概率论与数理统计讲义

1、§2.3连续型随机变量及概率密度(一)连续型随机变量及其概率密度定义假设随机变量X的分布函数为I/©出其中f(t)>0o就是说X是连续型随机变量,并且非负函数f(x)是连续型随机变量X的概率密度函数,简称概率密度.由连续型随机变量及概率密度函数的定义知概率密度有以下性质(Dm=口"二1(3) p"父'小)L(克)(a<b)前面已曾经证实,由于连续型随机变量是在一个区间或几个区间上连续取值,所以它在任何一点上取值的概率为零,即假设X是连续型随机变量那么有P(X=x)=0,其中X是任何一个实数.:有P(a<X<b)=P(a&l

2、t;X<b)=P(a<X<b)=p(a(4) f(x)>0证(i)在微积分中积分上限的函数比对上限x的导数dxJflax它说明分布函数是概率密度的原函数,并且证实连续型随机变量的分布函数F(x)是处处可导函数,所以连续型随机变量的分布函数F(x)处处连续.口以-TS=1-0=1(3).P(a<Xwb)=F(b)-F(a)由于F(x)是f(x)的原函数J：(幻心；二耳*)&二尸g)-斤(编因此,对连续型随机变量X在区间上取值的概率的求法有两种:(1)假设F(x),那么P(a<X<b)=F(b)-F(a)(2)假设f(x),那么P(a<X&l

3、t;b)=L,a%求(1)cP(-3<X<)(2)2解(1)而时,p(x)=0,二carcsmX11=1.carcsin1一tarcsLii(1)-1.carcsin1-(-arcsuil)-12carcsinl=1-汽一2c一=12x-/a)=(2)产(一34星&=G/必f-二J/心十/石=+-jU=dxn1=UHarcsinx=arcsin-arcsin(-l)注例2.设连续函数变量X的分布函数为0,A<01F(x)-x2,0<x<11,界之1求：(1)(2)X的概率密度f(x);X落在区间(0.3,0.7)的概率.0；<0/二以力力*)；0&l

4、t;片<1解:(i)(2)有两种解法:2/0汗10,其富F0.3<X<0,7)=F(0.7)-F(0,3)=0.7a-0.3?=0.4或者f0.7r01.ATF03星<0-7=丽玉2兀心=/g卜04kF(X)-+arctan羽求正/(x)例21假设2网解：.x-F(a)=4例2-2假设x<QXfx求xf(x)/(£)=严解：01,乂0(1一屋町0,工0,x0瞬一锹0三x,*.x<03工尸(工)=?：(齐+以0Wx<2,求兀一/(x)l,2<x例2-3,假设-/w=Fx)=<i(z:+l)O<A<2=<I,0<

5、;z<2JJ12<0,2Mk解:0A<0;万一/(五)=,2兀.<x<1,>F(x)小八QI工芯例3.假设L解：(1)x<0时,f(x)=0,二F(x)=r/力=/0由=0(2)0Vx<1时,产(力=L/出=£%)力+j;/山=Odt+f2成jJo=0+M|"F5)=成=二小池+；加)出+丁成=£°业+1；Z出+J；Odi=0+人+00,x<0二x-F(jt)-xa,0<x<l1,1<x注2.分段函数要分段求导数,分段求积分.例4.设某种型号电子元件的寿命X(以小时计)具有以下的概率

6、密度.1000,彳之1000解：(1)=0-(-1000.2)=一15003.,其他现有一大批此种元件,(设各元件工作相互独立),问：(1)任取一只,其寿命大于1500小时的概率是多少(2)任取四只,四只元件中恰有2只元件的寿命大于1500的概率是多少(3)任取四只,四只元件中至少有1只元件的寿命大于1500的概率是多少?产你>1500"1二/0沁j+g10001500J15JQ/(2)各元件工作相互独立,可看作4重贝努利试验,观察各元件的寿命是否大于1500小时,2y-巩4G)表示4个元件中寿命大于1500小时元件个数,那么3,所求概率为尸任=2)=噌)审哈(3)所求概率为9

7、1on祝了之1)=1产=0=1武勺勺二3J813.2均匀分布与指数分布以下介绍三种最常用的连续型概率分布,均匀分布、指数分布和正态分布,本小节先介绍前两种.定义2.假设随机变量X的概率密度为一,<<bb00,其他那么称X服从区间a,b上的均匀分布,简记为XU(a,b)容易求得其分布函数为0,x<ax-ara<x<bb-al,x>b2.3和图2.4均匀分布的概率密度f(x)和分布函数F(x)的图像分别见图图23图241均匀分布的概率密度f(x)在a,b内取常数S-鼻,即区间长度的倒数.均匀分布的均匀性是指随机变量X落在区间a,b内长度相等的子区间上的概率都是相

