第二节分解 (2)

1、第二节分解第1页，共33页。若函数若函数f(t)满足满足：1）在）在拉氏变换存在定理拉氏变换存在定理：t0t的任一有限区间上分段连续；的任一有限区间上分段连续；2）当）当时时f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即的增长速度不超过某一指数函数，即存在存在,0,0M使得使得tMetft0 ,)(成立，则成立，则f(t)的的Laplace变换在半平面变换在半平面)Re(s上一定存在，并且上一定存在，并且积分积分0)(dtetfst绝对收敛且一致收敛。绝对收敛且一致收敛。拉氏变换的性质拉氏变换的性质：（1）拉氏变换是线性变换；）拉氏变换是线性变换；（2）微分性质：）微分性质：)0()()(fssFt

2、fL第2页，共33页。常用的拉氏变换公式：见教材常用的拉氏变换公式：见教材P106拉氏变换可推广到向量函数，矩阵函数上去，即拉氏变换可推广到向量函数，矩阵函数上去，即如果向量函数的每一分量都存在拉氏变换，则可定义该如果向量函数的每一分量都存在拉氏变换，则可定义该向量函数的拉氏变换。向量函数的拉氏变换。0)0()(xxtAxdtdx记记,)()(txLsX在微分方程两边取拉氏变换：在微分方程两边取拉氏变换：)()(tAxLtxL微分性质可得微分性质可得)()0()(sAXxssX用拉氏变换求解微分方程组用拉氏变换求解微分方程组于是于是)0()()(xsXAsI从而从而)0()()(1xAsIsX

3、第3页，共33页。说明：说明：则则)0()()(11xAsILtx（2）由微分方程组初值问题）由微分方程组初值问题1解的唯一性可知：解的唯一性可知：)(11AsILeAt（1）在利用拉氏变换求解微分方程时，先求出）在利用拉氏变换求解微分方程时，先求出并将每一元素化为部分分式，再查常见拉氏变换公式表；并将每一元素化为部分分式，再查常见拉氏变换公式表；1)( AsI（3）类似地可利用拉氏变换求解微分方程初值问题）类似地可利用拉氏变换求解微分方程初值问题2参见教材参见教材P107例例3,例例4第4页，共33页。第一节第一节 QRQR分解分解QRQR分解也称为正交三角分解分解也称为正交三角分解 矩阵矩

4、阵QRQR分解是一种特殊的三角分解，在解决矩分解是一种特殊的三角分解，在解决矩阵特征值的计算、最小二乘法等问题中起到重要作阵特征值的计算、最小二乘法等问题中起到重要作用。用。主要内容：主要内容：11矩阵的矩阵的QRQR分解分解- Schmidt- Schmidt正交化方法正交化方法22矩阵的矩阵的QRQR分解分解- Householder- Householder变换、变换、 GivensGivens变换变换第5页，共33页。QRQR分解定理分解定理任意一个满秩实任意一个满秩实( (复）矩阵复）矩阵A A，都可唯一地分解，都可唯一地分解A = QR A = QR ，其中其中Q Q为为正交（酉）

5、矩阵，正交（酉）矩阵，R是具有正是具有正对角元的上三角矩阵。对角元的上三角矩阵。由于由于x x 1 1, ,x x 2 2, , ,x x n n 线性无关，将它们用线性无关，将它们用SchmidtSchmidt正交正交证明证明设设A A是一个实满秩矩阵是一个实满秩矩阵, A, A的的n n个列向量为个列向量为 x x 1 1, ,x x 2 2, , ,x x n n 定义定义:设设.nnCA如果存在如果存在n阶酉矩阵阶酉矩阵Q和和n阶上三角矩阵阶上三角矩阵R R，使得，使得QRA则称之为则称之为A A的的QRQR分解或酉三角分解分解或酉三角分解当当 时，则称为时，则称为A的正三角分解的正三

6、角分解nnRA化方法得标准正交向量化方法得标准正交向量e e 1 1, ,e e 2 2, , ,e e n n第6页，共33页。nnnnnnebebebxebebxebx221122211221111其中其中nibii, 2 , 1,0从而有从而有nnnnnnbbbbbbeeexxx222112112121第7页，共33页。nnnnnbbbbbbReeeQ2221121121,令令IQQT则则则则如如果果再再证证唯唯一一性性,11RQQRA由此得由此得DQRRQQ1111式中式中D=RD=R1 1R R-1-1仍为具有正对角元的上三角矩阵。由于仍为具有正对角元的上三角矩阵。由于 DDDQDQ

