初中几何圆、扇形、弓形的面积及阴影部分面积专项

1、初中几何圆、扇形、弓形的面积及阴影部分面积专项一、圆的面积计算公式：S=X R2,圆心角是1。的扇形面积等于圆面积的 ,圆心角是n度的扇形面积360等于圆的面积的 ,扇形的弧长等于1= 逝，=S扇=1lR。3601802二、运用公式法、割补法、拼凑法、等积变化法、平移法、旋转法、构造方程法等方法求组合图形的面积。三、运用割补法、平移法、旋转法、等积变换法、容斥原理求阴影部分面积。如下图所示，弓形AmB勺面1、弓形面积弓形的面积可以转化为扇形的面积与三角形的面积之差,积S弓形=S扇性aob-Saaob弓形的面积可以转化为： 扇形的面积与三角形的面积之和，如下图所示弓形 AmBW面积S弓形=S扇性

2、aob+Sa AOB注：当弓形所含的弧是劣弧时如甲图所示，弓形AmB勺面积S 弓形 =S 扇性 AOB-S AOB当弓形所含的弧是优弧时，如图乙所示,当弓形所含的弧是半圆时，弓形的面积S弓形二S圆2如图：半径 OA=6cm,C为 OB的中点，/ AOB=120 ,求阴影部分面积 S。AnB的面积S弓形二S扇性aob+Saob（右：乙图）120 Jr 621解：由图形可知，S 阴影 ab=S扇性 abgS/xaco,而 S扇形 ab(=12冗,Saac(= x 6x 3x sin6036029x3,29T 32所以S阴影abc=（ 12先一）cm。2、割补法凡求与圆有关的不规则图形面积问题，一般

3、都要把它转化为三角形、扇形、弓形的面积来求解，在 进行复杂的图形的面积计算时，时常通过添加辅助线，把图形分割成若干个基本图形求解，这种求解的方 法是经常用到的。如图：O O中的弦AC=2cm圆周角/ ABC=45，求图中阴影部分的面积。（部分与整体）,0E解：做。O的直径 AB,则连结 OC BC, /ACB=90 , / B=Z B, AB=2j2 , ; OA=/2 , .SaS阴影=S扇形AO-S AAO（=_d o _ 1 方AO=1,S 扇形 AOC=fl2，例二：如图在两个半圆中大圆的弦MN与小圆相切，D为切点，且 MN AB MN=a ON CD分别为两圆的半径，求阴影部分的面积

4、。第12页共7页解：取 MN勺中点为 E,连结 OE OELMN 且 EN=1MN=1a, D为切点，CDL MN又 MN/ AB, .22S 阴影= 1SO O-1 SOC=/OEDh EDC=/ DCO=90 , .四边形 OEDO矩形,OE=CD 在 RTA OEN中,ON_OE2=EN2=（，a） 2=； a；1 X x ON- 1 入 CD=1 人（OM-CD2）= 1 入（ON2-OE2）= 1 X x - a2=例3、如图在矩形 ABCD,AB=1, BC=2以A为圆心,AD为半径画弧，弧DE交BC于F,交AB的延长线于E,求阴影部分面积。一BF解：在 RTA ABF中，AB=1

5、, AF=AD=2 ，sin / FAB=AF=132，/ FAB”3,.所求面积3S = S 扇形 AEf-S AABF= 22a, o 12“3A AF AB BF =一人2.3答：所求阴影部分面积是 -o32练习:1、如图同心圆中，两圆半径分别为2 和 1, / AOB=120 ,则阴影部分的面积为3交 AB于 E,交 CD F,若 BD=12, AD、如图在平行四边形 ABCD43, BDL AD,以BD为直径作圆,AB=1: 2,则图中阴影部分的面积为（）A 121 B、1573-6/； C、3073-12 D、48733613、如图设计一个商标图案（图中阴影部分）,矩形 ABCN,