8、等的.均匀分布的概率计算中有一个概率公式.设万ug,理,.三I力,即匕de.用,那么d匕=b-a使用这个公式计算均匀分布的概率很方便,比方,设彳5(.,3,那么2-11F"x=2=-3-03例5.公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过,乘客在5分钟内任一时刻到达汽车站是等可能的,求乘客候车时间在1到3分钟内的概率.解：设X表示乘客的侯车时间,那么XU(0,5),其概率密度为/(*)=1,0<a<50,其它所求概率为3-12=-5-05定义3.假设随机变量X的概率密度为俳>00,耳W0其中入>0为常数,那么称x服从参数为入的指数分布,简记为其分布函数为f(x)和F(

9、x)的图形分别见图2.5和图2.6指数分布常被用作各种“寿命的分布,如电子元件的使用寿命、动物的寿命、 的通话时间、顾客在某一服和系统接受效劳的时间等都可以假定服从指数分布,因而指数分布有着广泛的应用.例：假设某设备的使用寿命X(小时)E(0.001)求该设备使用寿命超过1000小时的概率.解：V入=0.001i-H>o0,x<0.P(1000<X)=P(1000<X<+8)=F(+8)F(1000)=11e-1=e-1=-1(三)正态分布定义4.假设随机变量X的概率密度为<x<-kx)其中M,b2为常数,oo<M<+°°

10、;,b>0,那么称X服从参数为M,b2的正态分布,简记为XN(2、(1,b)f(x)的图形见图2.7习惯上,称服从正态分布的随机变量为正态随机变量,又称正态分布的概率密度曲线为正态分布曲线.设XN(然,b2),那么X的分布函数为J2霭疗特别地,当m=0,b=1时的正态分布称为标准正态分布N(0,1).为区别起见,-e工这一co<x<+oa的X的图象见图2.83由于中原是X服从标准正态即XN0,1时的分布函数,所以有当月时,P=®bA以力上面公式中,不等式中是否有等号并不影响公式的正确性,原因是连续随机变量X取一个数的概率为0,即PX=KO=0所以下面的公式同样成立P

11、a<X<b)=中0)()P(a=P(a<X<b)=学一标准正态分布的概率密度和分布函数分别记为何立小,即e2T-co<x<+oa通常我们称一劝二1(D由定积分的几何意义及的对称性可得(一电=1-中以0)=1-由1知丽X在x=0处取得最大值=20(0)=1C>(0)=-=0.520为标准正态分布函数,它有以下性质:中年的图象关于y轴对称,且<&-x-J吠工否二J血汗服-虫+00-孰了=1-中其中标准正态分布函数取富)的可用教材中的附表1求得,其中同样有I中(+00)二1取十)二0I例1.假设XN(0,1)求(1) P(X<2.12)(

12、2) P(X>0.23)(3) P(-0.2<X<2.12)解：(1)P(X<2.12)=P(X<2.12)=O(2.12)(8)=(2.12)=0.9830(2) P(X>0.23)=P(-0.23<X<+)=O(+8)(一0.23)=1(一0.23)由性质(x)=1(x)得(0.23)=1-0(0.23)：P(X>0.23):(0.23)=0.5910(3) P(-0.2<X<2.12):(2.12)(-0.2)=0(2.12)1(0.2)=(2.12)+(0.2)-1=0.9830+0.5793-1=0.5623例2.XN

13、(0,1)时,证实a>0时尸(因<a)=21解：.=(a)一(一a)=(a)1(a)=2(a)1例3.假设XN(0,1),那么a为何值时,期因“)二°-95解：.-1小河因")=095=2力-1=095田一查标准正态分布函数值表(附表1)有以196)=0.975：a=1.96下面我们不加证实地介绍正态分布有下面结果假设XN(然,/),那么有孰(1) X的分布函数F(x)=aP(a<X哂=飘上上)-("当(2) ：一,公式：XN(1,b之)时P(av3)="空与6(二上)提供了XN(-1)时,计算概率P9<x<切的方法.5-3

14、工3-35/、(丁人玄丁)解：P(3<X<5)=.:=0(1)(0)=0.84130.5=0.3413例5.设XN(1.5,4),求：(1) PX<3.5(2) P1.5<X<3.5(3) P国>3解：然=1.5b=2,记F(x)为X的分布函数.351.5工人-)=(1)=0.3413(1) PX<3.5=P(8Vx<3.5)=235-151575工工小以一-)-0(-一)=6(1)6(2) P1.5<X<3.5=22=0.8413-0.5=0.3413(3) pJ©>3=1P团<3=1P-3<X<3

