构造全等三角形种常用方法

1、名师堂校区地址：南充市顺庆区吉隆街咨询电话:2244028优学小班提分更快、针对更强、时效更高构造全等三角形种常用方法在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”，“HL”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS”或再找第三组对应边用“SSS”；若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA”或“AAS”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”。上述可归纳为：S|S（用SSS）S<A（用SAS）

2、S（用SAS）、A（用AASEASA）搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了.下面举例说明几种常见的构造方法,供同学们参考.1 .截长补短法例1.如图（1）已知：正方形ABCD中，/BAC的平分线交BC于E,求证：AB+BE=AC.解法（一）（补短法或补全法）延长AB至F使AF=AC,由已知AEFAAEC,./F=ZACE=45o,BF=BE,AB+BE=AB+BF=AF=AC解法（二）（截长法或分割法）在AC上截取AG=AB,由已知ABEAGE,.EG=BE,/AGE=/ABE,/ACE=4

3、5o,.CG=EG,AB+BE=AG+CG=AC2 .平行线法（或平移法）若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt，有时可作出斜边的中线.例2.4ABC中，/BAC=60°,/C=40°AP平分/BAC交BC于P,BQ平分/ABC交AC于Q,求证：AB+BP=BQ+AQ.证明：如图（1）,过。作OD/BC交AB于D,ADO=/ABC=180°-60°40°=80°,又./AQO=/C+/QBC=80°,/ADO=/AQO,又,：乙DAO=/QAO,OA=AO,ADOAAQO,OD=OQ,AD=AQ,又.OD/BP

4、,./PBO=/DOB,又./PBO=/DBO,，DBO=/DOB,BD=OD,AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ说明：本题也可以在AB截取AD=AQ，连OD,构造全等三角形，即“截长补短法”.本题利用“平行法”解法也较多，举例如下：如图（2）,过O作OD/BC交AC于D,则ADOABO来解决.如图（3）,过O作DE/BC交AB于D,交AC于E,则ADOAQO,ABOAEO来解决.如图（4）,过P作PD/BQ交AB的延长线于D,则APDAPC来解决.如图（5），过P作PD/BQ交AC于D,则4ABPAADP来解决.（本题作平行线的方法还很多，感兴趣的同学自己研究）.3

5、.旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。例3如图3所示，已知点E、F分别在正方形ABCD的边BC与CD上，并且AF平分/EAD,求证：BE+DF=AE。分析：本题要证的BE和DF不在同一条直线上，因而要设法将它们“组合”到一起。可将MDF绕点A旋转90口到AABG,则ADF9MBG,BE=DF,从而将BE十BG转化为线段GE,再进一步证明GE=AE即可。证明略。4 .倍长中线法题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。例4.如图（7）AD是4ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求证：AC=BF证明

6、：延长AD至H使DH=AD，连BH,BD=CD,/BDH=/ADC,DH=DA,BDHACDA,BH=CA/H=/DAC,又AE=EF,ZDAC=ZAFE,1./AFE=ZBFD,./AFE=/BFD=/DAC=/H,BF=BH，AC=BF.5、过手练习：（1） .已知：E是正方形ABCD的边长AD上一点，BF平分/EBC,交CD于F,求证BE=AE+CF.（2） .如图,4ABD和4ACE是4ABC外两个等腰直角三角形，/BAD=/CAE=900.（1）判断CD与BE有怎样的数量关系；（2）探索DC与BE的夹角的大小.（3）取BC的中点M,连MA,探讨MA与DE的位置关系。6.翻折法若题设中

7、含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形.例5.如图（8）已知：在ABC中，/A=45o,AD±BC；若BD=3DC=2求：4ABC的面积.解：以AB为轴将ABD翻转1800,得到与它全等的ABE,以AC为轴将ADC翻转1800,得到与它全等的AFC,EB、FC延长线交于G,易证四边形AEGF是正方形，设它的边长为x,则BG=x3,CG=x2,在RtBGC中，（x-3）2+（x-2）2=52.解得x=6,贝UAD=6,S；AABC=->5X6=15.2,PB=4,PC=5,A例6.已知：如图（6）,P为等边三角形ABC内一点，且PA=3求/

