第二章风险风险厌恶与随机占优

1、第1页，共19页。l对风险的一般认识：l 经济系统中状态变量的事前不确定性l对风险的厌恶引发投资人的投资组合的分散化问题以及对所需交换的资产的合理定价问题 l金融经济学框架的核心问题：l 如何分散风险l 如何确定风险的合理价格 第2页，共19页。l伯努利（Bernoulli）效用函数（确定值）lVon-Neumann -Morgenstern预期效用函数l“预期”有“期望”之义，随机变量的数学期望l例2.1。Page 46表示确定收益 , )(u) )(u()()()()(xxdFxExdFxuFuxuE第3页，共19页。l如果F(x)是二项分布，则，l风险厌恶伯努利效用函数为凹函数l严格风险

2、厌恶严格不等式，u0，u0l定理2.1：对任意F，有l 风险厌恶效用函数为严格凹函数l证明需要使用Jensen不等式。l同样：可以定义风险中性和风险偏好) )(u() )(u()()()(xxdFxExdFxuxuE第4页，共19页。l对风险厌恶程度有大有小，绝对风险厌恶，l风险溢价，对风险的补偿，数学定义如下lPratt(1964)定义绝对风险厌恶系数l绝对风险厌恶系数越大，越厌恶风险，必需给予的溢价补偿也越大)(,)(2)()()()(2XEXXuXuXuEXEuXu 22)()()( XuXuXra第5页，共19页。lPratt(1964)定义相对风险厌恶系数l相对风险厌恶系数越大，所要

3、求的单位方差的相对风险溢价补偿也越高 )1 ()(1(XXEX假设：)1)()()1 (XuEXuEXu)()(,21)(2)(22XuXuXRRARRAXuXuX 第6页，共19页。l例2.2。当前财富为W=a+(Wa)l今后财富XWa+a(1+r)=W+ar，优化问题l关于a是凹函数，一阶导数0，（2.17）la是解，是W的函数，l（2.17）中对W求导数，l（2.18）。)(max)(max00raWuEXuEWaWa第7页，共19页。l随W的变化，风险厌恶投资者的a的动态变化l假设绝对风险厌恶系数不随W增加而增加l对r0和r0，都可得到l（2.20a）l从（2.17）得（2.21）lu

4、是凹函数，得（2.21a）)( )( 2raWurEraWurEdWda0)( raWurE0)( 2raWurE第8页，共19页。l最后l风险厌恶的投资人投资于风险资产的财富随着总财富的上升而增加 l关于绝对风险厌恶系数不随W增加而增加l经过推导可知，要求三阶导数为正数l度量风险厌恶在于比较不同投资人对同一风险决策的态度。l在资产定价理论中，一般假定存在一个典型性投资人。需要处理典型投资人对不同资产的风险与收益的判断，即资产风险的度量问题。 0*dWda第9页，共19页。l怎样才能认为资产A比资产B更具风险？l简化的风险比较：均值-方差 效用l用方差作为唯一标准不可行（期望可能越大）l即使一

5、种资产X预期收益等于另一资产Y，而X方差小于Y，风险厌恶者也不一定偏好于X l如下面的例子第10页，共19页。lE(X)=E(Y)=2 ，Var(X)=4，Var(Y)=7l如果选择风险厌恶效用函数8/1, 98/7, 1Y2/1, 42/1, 0概率概率，概率概率X145981187)(1421021)()(则：YuEXuExxu第11页，共19页。l只考虑均值和方差，没有考虑更高阶中心矩。只有当包括三阶矩以上为0时，均值方差效用才与真实的预期效用一致。l两端取期望（w是期望值，数值），利用 3)(332)(!1)(21)()()(nnnwwwunRRwwwuwwwuwuwu)()(, 0)

6、(2wVarwwEwwE第12页，共19页。lRothschildStiglitz更一般的比较不同资产风险的分析框架l比较资产收益的分布，而不比较不同投资人所依赖的不同的效用函数。l一阶随机占优、二阶随机占优以及均值不变下的分布扩展MPSl假设有两种资产A和B。A收益服从分布F（），B服从G（），且F（1）=G（1）=1，（方便起见，令收益均属于区间0，1）。第13页，共19页。lFirst-order Stochastic DominancelFSD定义：对任意非减的函数u：RR，l定理2.1是FSD的等价条件。注意不等号方向BAxdGxuxdFxuFSD则，)()()()(BAxGxFFSD)()(第14页，共19页。1FB(z)FA(z)1F(z)0z第15页，共19页。lSecond-order Stochastic DominancelSSD定义：F二阶占优于G，当且仅当l且对某些X值的集合，不等号成立。l符号l可以证明，如果SSD成立，则，l投资人更偏好A（或F），B（或G）更具风险lSSD的三个等价条件 ,)()(1000ydxxGxFyBASSD第16页，共19页。第17页，共19页。lSSD的3个等价表述l“d”表示“依分布相等”l引入“展形spread”的概念0)(,)()(,0)()()(0AAdBBAxSSDrErrrErEd