7、QQITTT11即即D D为正交矩阵，因此为正交矩阵，因此D D为单位矩阵（正规上三角为对角阵）为单位矩阵（正规上三角为对角阵）故故RDRRQDQQ111,第8页，共33页。说明：说明：1若不要求若不要求R具有正对角元，则具有正对角元，则A的不同的不同QR分解仅在正交矩阵的列和分解仅在正交矩阵的列和上三角矩阵上三角矩阵R的对应行相差模为的对应行相差模为1的因子。的因子。该定理的证明过程给出了利用该定理的证明过程给出了利用SchmidtSchmidt正交化方法求可逆矩阵正交化方法求可逆矩阵QRQR分分解的方法。解的方法。例例1 1 求矩阵求矩阵A A的的QRQR分解分解110201221A解解，

8、则，则记记122,102,011321xxx22若若A A为满秩复矩阵，则存在酉矩阵为满秩复矩阵，则存在酉矩阵Q Q与复非奇异上三角矩阵与复非奇异上三角矩阵R R，使，使A A = QR = QR 第9页，共33页。TyyyxyyyxTyyyxyyxyyxyyxyxyxy2 , 1 , 121 , 1, 131231132),(),(1),(),(33121),(),(2211222311131112将将 正交化正交化321,xxxTyyTyyTyyeee2 , 1 , 11 , 1, 10 , 1 , 1663332221332211单位化单位化第10页，共33页。3362331321211

9、22322eeexeexex整理得整理得,03633663322663322Q令令363300302222RQRA 则则第11页，共33页。HouseholderHouseholder变换变换O+OTIHR2)(3)(H则则记记即：该变换将向量即：该变换将向量 变成了以变成了以 为法向量为法向量的平面的对称向量的平面的对称向量 。HouseholderHouseholder变换又称为反射变换或镜像变换，有明显变换又称为反射变换或镜像变换，有明显的几何意义。在的几何意义。在 中，给定一个向量中，给定一个向量 ，令，令 表示表示 关关于平面于平面 （以（以 为法向量）为法向量）的反射变换所得像，如

10、图所的反射变换所得像，如图所示，示，3R第12页，共33页。定义定义 设设 是一个单位向量，令是一个单位向量，令nCHIH2)(则称则称H H是一个是一个HouseholderHouseholder矩阵或矩阵或HouseholderHouseholder变换。变换。性质性质5.1.1 5.1.1 设设H H是一个是一个HouseholderHouseholder矩阵，则矩阵，则（1 1）H H是是HermiteHermite矩阵，矩阵， ；（2 2）H H是酉矩阵，是酉矩阵， ；（3 3）H H是对合矩阵，是对合矩阵， ；（4 4）H H是自逆矩阵是自逆矩阵（5 5）diagdiag( (I

11、I, ,H H ) ) 也是一个也是一个HouseholderHouseholder矩阵矩阵; ;（6 6）det Hdet H = -1 = -1。HHHIHHHIH2HH1第13页，共33页。推论推论1 1 对于任意的对于任意的 ，存在，存在HouseholderHouseholder矩阵矩阵H H，使，使nCx1aeHx其中其中 为实数。为实数。12,eaxxaH) 1,(,2)(uuRuuuIHTnT1aeHx2xa 推论推论2 2 对于任意的对于任意的 ，存在，存在HouseholderHouseholder矩阵矩阵H HnRx上述结论表明，可以利用上述结论表明，可以利用Househ

12、olderHouseholder变换将任意向量变换将任意向量化为与第一自然基向量化为与第一自然基向量 平行的向量（共线）平行的向量（共线）。 nRx1e，其中，其中使得使得得得定理定理 设设 , nC,22 H令令HouseholderHouseholder矩阵矩阵如果如果,2)(HIH 则则2 其中其中第14页，共33页。例例2 2 用用HouseholderHouseholder变换将向量变换将向量化为与化为与 平行的向量。平行的向量。Tiix2,232xTe0, 0, 11iexH21iaeaxxaH2,12ia325301211iiaexaex13ieHx 因此因此解解 由于由于为了使

13、为了使为实数，取为实数，取令令112102145105101512iiiiIHH则则也可取也可取 或或3aia3说明说明第15页，共33页。1 1 将矩阵将矩阵A A按列分块按列分块 , ,取取nA,2121121111111,aeaeaHIH111200*,11121111BaHHHAHn利用利用HouseholderHouseholder矩阵求矩阵的矩阵求矩阵的QRQR分解的步骤：分解的步骤：则则第16页，共33页。2 2 将矩阵将矩阵 按列分块，按列分块，)1()1(1nnCBnB,32122221221222,bebebuHuuIH222222001HHT2211200*0*)(Caa