15、3-15-3-15玄r-)+软：一)=1-:=1(0.75)+(一2.25)=1(0.75)+1(2.25)=10.7734+10.9878=0.2388例6.设XN(然,b2)求X落在区间然一kb,然+kb概率,其中k=1,2,3(史也匕勺_以(#勺解：P(xkb&X<(1+kb=0r仃=(k)-(-k)=2(k)1.(1)=0.8413,(2)=0.9772,(3)=0.99865尸(一仃与£,M+次=26(1)1=06*26P-2a<X<+2a=2(2)-!=0.9544尸"-3b&*十初二26(3)-1=0.9973从此可以看出：尽

16、管正态分布取值范围是(8,+8),但它的值落在M3b,+3(r的概率为0.9973,几乎是肯定的,这个性质被称为正态分布的“3b规那么.为了方便今后的应用,对于标准正态随机变量,我们引入a分位的定义.定义5.设XN(0,1)假设Ua满足条件PX>Ua=a,0<a<1,那么称点Ua为标准正态分布的上侧a分位数(见图2.12)例7.用上侧分位数Ua的定义求(1)U0.005(2)U0.025(3)U0.01(4)U0.05(5) U0.1解：由于P(X>Ua)=aP(X>U")=1P(X<U")=1(U")=0C:(U")

17、=1a(2.58)=0.995U0.005=2.58(2) V(U0.025)=1-0.025=0.975v(1.96)=0.975U0.025=1.96(3) v(U0.01)=1-0.01=0.99(2.33)=0.99u0.01=2.33(4) v(U0.5)=1-0.05=0.95(1.64)=0.95u0.05=1.64(5) v(U0.1)=1-0.1=0.9(1.29)=0.9.u0.1=1.29正态分布是最常见的一种分布,在实际问题中,许多随机变量服从或近似服从正态分布,例如,一个地区的男性成年人的身高和体重,测量某个物理量所产生的随机误差；一批原棉纤维的长度,某地区的年降水量

18、等,它们都服从正态分布,本书第五章的中央极限定理说明：一个变量如果大量独立,微小且均匀的随机因素的叠加而生成,那么它就近似服从正态分布,由此可见,在概率论和数理统计的理论研究和实际应用中正态分布都占有十分重要的地位.例8.某机床生产的零件长度X(mmN(20,0.022),工厂规定该零件长度在区间(19.96,20.04)内为合格品,求该机床产品的合格率.解：v19.96<X<20.04表示产品合格:合格率为20.04-20.95-20、()-9()P(19.96<X<20.04)=Q-020.02=6(2)(一2)=Q)19(2)=2-1=2x0.9772-1=0.9

19、544例9.测量某零件长度时DE误差X(mmN(2,9)求(1)误差绝对值小于5的概率(2)测量三次,误差的绝对值都小于5的概率(3)测量三次,误差的绝对值至少有一次小于5的概率F=P(|X|<5)=F(-5<JT<5)5-2-5-2二二(1)-(-23333)解：(1二其中P表示误差绝对值小于5的事件A的概率P(A)(2)用X表示测量三次,事件A发生次数.XB(3,P),P=0.8314：P(X=3)铲(1田二尸n0.84133Mo.573在实际应用中,我们常常遇到这样的情况,所关心的随机变量不能直接测量得到,而它却是某个能直X,而关心的却是其截面的面积接测量的随机变量的函

20、数,例如,我们能测量圆轴截面的直径这里随机变量Y就是随机变量X的函数.设g(x)是一给定的连续函数,称Y=g(X)为随机变量X的的一个函数,Y也是一个随机变量,当X取值x时,Y取值y=g(x),本节,我们将讨论如何由的随机变量X的概率分布去求函数Y=g(x)的概率分布.先讨论X为离散型随机变量的情况.设X为离散型随机变量,其分布律为由于X的可能取值为xiX2,xk,所以Y的可能取值为g(xi),g(X2),g(Xk),可见Y只取有限多个值或可列无穷多个值,故Y是一个离散型随机变量.当g(xi),g(x2),g(xn)互不相等时,Y的分布律为Y氟麴)皮沟)PPiParPk.当g(xi),g(x2