8、APB的度数.分析：直接求/APB的度数，不易求，由PA=3,PB=4,PC=5,联想到构造直角三角形.略解：将BAP绕A点逆时针方向旋转60°至&ACD,连接PD,则4BAPAADC,DC=BP=4,AP=AD,/PAD=60°,B又,.PC=5,PD2+DC2=PC2.PDC为Rj/PDC=90o，/APB=/ADC=/ADP+/PDC=60°+90o=150o.1、平移法构造全等三角形例1如图1所示，四边形ABCD中，AC平分/DAB,若ABAAD,DC=BC,求证:/B+/D=180°。将/D转移到ZAEC，而2AEC与/CEB互补，ZC

9、EB=/B,“线、角进行转移”。DC图1NACB=90*,BD平分NABC,求证:分析：利用角平分线构造三角形，从而证得NB+ZD=180%主要方法是：证明：在AB上截取AE=AD,在MDC与AAEC中，AD=AEI工DAC=/EACAC=ACMDCMEC(SAS)D=AEC,DC=CE,.DC=BC,CE=BC,CEB=B,.CEB.AEC=180,BD=180.2、翻折法构造全等三角形例2如图2所示，已知AABC中，AC=BCAB=BC+CD。证明：:BD平分/ABC,将ABCD沿BD翻折后，点C落在AB上的点E,则有BE=CE,在ABCD与ABED中，BC=BECBD=/EBDBD=BD

10、ABCDABED(SAS)DEA=/ACB=90,CD=DE,.已知AABC中，AC=BC,/ACB=901.A=45,.EDA=.A=45,DE=EA,AB=BE+EA=BC+CD。4、延长法构造全等三角形例4如图4所示，在AABC中，NACB=2/B,/BAD=/DAC,求证：AB=AC+CD。分析：证明一条线段等于另两条线段之和，常用的方法是延长一条短线段使其等于长线段，再证明延长部分与另一短线段相等即可；或者在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下部分等于另一条短线段。本题可延长AC至E,使AEJB，构造&ABD色MED,然后证明CE=CD,就可得AB=AC+CD。5、截取

11、法构造全等三角形例5如图5所示，在AABC中，边BC上的高为AD,又NB=2/C,求证：CD=AB+BD。分析：欲证明CD=AB+BD,可以在CD上截取一线段等于BD,再证明另一线段等于AB。如果截取DE=BD（如图所示），则AADE可认为而AADB沿AD翻折而来，从而只需证明CE=AE即可。证明略。除了上述的方法外，还可以根据题意和以图形中现有的边和角关系为基础构造全等的三角形。例6、已知/BAC=90,AB=AC,M是AC边的中点，ADBM交BC于D,交BM于E,求证：/AMB=/DMC先延长AD至Ff使得CFj_AC,得出上ABMDAJ再根据AB二ACCF_lAC,得出AABMsziCA

12、Ff从而证出上BMA=上F,AM=CFFSISig所给的知书导出FCD=f即可得出上AMB=d=2CMD.证明：如图，延长AD至F使得CF_LAC1/AB±AC'AD-BM,lABMjDAC,在AABM与ACAF中,rzABM=DACAB=CAt“BAM="CF/.AABMsACAF(ASA),.'.iBMA=zFfAM=CF,在FCD与AMCD中，'CV=CFMCD-FCDt3=8aiFCDsAMCD(SAS),lFCMD,，上AMB=DMC.1、作业：如图，四边形ABCD中，AD/BC,E是CD上一点，且AE、BE分别平分/BAD、ZABC.(1)求证：AEXBE;(2)求证：E是CD的中点;(3)求证：AD+BC=AB.BE+CF与EF的2 .如图AABC中，/A=500,AB>AC,D、E分另在AB、AC上，且BD=CE,/BCD=/CBE,BE、CD相交于O点，求/BOC的度数.3 .ABC中，D是BC中点，DEDF,E在AB边上，F在AC边上，判断并证明4,已知：如图，在AABC中，/A=90°,AB=AC,/1=/2,求证：BC=AB+AD.（分别用截长法和补短法各证一次）5、已知：如图，在RtABC中，AB=AC,ZBAC=90°,/1=Z2,CEX