人教版八年级数学下册：18平行四边形专项训练测试题(附答案)

1、第 18章 平行四边形专项训练专训1.矩形性质与判定的灵活运用名师点金：矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，同时还具有一些独特的性质它的性质可归结为三个方面：(1)从边看：矩形的对边平行且相等；(2)从角看：矩形的四个角都是直角；(3)从对角线看：矩形的对角线互相平分且相等判定一个四边形是矩形可从两个角度考虑：一是判定它有三个角为直角；二是先判定它为平行四边形，再判定它有一个角为直角或两条对角线相等利用矩形的性质与判定求线段的长(转化思想)1 如图，将矩形纸片ABCD 的四个角向内折起，点A，点B 落在点 M 处，点C，点D 落在点 N 处，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形

2、EFGH，若EH 3 cm， EF 4 cm，求AD 的长（第1 题 ）利用矩形的性质与判定判断线段的数量关系BD DC， P 是 BC 上的任意2如图，在ABC 中， A 90°， D 是 AC 上的一点，一点，PE BD ， PF AC ， E， F 为垂足试判断线段PE， PF， AB 之间的数量关系，并说（第 2 题 ）利用矩形的性质与判定证明角相等3如图，在?ABCD 中，过点D 作 DE AB 于点 E，点 F 在边 CD 上，DF BE，连接 AF ， BF.(1)求证：四边形BFDE 是矩形；(2)若 CF 3， BF 4， DF 5，求证：AF 平分 DAB.利用矩

3、形的性质与判定求面积4如图，已知点F.(1)连接AC， BF，若(2)在 (1)的条件下，若E 是 ?ABCD 中 BC 边的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点AEC 2 ABC ，求证：四边形ABFC 为矩形；AFD 是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC 的面积（第 4 题 ）专训2.菱形性质与判定的灵活运用名师点金：菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归纳为三个方面：(1)从边看：对边平行，四边相等；(2)从角看：对角相等，邻角互补；(3)从对角线看：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角判定一个四边形是菱形，可先判定这个四边形是平行四边形，再

4、判定一组邻边相等或对角线互相垂直，也可直接判定四边相等利用菱形的性质与判定求菱形的高1 如图，在Rt ABC 中， ACB 90°， D 为 AB 的中点，且AE CD， CE AB.(1)求证：四边形ADCE 是菱形；(2)若B 60°， BC 6，求菱形ADCE 的高 (计算结果保留根号)（第1 题 ）利用菱形的性质与判定求菱形对角线长2如图，在矩形AFCG 中， BD 垂直平分对角线AC ，交 CG 于 D，交AF 于 B，交AC 于 O.连接 AD ， BC.(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若 E 为 AB 的中点，DE AB ，求 BDC 的度数；(3)

5、在 (2)的条件下，若AB 1，求菱形ABCD 的对角线AC， BD 的长利用菱形的性质与判定解决周长问题（第 2 题 ）3如图，在Rt ABC 中， ACB 90°， D， E 分别为AB ，AC 边的中点，连接DE，将 ADE 绕点 E 旋转180° ，得到CFE，连接AF.(1)求证：四边形ADCF 是菱形；(2)若 BC 8， AC 6，求四边形ABCF 的周长（第 3 题 ）利用菱形的性质与判定解决面积问题4如图，在Rt ABC 中， BAC 90°， D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，过点A作 AF BC 交 BE 的延长线于点F.(1)求证

6、：AEF DEB ；(2)证明四边形ADCF 是菱形；(3)若 AC 4， AB 5，求菱形ADCF 的面积（第 4 题 ）专训 3.正方形性质与判定的灵活运用名师点金：正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形、菱形的所有性质，判定一个四边形是正方形，只需保证它既是矩形又是菱形即可利用正方形的性质解决线段和差倍分问题1 已知：在正方形ABCD 中， MAN 45°，MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交CB， DC(或它们的延长线)于点M， N.(1)如图，当MAN 绕点 A 旋转到 BM DN 时，易证：BM DN MN. 当MAN绕点 A 旋转到 BM DN 时，如图，请问图中

7、的结论是否还成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由(2)当MAN 绕点 A 旋转到如图的位置时，线段 BM ， DN 和 MN 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明（第1 题 ）利用正方形的性质证明线段位置关系2如图，在正方形ABCD 中，对角线AC， BD 相交于点O， E， F 分别在OD， OC上，且 DE CF，连接DF， AE， AE 的延长线交DF 于点 M.求证： AM DF.（第 2 题 ）正方形性质与判定的综合运用3如图，P， Q， R， S 四个小球分别从正方形的四个顶点A， B， C， D 同时出发，以AB ， BC， CD， DA 的方向滚动，其终点