21、),g(xk),有相等的情况时,那么应该把使g(xk)相等的那些xi所对应的概率相加,作为Y取值g(x.的概率,这样得到Y的分布律.例1.设随机变量X的分布律为X1012P0.20.10.30.4求：(1) Y=X3的分布律；(2) Z=X2的分布律.解：(1)Y的可能取值为一1,0,1,8.由于=-1=_1=px=1)-0.2PY=0)=PXi=O)=网0)-0.1PY=1=1=1"03Py=3)=pXy=8=2)=0.4从而Y的分布律为Y-1018P0.20?oT0.4(3) Z的可能取值范围为0,1,4尸亿=0)=2)=P(X=0)=0.1=1)=尸-1)+尸(X=1)=02+

22、03=G5P(2=4=P(X2=4)=PX=2)=0.4那么Z的分布律为Z014-幻I-例2.XB(3,0.4)令2,求p丫=1【答疑编号：10020405针对该题提问】解：由于XB(3,0.4)所以X可能取值为0.1.2.3当X=0时,Y=0,X=1时,Y=1;X=2时,Y=1;X=3时,Y=0所以,Y=1为X=1与X=2其实,由等式2中,当Y=1时,可得X(3X)=2./-环+2=0,X=1或K=2P(Y=1)=P(X=1)+P(X=2)_CCO,4*0.6y+C3CO.4穴0.6)1=0.724.2连续型随机变量的函数的概率分布我们可以利用设X为连续型随机变量,其概率密度为fx(x),要

23、求Y=g(x)的概率密度fy(y)如下定理的结论.定理1.设X为连续型随机变量,其概率密度为fx(x),设g(x)是一严格单调的可导函数,其值域为(a,0),且g'(x)W0,记x=h(y)为y=g(x)的反函数,由Y=g(x)的概率密度fy(y)为：I的唯其它|特别地,当a=°°0=+°0时,I一)百绮)|A10)1,-8<y<+00例3.设连续型随机变量X的概率密度为fx(x),令Y=ax+b其中a,b为常数,aw0解：y=g(x)=ax+b,a=00儿T)=+°°由y=ax+b得x=ak二卜.)=匕上,/?3)aa,由

24、定理1得%(y)0力上)|二七2.例4.XN(然,b),求：一I-(1) 0r的概率密度.(2) Y=aX+b的概率密度.I_式一苦产,工营、解：.XN(M,b2)：Xfx(x)后oF=时,第=au刃)=母丸(y)心+)同仃竺吆=,=.e2cr镜后b=h'(y)=-(2)Y=ax+b时,由y=ax+b得反函数x=h(y)a口/3)=户M11133p=e高(ad).y=(以+切N(afi-braa)例4.说明两个重要结论；当XN(标准化,另外,正态随机变量的线性变换个结论必须记住！yXXfI)时,0rN(0,1)且随机变量疗称为X的Y=aX+b仍是正态随机变量,即aX+N(a(1+b,a

25、%2),这两例5.设XU(22),令Y=tanx,求Y的概率密度fY(y).力O)=12解：y=g(x)=tanx,值域为(°°,+°°),反函数x=h(x)=arctany,十丁记X的概率密度为fx(x),时,6(幻=工/冤力力(M»)|权8卜工00<y<+0°冗i+y这一概率分布称为柯西(Cauchy)分布.例6.随机变量X的概率密度为一,0<480,其他求Y=2X+8的概率密度.解：记Y的分布函数为Fy(y),那么Y的分布函数F,(y)=PtrMy)=+8MM=PXM)=居(.其他v8-阴*16,132Q其他例

26、6中求随机变量函数的概率密度的方法称为“直接变换法例6也可用定理一的公式求解x-y-4:用)=-y-Ath'(y)-、=2x+8由y=2x+8得反函数222由于x的取值范围为0Vx<4,所以y的取值范围为8<y<16.当8<y<16时,*"加(加4=4)W=O引当y<8或y>16时,入)二°.一*),8<F<1632以其他例7.假设XN(30,4)求Y=2x的分布.解：由公式XNI(乩,=竟工+?耿津+瓦,.).YNI(60,16).本章考核内容小结(一)知道随机变量的概念,会用分布函数求概率(1)假设X是离散型随机变量,那么P(a<x<b)=F(b)-F(a)(2)假设X是连续型随机变量,那么P(a<x<b)=F(b)-F(a)P(awxwb)=F(b)-F(a)P(a<x<b)=F(b)-F(a)P(a<x<b)=F(b)-F(a)(二)知道离散型随机变量的分布律会求简单离散型随机变量的分布律和分布函数,且假设IXX1应Kj,.4PPlP2P3PnQxFplrx1<x<x2;P=产+0工产2为+户口+用,/工兀0那么(三)掌握三种常用的离散型随机变量的分布律