辅助圆 解题精讲

1、第二十五讲辅助圆在处理平面几何中的许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决而我们需要的圆并不存在(有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要用的圆)，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，添补辅助圆的常见方法1利用圆的定义添补辅助圆；2作三角形的外接圆；3运用四点共圆的判定方法：(1)若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆(2) 同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆(3) 若四边形ABCD的对角线相交于P,且PAPC二PBPD,则它的四个顶点共圆.(4) 若四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于P,且PAPB=PCPD,则它

2、的四个顶点共圆【例题求解】一利用圆的定义添加辅助圆【例1】如图，若PA=PB,ZAPB=2ZACB,AC与PB交于点P,且PB=4,PD=3,则ADDC等于()A6B7C12D16思路点拨作出以P点为圆心、PA长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件.注：到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法变式练习：如图，已知0A=OB=OC，且ZAOB二kZBOC,则ZACB是ZBAC的()【例2】如图，在ABC中，AB=AC，任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ，求证:ABC的外心0与A，P，Q四点共圆.思路点拨先作出ABC的外心0,连P0、0Q，将问题转

3、化为证明角相等.变式练习5. 如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，AB=998,CD=1001，AD=1999,点P在线段AD上,满足条件的ZBPC=90。的点P的个数为()A.0氏1C.21D.不小于3的整数三四点共圆1若有一个四边形对角互补，则四边形的四个顶点四点共圆。【例3】如图；已知日是厶ABC三条高的交点，连结DF,DE,EF,求证：H是ADEF的内心.（全国初中数学联赛题）EF,寻找PD、PE、PF之间的关系，证明APDFsAPFE,而发现P、D、B、思路点拨连DF,F与P、E、C、F分别共圆，突破角是解题的关键.A时在6B4注：圆具有丰富的性质：（1）圆的对称性;（2）等圆或同

4、圆中不同名称量的转化；（3）与圆相关的角；（4）圆中比例线段.适当发现并添出辅助圆，就为圆的丰富性质的运用创造了条件，由于图形的复3图中并不需画出圆，可谓“图中无圆，心中有圆”2同底同侧有相等顶角的三角形，则各顶点四点共圆（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆,且斜边上两点连线为该圆直径。）【例4】如图，在AABC中，高BE、CF相交于H,且ZBHC=135°,GABC内的一点，且GB=GC,ZBGC=3ZA,连结HG，求证：HG平分ZBHF.思路点拨经计算可得ZA=45°,AABE,ABFH皆为等腰直角三角形，只需证ZGHB=ZGHF=°由ZBGC=3Z

5、A=135°=ZGHC，得B、G、H、C四点共圆，运用圆中角转化灵活的特点证明.注：许多直线形问题借助辅助圆，常能降低问题的难度，使问题获得简解、巧解或新解.变式练习：已知等腰三角形ABC,AB=AC,AD垂直BC于D,DE垂直AC于E,F是DE中点，求证：AF垂直于BE。3把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段,若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；【例5】如图，P是00外一点，PA和PB是00的切线，A,B为切点，P0与AB交于点M,过M任作00的弦CD.求证:ZCP0=ZDP0.4把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端

6、点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆【例6】如图，是00外一点,A切00于A,PBC是00的割线,D丄P0于D.求证：皀=PC.PDCD思路点拨因所证比例线段不是对应边，故不能通过判定APBD与厶PCD相似证注：四点共圆既是一类问题,又是平面几何中一个重要的证明方法,它和证明三角形全等和相似三角形有着同等重要的地位,这是因为,某四点共圆,不但与这四点相联系的条件集中或转移,而且可直接运用圆的性质为解题服务5五点共圆（7456）【例7】如图，已知在凸四边形ABCDE中，乙BAE=3a,BC=CD=DE,且ZBCD=ZCDE二180。-2a.求证：ZB

7、AC二ZCAD二ZDAK,全国初中数学联赛题）A组1. 如图，正方形ABCD的中心为0,面积为1989cm2,P为正方形内一点，且Z0PB=45°,PA：PB=5：14,则PB的长为.2. 如图，在ABC中，AB二AC=2,C边上有100个不同的点P、P,P，记m=AP2+BP-PCl2100iiii（i=1,2，100），则mi+m2+人+mioo二3. 设ABC三边上的高分别为AD、BE、CF,且其垂心H不与任一顶点重合，则由点A、B、C、D、E、F、H中某四点可以确定的圆共有（）A.3个B.4个C.5个D.6个（2000年太原市竞赛题）6. 如图，AD、BE是锐角三角形的两条高