8、分别是B， C， D， A.(1)不管滚动多长时间，求证：连接四个小球所得的四边形PQRS 总是正方形(2)四边形PQRS 在什么时候面积最大？(3)四边形PQRS 在什么时候面积为原正方形面积的一半？并说明理由专训 4.特殊平行四边形性质与判定的灵活运用名师点金：特殊平行四边形的性质区别主要从边、角及对角线三个方面进行区分；而判定主要从建立在其他特殊四边形的基础上再附加什么条件方面进行判定矩形的综合性问题a矩形性质的应用1 如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落到点B的位置，AB 与 CD交于点 E.(1)试找出一个与AED 全等的三角形，并加以证明；(2)若AB8，DE3

9、，P 为线段 AC 上的任意一点，PGAE 于点G，PH EC 于点H，试求PG PH 的值b矩形判定的应用2如图，点O 是菱形 ABCD（第1 题 ）对角线的交点，DE AC， CE BD，连接OE.求证：(1)四边形OCED 是矩形；（2）OE BC.（第 2 题 ）c矩形性质和判定的应用3如图，在ABC 中， AB AC ，点P 是 BC 上任意一点(不与B， C 重合)， PEAB ， PF AC ， BD AC. 垂足分别为E， F， D.(1)求证：BD PE PF.(2)当点P 在 BC 的延长线上时，其他条件不变如图，BD ， PE， PF 之间的上述关系还成立吗？若不成立，请

10、说明理由（第 3 题 ）菱形的综合性问题a菱形性质的应用4已知：如图，在菱形ABCD 中， F 是 BC 上任意一点，连接AF 交对角线BD 于点E，连接EC.(1)求证：AE EC.(2)当ABC 60°， CEF 60°时，点 F在线段 BC 上的什么位置？并说明理由b菱形判定的应用5如图，在RtABC 中，B90°，BC53，C30°.点D 从点 C 出发沿 CA 方向以每秒2 个单位长的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点 A 出发沿 AB 方向以每秒1 个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点 D， E

11、 运动的时间是t s(t>0) 过点 D 作DF BC 于点F，连接DE， EF.(1)求证：AE DF.(2)四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由(3)当 t为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由（第 5 题 ）c菱形性质和判定的应用6 (1)如图，纸片?ABCD 中， AD 5， S?ABCD 15.过点A 作 AE BC，垂足为E，沿 AE 剪下 ABE ，将它平移至DCE 的位置，拼成四边形AEED ，则四边形AEED的形状为 ()A平行四边形B菱形C矩形D正方形(2)如图， 在(1)中的四边形纸片AEED中， 在EE上取一点F，使E

12、F4，剪下 AEF，将它平移至DE F的位置，拼成四边形AFF D.求证：四边形AFFD 是菱形；求四边形AFFD的两条对角线的长（第 6 题 ）正方形的综合性问题a正方形性质的应用7如图，在正方形ABCD 中， G 是 BC 上任意一点，连接AG ， DE AG 于 E， BFDE 交 AG 于点F，探究线段AF， BF， EF 三者之间的数量关系，并说明理由（第 7 题 ）b正方形判定的应用8 两个长为2 cm， 宽为 1 cm 的矩形摆放在直线l 上 （如图）， CE 2 cm， 将矩形 ABCD绕着点 C 顺时针旋转 角，将矩形EFGH 绕着点 E 逆时针旋转相同的角度（1）当旋转到顶

13、点D， H 重合时（如图），连接AE， CG，求证：AED GCD；（2）当 45°时 （如图），求证：四边形MHND 为正方形（第 8 题 ）答案专训 11 解：由折叠的性质知HEM AEH ， BEF FEM ， HEF HEM 1FEM 2× 180° 90°.同理可得EHG HGFEFG90°，四边形EFGH 为矩形HG EF， HG EF. GHN EFM. 又 HNG FME 90°， HNG FME. HN MF. 又 HN HD ，HD MF. AD AH HDHMMF HF. HF EH2EF232 42 5(cm)

14、，AD 5 cm.点拨：此题利用折叠提供的角相等，可证明四边形EFGH 为矩形，然后利用三角形全等来证明HN MF ，进而证明HD MF，从而将AD 转化为直角三角形EFH 的斜边 HF，进而得解，体现了转化思想(第 2 题 )2解：PE PF AB. 理由：过点P 作 PG AB 于 G，交 BD 于 O，如图所示PGAB，PFAC，A90°，AAGPPFA90°.四边形AGPF 是矩形 AGPF，PGAC. CGPB.又BD DC， CDBP. GPB DBP. OB OP. PG AB， PE BD，1 BGOPEO90°.在BGO 和PEO 中，BGOPE