6、 AB=2BC且AB=&以点 A为圆心,AD为半径作圆，则商标图案的面积等于（）A、4 先 +8 B4冗 +6 C 、3X +84、如图，正方形ABCD勺边长为a,以A为圆心，AD为半径作弧BD,又以AD为直径在正方形内作半圆,则曲线ABDA所围成的阴影面积为、一个正方形有一个内切圆和一个外接圆，则这两个圆的面积的比为 、如图：在 RtABC中，/ B=90 , AB=BC=4cm以AB为直径的圆交 AC于D,求图中阴影部分面积。、如图：O O的半径OAL OB且OA=2, C为OB的中点，过 C点作OA的平行线交弧 AB于点D,求图3、容斥原理：A. BA B-A B有些组合图形可以根据容斥

7、原理来解答。卜图中，长方形 ABCD勺长是6厘米，宽是4厘米，求图中阴影部分的面积。解：这道题可以用容斥原理来解答:S阴=$扇形ABe+S扇形ADF-S长方形ABCDAD中阴影部分的面积。2121= 3.14 63.14 4 x 6 444=16.82（平方厘米）如图。内切正 ABC于点D E、F,分另I以 A B、C为圆心，AD长为半径作弧，已知正 ABC的边长为a,求图中阴影部分的面积。解：图中阴影部分的面积为 S阴=S。o+3S扇形ADF-S 3a2 a2 5X-6 34 一 24例3:如图，分别过边长为 a的正 ABC的每两个顶点和中心向三角形内作弧，求阴影部分的面积。解：图中阴影部分

8、面积S阴=3S弓形AO-与*力-运二运一运43432练习：1、如图，在直角三角形 ABC中。/ C=90 , AC=2 AB=4,分另以AG BC为直径做半圆，则图中阴影部分面积为（）A、 2X-73 B 、无+点 C 、丸+2J3 D 、2/一2，32、如图正方形ABCD勺边长为2cm,分另1J以A、C为圆心，此正方形边长为半径画弧，两弧围成的阴影部分面积是（A、 （2尢-4jcm2 b、75Acm2 c（尢-2）cm2 d、2.5冗cm23、等腰直角三角形直角边 AC=8求图中阴影部分的面积。4、如图：正方形边长为 4,求图中阴影部分的面积。4、平移法例1、如图，已知扇形 AOB勺圆心角为

9、60 ,半径为6, C D分别是弧AB的三等分点，则图中阴影部分面积为 。分析与解：C、D为弧AB的三等分点，所以三段弧所对的圆心角相等，所以，OCOD所分成的三个扇形面积相等，所以可以平移到一个扇形中，于是阴影部分面c 20积等于nR2=2几。360计算下图中阴影部分面积解：把长方形分成两个相等的正方形，将右边正方形中的阴影部分向左平移，阴影部分正好是一个正方形，如右图所示，所求阴影部分的面积就是该正方形的面积。6*6=36平方厘米。5、等积转化特征：同底（等底）等高的两个三角形面积相等。同高（等高）等底的两个三角形面积相等。如图：在 RtABC中，AC=BC DEF的圆心为点 A,若曲边形

10、 BDE与CEF的面积相等，求 AD DB的值。角军： S aab(=Sbde+SdecS 扇形 adf=Secf+SadecSbDE=ScEF. S/AB(=S 扇形 ADF设：AC=BC=1 贝U AB=、,2 ,1所以1 =2二 AD-AD = 2一 AD : BD = 2- : | J:2例2、如图已知半圆的直径 BC=10cm AB=AD / ACD=35 ,则图中的阴影部分面积等于。解：连结 OA OD AB=AD 弧 AB哪 AD，/ 2=/ACD 又. / ACD=35 . . / 2=35 度，又 AO=OC./ 1 = /2=35 , ./ 1 = /ACdAO=DC/. Saaod=Saadc , . S 阴影=S 扇形240二 525 二 2360ocd= = cm例3:如图已知半圆的直径 AB=12cm点C D是这个半圆的三等分点，求弦AG AD和弧CD围成的阴影部分的面积。解：因为C D为半圆的三等分点，所以弧 AC哪CD瓠Bg CD /AB,s半圆C0SACD.S扇形OBDSADB -S_ AOD