第二讲因式分解(初高中衔接教材)

1、第二讲因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用是一种重要的基本技能.因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法、分组分解法、求根公式法、配方法等等.一、公式法(立方和、立方差公式)a3b3(ab)(a2abb2)a3b3(ab)(a2abb2)这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和).运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解.【例1】因式分解:(1)8

2、x30.12527b3解:(1)8x323x3(2x)(42xx2).0.12527b30.53(3b)3(0.53b)0.520.53b(3b)2(0.53b)(0.2521.5b9b)说明：(1)在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幕的运算法则，如8a3b3(2ab)3，这里逆用了法则(ab)nanbn；(2)在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号【例2】因式分解：(1)3a3b481b7,6(2)aab解：(1)33ab81b433b(a27b3)23b(a3b)(a3ab9b2)7.6“6.6、“33、“3.3、aaba(ab)a(ab)(ab)a(ab)

3、(a2abb2)(ab)(a2abb2)2222a(ab)(ab)(aabb)(aabb).7,6,66224224aaba(ab)a(ab)(aabb)2222222a(ab)(ab)ab2222a(ab)(ab)(aabb)(aabb).二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式而对于四项以上的多项式，如mambnanb既没有公式可用，也没有公因式可以提取.因此，可以先将多项式分组处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法分组分解法的关键在于如何分组.【例3】把2ax10ay5bybx分解因式.解：2ax10ay5bybx2a(x5y)b(x5

4、y)(x5y)(2ab).说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试.【例4】把ab(c2d2)(a2b2)cd分解因式.解：ab(c2d2)(a2b2)cdabc2abd2a2cdb2cd2222(abcacd)(bcdabd)ac(bcad)bd(bcad)(bcad)(acbd).【例5】把2x24xy2y28z2分解因式.解：2x24xy2y28z22(x22xyy24z2)2(xy)2(2z)22(xy2z)(xy2z).三、十字相乘法21.x(pq)xpq型的因式分解(1)二次项系数是1;

5、常数项是两个数之积；一次项系数是常数项的两个因数之和x2(pq)xpq2xpxqxpqx(xp)q(xp)(xp)(xq).ii2因此，x(pq)xpq(xp)(xq).【例6】因式分解：2(1)x7x6(2)2x13x36解：x27x6x(1)x(6)(x1)(x6).2(2)x13x36(x4)(x9).【例7】因式分解：(1)x2xy6y22(xx)28(x2x)12解:(1)x2xy226yxyx62(x3y)(x2y).22(2)(xx)8(x2x)12(x2x6)(x2x2)(x3)(x2)(x2)(x1)2.一般二次三项式ax2bxc型的因式分解大家知道，(ac1)(a2xc2)

6、a1a2x(a1c2a2c1)xc1c2.2反过来，就得到：a1a2x(a1c2a2c1)x(a1xcj(a2xg)我们发现，二次项系数a分解成a1a2，常数项c分解成&c2，把a-i,a2,c!,c2写成a1c1，这里按斜a2c2线交叉相乘，再相加，就得到aca2c1，那么ax2bxc就可以分解成(a1xc1)(a2xc2).这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.【例8】因式分解：2(1)12x5x22(2)5x6xy8y2解:32(1)12x25x2(3x2)(4x1).41125x6xy8y2(x2y)(5x4y).54【例9】因式分解：(

7、1)(x22x)7(x22x)8(2)x22x15ax5a分析：用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底，有时可能会多次使用十字相乘法，并且对于项数较多的多项式，应合理使用分组分解法，找公因式，如五项可以三、二组合.解:(1)原式(x22x1)(x22x8)(x1)2(x2)(x4).2(2)原式(x2x15)(ax5a)(x3)(x5)a(x5)(x5)(x3a).四、配方法【例10】因式分解(1)x26x16(2)x24xy4y2解:222(1) x6x16(x3)5(x8)(x2).22222(2) x4xy4y(x4xy4y)8y(x2y)28y2(x2y2.2y)(x2y2、.2y).说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解.五、拆(添)项法【例11】因式分解x33x24解：x33x24(x31)(3x23)(x1)(x2x1)3(x1)(x1)(x1)(x2x1)3(x1)(x1)(x24x4)(x1)(x2)2.说明：一般地，把一个