15、O，GOBEOP，OB OP，BGOPEO. BG PE. AB BG AG PE PF.3证明：(1)四边形ABCD 是平行四边形，AB CD. BE DF.又 BE DF，四边形BFDE 是平行四边形 DE AB， DEB 90° .四边形BFDE 是矩形(2)四边形ABCD 是平行四边形， AB DC， AD BC. DFA FAB.由 (1)易得 BCF 为直角三角形，在 Rt BCF 中，由勾股定理，得BCCF2 BF232 42 5，AD BCDF 5.DAF DFA.DAF FAB ，即AF 平分DAB.4 (1)证明：四边形ABCD 为平行四边形，AB DC. ABE

16、又点 E 为 BC 的中点，BE CE.在 ABE 和 FCE 中， ABE FCE， BE CE， AEB FEC， ABE FCE. AB CF.又 AB CF，四边形ABFC 为平行四边形AE EF.AEC AEC ABC EAB. 又 AEC 2 ABC ， ABC EAB. EF BE EC，即 AF BC. 四边形ABFC 为矩形ECF.为 ABE 的外角， AE BE. AE AC DF. 又 AFD 是等边三角形，CF CD D2F 2. AC42 222 3.S四边形 ABFC2 3 × 2 4 3.(2)解：四边形ABFC 是矩形，专训 2又 ACB 90

17、76;，1 (1) 证明： AE CD， CE AB ， 四边形ADCE 是平行四边形，D 是 AB 的中点，CD BD AD ，平行四边形ADCE 是菱形(2)解：如图，过点D 作 DF CE，垂足为点F，则DF 即为菱形ADCE 的高，B60°， CD BD，BCD 是等边三角形，BCD 60°. CE AB ， BCE 180° B 120°， DCE 60°，又CD BC 6，在 Rt CDF 中，易求得DF 3 3，即菱形ADCE 的高为 3 3.(第1 题 )2 (1)证明：BD 垂直平分AC， OA OC， AD CD， AB B

18、C.四边形AFCG 是矩形，CG AF. CDO ABO，DCOBAO. COD AOB( AAS) CD AB. AB BC CD DA.四边形ABCD 是菱形(2)解：E 为 AB 的中点，DE AB ， DE 垂直平分AB. AD DB.又AD AB ，ADB 为等边三角形，DBA 60° . CD AB ，BDC DBA 60° .11(3)解：由菱形性质知，OAB 12 BAD 30°.在 Rt OAB 中， AB 1，OB 21， OA32. BD 1， AC3.3 (1)证明：将ADE 绕点 E 旋转 180°得到CFE，AE CE， DE

19、 FE.四边形ADCF 是平行四边形D， E 分别为 AB ， AC 边的中点，DE 是 ABC 的中位线DE BC. ACB 90°，AED 90°. DF AC. 四边形ADCF 是菱形(2)解：在Rt ABC 中， BC 8， AC 6，AB 10.点D 是 AB 边的中点，AD 5.四边形ADCF 是菱形， AF FC AD 5.四边形ABCF 的周长为8 10 5 5 28.4 (1)证明：E 是 AD 中点，AE DE. AF BC， FAEBDE，又 AEF DEB，AEFDEB( ASA)(2)证明：由(1)知，AEF DEB ，则 AF DB， D 是 B

20、C 的中点，DB DC，AF CD， 又AF BC， 四边形ADCF 是平行四边形， BAC 90°， D 是 BC 的中点，1 AD DC 2BC，四边形ADCF 是菱形(3)解：设菱形ADCF 的 DC 边上的高为h，则Rt ABC 斜边 BC 上的高也为h， BC524241 ， DC2BC2 ，h， 菱形 ADCF 的面积为：DC·h210.专训 31解：(1)仍有BM DN MN 成立证明如下：如图(1)，过点A 作 AE AN ，交CB 的延长线于点E, 易证 ABE ADN ，DN BE， AE AN. 又 MAN 45°， EAM NAM 45&#

21、176;， AM AM ， EAM NAM. ME MN. ME BE BM DN BM ，BM DN MN .(2)DN BM MN. 证明如下：如图(2)，在DN 上截取DE BM ，连接 AE. 四边形ABCD 是正方形， ABM D 90°， AB AD.又 BM DE， ABM ADE. AM AE ，BAM DAE. DAB 90°，MAE 90° . MAN 45°， EAN 45° MAN. 又 AM AE， AN AN ， AMN AEN. MN EN. DN DE EN BM MN.DN BM MN.(2)(第 1 题 )2

