一. 无穷积分性质

1、( )daf xx收敛的充要条件是收敛的充要条件是: :0,Ga 1221( )d( )d( )d.uuuaauf xxf xxf xx 12,u uG当当时时(无穷积分收敛的柯西准则无穷积分收敛的柯西准则) )无穷积分无穷积分 定理定理11.111.1,b，auaf上可积在任何有限区间若且有同敛散与则，dxxfdxxfba)()(.)()()(dxxfdxxfdxxfbbaa性质性质，k，kdxxfdxxfaa为任意常数都收敛与若2121,)()(且也收敛则，dxxfkxfka)()(2211aaadxxfkdxxfkdxxfkxfk)()()()(22112211性质性质2其中右边第一项为

2、定积分其中右边第一项为定积分. .，dxxf，uafa收敛且上可积在任何有限区间若)(,并有必收敛则，dxxfa)(.)()(dxxfdxxfaa 注注.)()(为绝对收敛为绝对收敛称称收敛时收敛时当当 aadxxf，dxxf性质说明：绝对收敛的级数自身一定收敛性质说明：绝对收敛的级数自身一定收敛我们称收敛而不绝对收敛的级数为条件收敛我们称收敛而不绝对收敛的级数为条件收敛性质性质3但自身收敛的级数但自身收敛的级数, 不一定绝对收敛不一定绝对收敛都在任何有限区间和上的两个函数设定义在gfa),),),()(axxgxf1 1、定理、定理11.2 11.2 （比较准则）（比较准则）且满足, , a

3、 u 上可积;)(,)(收敛则收敛若dxxfdxxgaa.)(,)(发散则发散若aadxxgdxxfaadxxgdxxf，ci;)()(0)(同敛散与时当且且上可积上可积都在任何有限区间都在任何有限区间和和设设, 0)(, x，guagf;)()(0)(收敛则收敛若时当dxxf，dxxg，ciiaa.)()()(发散则发散若时当dxxf，dxxg，ciiiaa2 2、推论、推论1 1:,)()(lim则有cxgxfx且在任何有限定义在设，aaf)0)(,3 3、柯西判别法、柯西判别法推论推论2 2则有上可积区间，ua,1(1)( ), ,)1( );paf xxapf x dxx当且0时收敛

4、发散时且当.)(1),1)()2(dxxfpaxxxfap.)(limxfxpx推论推论3且在任何有限区间定义在设，af),且上可积，,ua则有则有: :(i)(i)当当1,0p 时时, ,|( )|af xdx 收敛收敛; ;(ii)(ii)当当1,0p 时时, ,|( )|af xdx 发散发散. .定理定理11.3 (狄利克雷判别法狄利克雷判别法) 若若( )( )uaF uf x dx在在 ,)a 上有界上有界, ,( )g x在在 ,)a 上当上当x时单调趋于时单调趋于0,0,则则( ) ( )af x g x dx收敛收敛. .证证: :由条件设由条件设|( )|, ,).af x

5、 dxM ua任给任给0,由于由于lim( )0,xg x因此存在因此存在,Ga当当xG时时, ,有有|( )|.4g xM又因又因( )g x为单调函数为单调函数, ,利用积分第二中值定理利用积分第二中值定理, ,对于任何对于任何21,uuG存在存在12 ,u u使得使得221112( ) ( )()( )()( ).uuuuf x g x dxg uf x dxg uf x dx于是有于是有221112|( ) ( )| |()| |( )|()|( )|uuuuf x g x dxg uf x dxg uf x dx1212| ( )| |( )( )| ()|( )( )|uuaaaa

6、g uf x dxf x dxg uf x dxf x dx22.44MMMM根据柯西准则根据柯西准则: :( ) ( )af x g x dx收敛收敛. .若若 adxxf)(则则上上单单调调有有界界在在收收敛敛，ax，g),)( .)()(收收敛敛 adxxgxf定理定理11.4 (阿贝尔判别法阿贝尔判别法) 例例1 1 讨论讨论1sinpxdxx与与1cospxdxx的收敛性的收敛性. .解解 (i)(i) 当当1p 时时1sinpxdxx绝对收敛绝对收敛. .因为因为sin1|,1,),ppxxxx而而11pdxx当当1p 时收敛时收敛, ,故由比较法则推知故由比较法则推知1sin|p

7、xdxx收敛收敛. .(ii)(ii) 当当01p1,u 1|sin| |cos1 cos| 2,uxdxu而而1px当当0p 时单调趋于时单调趋于0(),x 故由狄利克雷判别法推知故由狄利克雷判别法推知1sinpxdxx当当0p 时总是收敛的时总是收敛的. .又由于又由于2sinsin1cos2|,1,)22pxxxxxxxx其中其中12cos21cos22xtdxdtxt满足狄利克雷判别条件满足狄利克雷判别条件, , 是收敛的是收敛的, , 而而12dxx是发散的是发散的, ,因此当因此当01p时该无穷积分不是绝对收敛的时该无穷积分不是绝对收敛的. .所以它是条件收敛的所以它是条件收敛的.

8、 .例例2.讨论下列无穷积分的收敛性，讨论下列无穷积分的收敛性， 0521.1)2(;)1(dxxxdxexx 解解(1)：都有都有由于由于,R , 0limlim22 xxxxexexx 根据柯西判别法根据柯西判别法 1dxexx .都收敛都收敛R 解解()：11lim5221 xxxx由由于于根据柯西判别法根据柯西判别法 0521dxxx.发发散散例例3.1134的收敛性的收敛性判别反常积分判别反常积分 xdx解解,111103/43434xxx , 134 p根据比较原则，根据比较原则，.1134收收敛敛反反常常积积分分 xdx例例4.1122/3的的收收敛敛性性判判别别反反常常积积分分

9、dxxx 解解2222/31lim1limxxxxxxxx , 根据极限判别法，所给反常积分发散根据极限判别法，所给反常积分发散例例5.arctan1的收敛性的收敛性判别反常积分判别反常积分dxxx 解解xxxxxxarctanlimarctanlim ,2 根据极限判别法，所给反常积分发散根据极限判别法，所给反常积分发散证证).)()(21)(xfxfx 令令, )()(0)(xfxx ，且且,)(收收敛敛dxxfa .)(也也收收敛敛dxxa , )()(2)(xfxxf 但但,)()(2)( bababadxxfdxxdxxf .)()(2)( aaadxxfdxxdxxf 即即收敛收敛.也也收收敛敛则则收收敛敛如如果果上上连连续续在在区区间间设设函函数数定定理理dxxfdxxf，axfaa )(;)(),)(例例5.)0,(sin0的收敛性的收敛性常数常数都是都是判别反常积分判别反常积分