动方程为x=ACOS(t1n.则该物体在t=0时刻的动能与t=T/8(T为振动周期)时刻的动能之比为：(A)1:4.(B)1:2.(C)1:1(D)2:1.(E)4:1.提示：t=0时，物体正好处于平衡位置，

4、动能最大，t=T/8时，132x=Acos*T/8u)=Acosn一A2425此时系统的动能和势能相等,为动能最大值的一半。二填空题图13-201、(基础训练10)已知两个简谐振动的振动曲线如图13-20所示两简谐振动的最大速率之比为1:1.提示：最大速率为A，分析这两个振动的角速度与振幅的关系即可。2、(基础训练12)一系统作简谐振动，周期为T,以余弦函数1表达振动时，初相为零.在OWtwT范围内，系统在t=T/84时刻动能和势能相等.提示：动能和势能相等，为总能量的一半，此时物体偏离平衡位置的位移应为最大位移的.22，相位为；4,因为初始相位为零，t=T/83、(基础训练16)两个同方向同

5、频率的简谐振动，其振动表达式分别为：%=610cos(5t丄二)(SI),x2=210cos(-5t)(SI)1它们的合振动的振辐为21010-（SI）,初相为一=108.4°3提示：用旋转矢量图示法求解4、（自测提高8）在静止的升降机中，长度为I的单摆的振动周期为1 L度ag竖直下降时，摆的振动周期一2T°.2提示：当升降机以加速度加速下降时，对于单摆，等效加速度为T=2二J2T。变为：ga提示：当单摆在最低位置时，对左右两边有：提示：当单摆在最低位置时，对左右两边有：1A1)1m(2A2)2,对于单摆=、gTo.当升降机以加速g-a=0.5g;单摆的周期5、（自测提高1

6、1）一单摆的悬线长I=1.5m,在顶端固定点的竖直下方0.45m处有一小钉，如图13-26所示设摆动很小，则单摆的左右两方振幅之比A1/A2的近似值为_0.837_.图13-276（自测提高14）、两个互相垂直的不同频率谐振动合成后的图形如图13-27所示.由图可知x方向和y方向两振动的频率之比J®=4:3.提示：在同样的时间间隔内，X方向的振动为2Tx，而y方向的振动为1.5Ty,周期之比为3：4,频率之比相反为4：3三计算题1.（基础训练23）有两个同方向的简谐振动，它们的方程（SI单位）如下：（3（1X|=0.05cos10t+一兀,x2=0.06cos10t+一兀I4丿i4丿

7、（1）求它们合成振动的振幅和初位相。（2）若另有一振动x0.07cos（10r），问'为何值时，x1x3的振幅为最大；'为何值时，x2x3的振幅为最小。2 10.05sin兀+0.06sin兀初相位：0=tan'(44)=tan11=84.8°0.05cos0.06cos:3 4(2)若另有一振动X3=0.07cos(10t'),Xi-x3振幅最大，需要振动的初相位相同,05所以，X2X3的振幅最小，需要初相位相差180，这时-二42(自测提高17)、一质量m=0.25kg的物体，在弹簧的力作用下沿x轴运动，平衡位置在原点.弹簧的劲度系数k=25Nm-

8、1.(1) 求振动的周期T和角频率-.(2) 如果振幅A=15cm,t=0时物体位于x=7.5cm处，且物体沿x轴反向运动，求初速V。及初相'.(3) 写出振动的数值表达式.解：(1)弹簧振子的=252二二0.25=10，T5S(2)Vx(3)振动表达式X=0.15cos(10-)振动表达式：Acos(t0)t=0时，x=0.075且vx<0,%-Asin(t0)t=0时，vX-Asin(§)一-1.30m/s3(自测提高18)、一物体放在水平木板上，此板沿水平方向作简谐振动，频率为v,物体与板面间的最大静摩擦系数为求：物体在板上不致滑动时振幅的最大值。解：设振动方程：

9、d2xX"cos(t0)"dt22Acos(t0)要使在板上的物块不滑动，最大静摩擦力正好提供加速度，有:八2八Augugumg"Am,A222蛍4兀v4(自测提高22)、为了使单摆的振动周期在高度H处和地球表面上相等，其长度须减少多少？设地球表面处摆长为l0,地球半径为R,且H<<R。解：长度为10的单摆在地球表面的振动周期为A=2二10/g01分此处g0=GM/R为地球表面处的重力加速度(M为地球质量G为引力常量)，在高H处重力加速度g=GM/(RH)2，而长度为I的单摆的振动周期为：T=2：l/g1分已知T=To即lo/go=|/g将go及g代入

10、可得丨/l0R2/(RH)2.：l/l0=(l0一|)/|0=1一r2/(rh)2又H<<R,则22H/R可略，得出：.!112lo(1H/R)22Hl=2Hlo/R5（自测提高23）.如图13-31所示。一质点在x轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A点时作为计时起点（t=o），经过2秒后质点第一次经过B点，再经过2秒后质点第二次经过B点，若已知该质点在A、B两点具有相同的速率，且AB=1ocm求：（1）质点的振动方程；（2）质点在A点处的速率。AB*丄，上xv解：由旋转矢量图和|Va|=|vb|可知T/2=4秒，T=8s，v=（1/8）s-1，-17：:s3分（1）以AB的中

11、点为坐标原点，x轴指向右方.t=0时，x-5cm=Acost=2s时，x=5cm二Acos（2门亠；）=-Asin由上二式解得tg©=1图13-312分因为在A点质点的速度大于零，所以*=-34或5兀/4（如图）A=x/cos=5.2cm振动方程（2）速率x=5、210，co(SI)dx-/2nx10dt4前（十34)(SI)当t=0时，质点在A点m/s晋=_5护兀10Sin(普)=3.93汉10,附加题1（自测提高24）在伦敦与巴黎之间（约S=320km）挖掘地下直线隧道，铺设地下铁路.设只在地球引力作用下时列车运行，试计算两城市之间需运行多少时间？列车的最大速度是多少？忽略一切摩

12、擦，并将地球看作是半径为R=6400km的密度均匀的静止球体，已知处于地球内部任一点处质量为m的质点所受地球引力的大小与它距地球中心的距离成正比，可由（4二Gmr）/3表示，式中G为引力恒量，为地球密度，r为质点与地球中心的距离。解：见图，质量为m的质点P受的引力在指向O点的方向上的分力为上式中FGmrsin3rsin=x又因G47：R3二mA二mg3R24有G；-R3将、式代入式，得这表明,OP方向上,因此R_4gG：=邑3RF=叫R正比于x并且方向相反，故为谐振动.2dxmg=m2xdt2Rx=Acosg/Rt5A二Rsin(/2)：(S/2)=1.610m其解为则列车运行所需时间列车最大速度R42.3min=n_2.g/RgVmax二A.g/R=1.98102ms"（自测提高25）一半径为R的圆形线圈，通有强度为I的电流，平面线圈处在均匀磁场B中，