22、证明：AC， BD 是正方形ABCD 的两条对角线，AC BD， OA OD OCOB. DE CF，OE OF.在 Rt AOE 与 Rt DOF 中，OA OD， AOE DOF 90°，OE OF， RtAOE Rt DOF. OAE ODF. DOF 90°，DFO FDO 90°. DFOFAE 90°. AMF 90°，即AM DF.3 (1)证明：四边形ABCD 是正方形，A BCD 90°， AB BCCD DA. 又不管滚动多长时间，AP BQ CR DS，SA PB QC RD. ASPBPQCQRDRS. PS

23、QP RQ SR， ASPBPQ.不管滚动多长时间，四边形 PQRS是菱形 又APSASP90°，APSBPQ90°.QPS180° (APSBPQ)180° 90° 90° .不管滚动多长时间，四边形PQRS 总是正方形(2)解：当P，Q，R，S 在出发时或在到达终点时面积最大，此时的面积就等于原正方形 ABCD 的面积(3)解：当P，Q，R，S 四点运动到正方形四边中点时，四边形PQRS 的面积是原正方形 ABCD 面积的一半理由：设原正方形ABCD 的边长为a.当PS21a2时，在RtAPS 中，ASaSDaAP.2由勾股定理，

24、得AS2 AP2 PS2，即(a AP) 2 AP2 12a2，11解得 AP 2a.同理可得BQ CR SD 2a.当P， Q， R， S 四点运动到正方形ABCD 各边中点时，四边形PQRS的面积为原正方形面积的一半专训 41 解：(1) AED CEB.证明：四边形ABCD 是矩形，BC DA，BD.由折叠的性质，知 BC BC ，BB， BC DA，B D.在 AED 和CEB 中， DEA B EC， D B ，DA BC ， AED CEB.(2)如图，延长HP 交 AB 于点 M，则 PM AB.1 2， PG AB ，PM PG.CD AB ，23，13，AE CE83 5.在

25、RtADE中，DE3，AE5， AD 52 32 4.PHPMAD ， PGPHAD4.2证明：(1) DE AC， CE BD，四边形OCED 是平行四边形四边形ABCD 是菱形，ACBD.DOC 90°.四边形OCED 是矩形(2)四边形ABCD 是菱形， BC CD.四边形OCED 是矩形，OE CD， OE BC.(第 3 题 )3 (1)证明：如图，过点B 作 BH FP 交 FP 的延长线于点H. BD AC， PF AC，BHPF，四边形BDFH 是矩形BDHF.ABAC， ABC C.PEAB， PFAC ，PEB PFC 90° .EPBFPC.又HPBF

26、PC，EPBHPB.PE AB，PHBH ， PEBPHB90°.又 PB PB，PEBPHB. PE PH， BD HF PF PH PF PE.即 BD PE PF.(2)解：不成立，此时PE BD PF.理由：过点B 作 BH PF 交 PF 的延长线于点H.与 (1)同理可得PE PH， BD HF.PE FH FP BD PF.(第 4 题 )4 (1)证明：连接AC，如图BD 是菱形 ABCD 的对角线， BD 是线段 AC 的垂直平分线， AE EC.(2)解：点F 是线段 BC 的中点理由：四边形ABCD 是菱形， AB CB.又 ABC 60°，ABC 是

27、等边三角形，BAC 60° . AE EC，EAC ACE.CEF60°，EAC 30°，EAC EAB. AF 是 ABC 的角平分线 BF CF.点 F 是线段 BC 的中点5 (1)证明：在DFC 中， DFC 90°，C 30°， DC 2t， DF t，又 AE t，AE DF.(2)解：能理由如下：AB BC， DF BC，AE DF.又 AE DF，四边形AEFD 为平行四边形在 Rt ABC 中，设 AB x，则由C 30°，得AC 2x，AB 2 BC2 AC 2，即x2 (5 3)2 4x2，解得x 5(负根舍去)，AB 5.AC 2AB 10.AD AC DC 10 2t.由已知得点D 从点 C 运动到点A 的时间为10÷ 2 5(s)，点E 从点 A 运动到点B 的时5÷ 1 5(s)若使 ?AEFD 为菱形，则需AE AD ，即t 10 2t，解得t 10.符合题意310故当 t s时，四边形AEFD 为菱形3(3)解：当EDF 90°时，四边形EBFD 为矩形在 Rt AED 中， ADE C 30°，5 AD 2AE ，即10 2t 2t，解