8、,怎二18,先尹，则C0SC等于（）A弋腿b.1“第2C.2Z.3"3348.如图，已知ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD丄AB,TE丄AC.（陕西省竞赛题）2如图在AABC中，AB=AC,求证：(1)ZAHD二ZAHE；(2)型=CHBDCE1在凸四边形ABCD的BC边上取两点E,F,E比F离B更近，如果ZBAE=CDFZEAF=ZFDE证明：ZFAC二ZEDBAD交与P试问当D在BC（除BC中点外）上运动时，ADAP的值有何变化？请加以证明。13等边AABC中，D,E分别是BC,CA边上的点，且BD=CE=2CD连接BE,CD交于P,证明:CP垂直AD。4如图,NS是&#

9、169;0的直径，弦AB垂直NS于M，P为弧ANB上异于N的一点，PS交AB与R,PM的延长线交©0与Q，求证：RS>MQC组1.如图，已知点P是00外一点，PS、PT是00的两条切线，过点P作00的割线PAB，交00A、B两点，与ST交于点C求证：Pc=2吐+-Pb）（国家理科实验班招生试题）2.已知BE,CF是锐角AABC的两条高，求证：厶ABE的平分线，厶ACF的平分线与线段EF的中垂线相交于一点。3已知三角形ABC中，ABC<ZACB，BD,CE是角平分线，求证：CE<BD4AABC中，M为AC的中点，BH丄AC于H,AP,CQ垂直于ZB的平分线，垂足为P,

10、Q求证:M,H,P,Q四点共圆。th【例的外心必在顶網的平分线上.AZUAC=ZOAQ,从而OCP=ZOAQ,XZSHF=45?,?|ZGHii=Z13iSMG平分NBHF【学力1«陈】.池违躊0乩0餌乩爲0卩四点共圆p4ZAPB=ZOB-92.4003.D.显见分刖应有7?J®ffl：AfHEFHD(Cl；WE,4FDC,BFEC,CDM髯D5.C将问直嶽AB导以CD为宜艳餌位置关丟<5”BX井拥由BDHFEDHEtg点共HI.褂£FBHh/FDM=z：F(?H=£FDH,DH%XFDE平井战8.CDDpE.HIilAT直径的圆上pZAHD=ZA

11、TDpZAHE'=ZATE，XZATD=ZXT£：，aSAHD=ZAH£1乩冲HB写用AT閃有金井站/乩得ZU冊3丁DB-；聽=鹉扁理,AAHCs山TEU得嘗=等，由于13#SDFnPBjFEF.ZDPJ-+/吕=上阿£+/01师，得三。卩尸=/陀攻也卩恥=/商=/氏=ZKFF,；dCFFcAfPEPF4=PDPE並图tij苗aOCOROQ堪OCF与心朋Q中OOOA,由已外CA=A乩肿EQ.?XP=AQ.又十OABC的扑心-：/OCF=£OAGX必咖，嗫=器由輻需語'VZAlgcT-ZBHC-rzBGC3ZA-135*W=45°

12、.-坯G*CH匹点|B，f|ZBCG=ZG/fB=-213-3-=22.5乙OC陛AOAQ于赴Zbgdao故。朋QQ四点其乩7PA?=FAPO=FBPG作,CQD四点井阳AAPCDPOB,碼工器=器(D兀皿越器噁乳连靖他£5由BCi=CD=DE，ZBCU-ZCDE-180i-2flTZCBD=ZCDB-i/nCE=ZDFC=(jA£CD/C)E.-/乩£=(】肘-沏一计1驸-弘而二弘二乩毗疋腕”同理可证？UDE其圆故乩乩GDE共同也連S04JJ0A丄PA,AM=M乩畑丄0为.(W*般"讦起惋兄"幽"砒*M%二MD*MSMP山点0山只(

13、?四直购収000。.*：ZCPO=I/DPO.11-过°点作0E丄A丧于E,则PE=艸；旳由切割缘定理得屮罗=PA*FH,连QS&P,设OP交ST于罠則OP丄$T由相倔可证乎"FD*P0，XPEPA*PBhWZCDO=ZCEO-90mCEOJ)四点在lilOC为昶的圆上,:.PC昭PD阳即P,PAPCPE=蹙护PC伽畴=轴+需h参考答案练习1D例2钏3如费准i|OOC£POQ准DOCP与心O4Q中,OOOA,由已爲CA=A乩启F=EQ,ACP=AQ.170遥占匸醐外心，化/OCF=ZQAG丫那膠三柠解的外心血在H甫內平分觀上，：/DACm/CH氐从而凶兀卩