14、AHH)2()2(2nnCC取取则则其中其中第17页，共33页。121nHHHQ则则 A=QRA=QR依次进行下去，得到第依次进行下去，得到第n-1n-1个个n n阶的阶的HouseholdHousehold矩阵矩阵H Hn n-1-1，使得，使得RaaaAHHHnn*2112133因因 为自逆矩阵，令为自逆矩阵，令 iH第18页，共33页。例例2：已知矩阵：已知矩阵,112240130A利用利用HouseholderHouseholder变换求变换求A A的的QRQR分解分解因为因为,2 , 0 , 01T记记, 2211a令令21111111eaeaT1 , 0 , 121则则HIH111

15、2,001010100从而从而1302402121AH记记,3 , 4T则则, 5222b令令22222221ebeb,3 , 1101THIH2222,433451第19页，共33页。记记,43034000100122HHT则则RAHH20015021212取取0053404305121HHQ则则QRA 说明：说明：1 1、利用、利用HouseholderHouseholder变换进行变换进行QRQR分解，即使分解，即使A A不是列满秩矩阵不是列满秩矩阵也可进行，但此时也可进行，但此时R R 是奇异矩阵；是奇异矩阵；2 2、QRQR分解在求解线性方程组最小二乘问题中有重要应用。分解在求解线性

16、方程组最小二乘问题中有重要应用。见见P121P121。2、设、设,nmCA 则也有相应的则也有相应的QRQR分解；分解；第20页，共33页。例例1 1：利用：利用SchmidtSchmidt正交化方法求矩阵的正交化方法求矩阵的QRQR分解分解212240130A设设,2 , 2, 1,1 , 4 , 3,2 , 0 , 0321TTTxxx则则 321,xxx线性无关，首先将它们正交化得：线性无关，首先将它们正交化得：,2 , 0 , 011Txy1),(),(221112yxyyyyx2),(),(1),(),(3322231113yyxyyyyxyyyxTyyx0 ,56,5851213T

17、yx0 , 4 , 31212再单位化再单位化：,1 , 0 , 02111Tye,0 ,54,535122Tye第21页，共33页。,0 ,53,542133Tye于是：于是：1112eyx21212521eeyyx32132132251eeeyyyx从而从而 QRA00153540545302150212,1 , 0 , 02111Tye,0 ,54,535122Tye第22页，共33页。GivensGivens变换变换x 2yx O我们知道，平面坐标系我们知道，平面坐标系 中的旋转角为中的旋转角为 变换可表变换可表示为示为2RT T是正交矩阵，称为平面旋转矩阵。是正交矩阵，称为平面旋转矩

18、阵。将其推广到一般的将其推广到一般的n n维酉空间中，维酉空间中，可以得到初等旋转变换，也称为可以得到初等旋转变换，也称为GivensGivens变换。变换。cossinsincos,2121TxxTyy第23页，共33页。定义定义 设设记记n n阶矩阵阶矩阵nCsc,122 sc)()()()(111111lklkcsscTkl由由 所确定的线性变换称为所确定的线性变换称为GivensGivens变换或初等旋转变换。变换或初等旋转变换。klT称称 为为GivensGivens矩阵或初等旋转矩阵；矩阵或初等旋转矩阵；klT容易验证，容易验证，GivensGivens矩阵是矩阵是酉矩阵酉矩阵，且

19、，且 。 1detklT第24页，共33页。定理定理 对于任意向量对于任意向量 ，存在，存在GivensGivens变换变换 ，使得，使得 的第的第l l个分量为个分量为0 0，第，第k k个分量为非负实数，其个分量为非负实数，其余分量不变。余分量不变。nCxklTxTklTnklTnyyyxTxxxx,2121),( ,lkjxycxsxyxsxcyjjlkllkk证明证明 记记由由GivensGivens矩阵的定义可得矩阵的定义可得第25页，共33页。当当 时，取时，取c c=1,=1,s s=0=0，则，则T Tkl kl = = I I, ,此时此时022lkxx),(, 0lkjxy

20、yyjjlk当当 时，取时，取022lkxx2222,lkllkkxxxsxxxc),(002222222222lkjxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxxyjjlklklklkllklklllkkkk, ,结论成立。结论成立。则则第26页，共33页。与第一自然基向量与第一自然基向量推论推论 给定一个向量给定一个向量 ，则存在一组，则存在一组GivensGivens矩阵矩阵 ， 使得使得nCxnTTT11312,1212131exxTTTnnCx1eTnxxxx,2112TTnxxxxxT, 0 ,3222112称为用称为用GivensGivens变换化向量变换化向量证明证明 设设由上述定理存在由上述定理存在GivensGivens矩阵矩阵使得使得共线。共线。第27页，共33页。依此继续下去，可以得出依此继续下去，可以得出TnxxxxxxTT, 0, 0,433222112131222221121310, 0,exxxxxTTTTnn对于对于 又存在又存在GivensGiv