难点突破立体图形的外接球与内切球问题

1、2019届高三数学第一轮复习教学案18:难点突破：立体图形的外接球与内切球问题、基础知识与概念:1 .球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆.大圆：截面过球心，半径等于球半径（截面圆中最大）；小圆：截面不过球心.2 .球心和截面圆心的连线垂直于截面.3 .球心到截面的距离 同与球半径R及截面圆半径 四的关系：|R2 d2 r2.4 .几何体的外接球：几何体的顶点都在球面上；几何体的内切球：球与几何体的各个面都相切.、多面体的外接球（球包体）模型1:球包直柱（直锥）：有垂直于底面的侧棱（有垂底侧边棱）模型2: “顶点连心”锥：锥体的顶点及球心在底面的投影都是底面多边

2、形外接圆的圆心（两心一顶连成线） 实例：正棱锥2 2222h （2010年全国新课标卷第10题）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为回，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 r2球径计算方程：h Rr2 R2 h 2hR r 0 R 2h（回为棱锥的高，匚|为底面外接圆半径）特别地，（1）边长为 回正四面体的外接球半径： RT.（2）底面边长为 回，高为例的正三棱锥的外接球半径：RZ（3）底面边长为 回，高为何的正四棱锥的外接球半径：RZ例：1. （2017年全国卷III第8题）已知圆柱的高为 0,它的两个底面的圆周在直径为 旧的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为D.2h 2一 r2【解析

3、】模式辨识：“球包体”中的“垂底侧边棱（母线）”类型，hl, |R 1|,底面半径为田，则由R得:2/12121 - rV2,3r h4B.C.112一 a- L 2D. 5 a【解析】“球包体”中的“垂底侧边棱”类型,-22 h22 a2 a7a2R2r4312所以该球的表面积一 2 一 22 7a7aS 4 R2 4 a a123.答案B.3. （2014年全国大纲卷第8题）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 为4,底面边长为2,则该球的表面积81b. E6ZD.27【解析】模式辨识：“球包体”中的“顶点连心锥”，h 4, r22,2222_h r 16 2 92h 84所以S

4、4 R2 481纹，答案：A.1644. （2013年全国卷I第6题）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm,将一个放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 球的体积为6 cm,如果不计容器的厚度，则5003cm38663cm3B.C.13723cm3D.20483cm3球【解析】设水面与球的接触点（切点）为 巳 球心为回|,则国何直于正方体的上表面，依题意到正方体上表面的距离为h 2,球与正方体上表面相交圆的半径R r244VR3350035 ,所以球的体积三、定心大法：球心在过截面圆的圆心且垂直于截面圆所在平面的直线上.截面圆的垂线，由两垂线的交点两圆

5、定心法：如下图，过两个截面圆的圆心分别作相应 确定圆心.例2： 1.已知边长为 座|的棱形|ABCD|中,|60 现沿对角线 画折起，使得二面角|A BD C|为|120|,此时点囚，叵,，叵在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. 20TB, 20C. 28ZID. H2Z2 .在矩形Iabcd|中，Iab 4|. |bc 3|,沿AC%各矩形折成一个直二面角|b ac d|,则四面体|abcd|的外接球 的体积为.3 .在边长为1的菱形Iabcd中，I bad 60 沿对角线将菱形折成直二面角|a bd c|,则三棱锥|a bcd的 外接球的表面积为.四、正多面体的内切球（体中球）锥体的内

6、切球圆锥的内切球RRRa2正四面体边长为球半径正方体边长为球半径E四面体边长为球半径RRR则球的体积为2ABC3CABD3故当球半径3时球的体积最大为B23664144256CABDSBABCABC是边长为SB平面【解析】考查直三棱柱中截面的内切圆为球的大圆的情景边长为回的正方体边长回的正八面体AOB 90BC 8正多面体的切边球”（与所有的棱都相切的球）AB BC36,则球 O的表面积为某圆锥的截面为边长为团的正三角形，则该圆锥的内切球的表面积为427AA1 33: 1. 一个球的外切正方体的全面积为3824 V - R3S ABC 中AB 6A1B1C1内有一个体积为6 8 10 R 6

7、8 R 222O ABC体积的最大值为R a92323形，则三棱锥|S ABC|的外接球的表面积为（）A. 口B. 5C.叵D.叵3. （2014年湖南卷）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工 成球，则能得到的最大球的半径等于（）A. 1B.回C.回D. 0ksew4. （2013年辽宁卷理 10）已知三棱柱 ABC AB1C1的同个顶点都在球O的球面上，若5 . （2012年全国新课标卷第11题）已知三棱锥|S ABC的所有顶点都在球 回的球面上，匚ABC是边长为日的正三角 形，瓯为于同的直径，且|SC 2|,则此棱锥的体积为D.6 .在正三棱锥|P ABC中,gA

8、 PB PC V3|,侧棱厨与底面| ABC所成的角为画，则该三棱锥外接球的体 积为（）A. B. 3C. OD. -37 .已知底面边长为1,侧棱长为逐的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）A .B.口C. 2"|4D.一 38 . （2017年福建省质检）.空间四边形 ABCD的四个顶点都在同一球面上，E、F分别是 AB、CD的中点，且EF AB,EF CD ,若AB 8,CD EF 4 ,则该球的半径等于9 .若三棱锥|P ABC |的最长的棱IPA 21,且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是 .10 .（ 2008年高考浙江卷理14）已知球 回的面

9、上四点 国、叵、©、，Ida I平面伺bc|, |ab bcDA AB BC 3,则球日的体积为.11 . （2016年东北三省三校联考）三棱柱|ABC A1B1C1I各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，ACB 120 ,CA CB 2同 fAA4,则这个球的表面积为 .12 .在三柱|ABC ABC|中，侧棱画垂直底面，| ACB 90 |, | BAC 30 |, | BC 1,且三棱柱ABC ABC 的体积为3|,则三棱柱IabcABC的外接球表面积为 .13 .在正三棱锥|S ABC I中，M|,闻分别是棱 画、UC的中点，且|AM MN|,若侧棱|sa 2, I，则正三棱 锥|S ABC I外接球的表面积是 .14,在三棱锥|A BCD|中,|AB CD 2|,AD BC 局1AC BD 同 则三棱锥|A