14、=NQAG得OC陀DOAQ.于是三fPO/AQO故O.A,PfQ四直共国，练习2C例3關由朋职仞冊師划躯F册立FDH叱之FDltDH血FDE甲濮练习3谑连DF1fBpEF.ZCHF+ZB=ZFPE+ZC-1DPF=FPE.PDF=PBF=PCE=三EFF出心PFs/XFPE痔PF*upDPE例4VZA=lflO*-ZBHCL35,ZBGC=3ZA=135*TZABH=45"JB,G.C.H0点菇IB，得NECG=】时；】灣=22.齐又ZBWF=45WZGH=yZBHF1HG平井HHF练习4g,证明取跖中点仏连用TMt則电缶ZADEm所口趣“W得器唸.又吐眼吩如,则卷舞MDsWE,故乙

15、沱儿说MMD*四点共圆，从而有N胴二町，而曲“曲所以世L服-例5n崔结OAKOAlPAMM=M乩阳丄0氏/.0M*MP=AAf1ZMC*MA-MB=AM2P.；MD*MC=MDMP点0成已侧点關収door.：ZCro=ZDPO.例6vppn-ro=PB-pctsea口阻点共叭書APCDPOB,耀眷黔聖又AFOCS血丹臥啜嚅由'得例7連结日ME胡盟=(1>眈也比""仞珀1韶-?(!2国)=/仞肛上比£=“£04再3仞戲直鸥-/迟CENlgy-泊-尸1弼-备而/弘EEs.：A.BCE#亂同腥可证卫月其服故dBCDE利课外练习A组：】42注壻朋屈

16、旳乩比0四点共IH冉厶1阳=乙批曲=92.«WJ,D.显见井别应有下列MWE：A?'H£,HDX'nHE,AFR；,BFECiCDFAB组：t<l)DpE.HftUATAaf$«|l|±P#Z4HD=ZATDpZAHE-ZATE，lZAr=Z?ir故/AHDbNAHEi应BAHB与MATQH有欝井融£乩稠心AHBSZITD也.：器=需"同理AHCsDTEG得書需，由于1例了征凸四边形AHCI)的BC罚上取两点EKE比F肉X璽近，如果Z：财£=乙CDF,M.ZM/'=ZFDE证明:ZC=Z/S证明

17、因上£4F二NFDE，故八伏八E匹点共圆(如圉B-有ZMfl+ZAFD=W,又Z*i»=Z/J+Z£4f,/OCB=ZD您-ZCDF.及ZtlAE=ZCDF,做Z期D+Z耽D=180P.可知A.H.C.D网点共圆。所以Z用用=Z田X：-乙瓦鼻；-ZHG-Z删尸=/旳C.M因AB=AC,故上册C=NG又点C,与点卞关于個对瞅故Z初D=ZgD,可图13-9知#;G、取D四点共圆+WZPBC2GAP因三仲二乂口巴舉"RC二"AGUd、F四点共亂于是Z/!Py=Z4t£f=ZABI)f对得少加少昭迸酣有器：器，即37应删设A4BC的边长为如则

18、C/加工毗哲作DF丄仪垂足EHZl)GE=ffiP,故CS=CDcosSF=帖E与E畫合闆ZDEC=野.又创血曲曲C,可知厶朋=/駆匚故C、Jp.ns点共甌有Z讯上Zd配=捋，0A/心证明如图，连结网交AB于：连结旳、（X因肪丄酯，有Z4-VS-90P.X酪为直轻，有Z畑鹉故cEm四点ftffl.es为直gtcs>MQ（MQ能为直径）,且有ZCpAf=ZCSU.艮网=zN5P毗二乙呗K1M励兰4用色RMSt有CS=RS.所以RS>MQ*H打点惟OE丄片府于E侧fEFA"?B.由即劃罐定理簿，45*="*PB,jfUS.OPOPST于0则口巴|_£人由相*1形可证疋牙kFEhPO,又阳：hfa*朋価厶加0=疋匚£门-WAChE.O,>WA在以OC为直民的圆上.PCP£=PD-POPA-PAFOEA空护*比我間得磊土尹吉+焉人11511谢"盘曲半計蛭的甲井住相龙于点两