空间向量学案

1、3.1.1-3.1.2空间向量及其运算学案预习案11争三川恋-1-掌握空间向量的概念，学会其运算.2.理解向量共线、共面定理.竽包重良:掌握空间向量的概念，学会其运算笑虫住点:,掌握空间向量的概念，学会其运算任务一：空间向量的概念1 .空间向量的定义在空间中，我们把具有 和 的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.2 .空间向量的表示方法(1)几何表示：空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的 .(2)符号表示：空间向量可用一个字母表示，如向量 a,也可用有向线段的起点、终点的字母表示,uuruuru也可用表不向量a的有向线段的起点 A和终点B表不为AB ,向量的模记为|a|或

2、|AB|.3 .几个特殊的空间向量零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 a相等向量方向相同且的1可量称为相等向量4 .空间向量的加法和减法运算已知空间向量a, b,可以把它们平移到同一个平面内，以任意点 O为起点，作向量 OA a , OB b ,类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算uuiruuu uuuuuuuuuruuurOBOA AB (参考书85 页图 3.1-4), CAOAOC .(参考书85 页图 3.1-5)5 .空间向量的加法运算律(1)交换律：a b； ( 2)结合

3、律：(a b) c a (b c) 以上运算律对于多个空间向量的加法也是成立的.6 .空间向量的数乘运算(1)定义：与平面向量一样，实数与空间向量a的乘积 a仍然是一个向量，称为向量的数乘运算.(2)向量 a与a的关系：如图，当 0时，a与向量a的；当 0时， a与向量a的a的长度是向量a的长度的 倍.（3）空间向量的数乘运算律：分配律：（a b） a b；结合律：（a） （ ）a.7 .共线向量（1）定义如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相 ,则这些向量叫做共线向量或平行向量.（2）向量共线的充要条件（即共线向量定理）对于空间任意两个向量a,b（b 0）, a，的充要条件是存在实数，使.

4、（3）共线向量定理的推论l为经过已知点 A且平行于已知非零向量 a的直线，对空间任意一点。，点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使op oa ta，其中向量a叫做直线l的方向向量.uuu uuu uuu uuu uur若在l上取aB a,则式可以化为OP OA tAB （1 t）OA tOB.注：共线向量定理及其推论可用来证明直线平行和空间三点共线.8.共面向量 （1）定义 平行于 的向量，叫做共面向量.（2）三个向量共面的充要条件（即共面向量定理） 如果两个向量a , b不共线，那么向量 p与向量a , b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x, y）,使p .（3）共面向量定理的推论空

5、间一点 P位于平面 ABC内的充要条件是存在有序实数对（x, V）,使uuuuuuuuiruuinuuuuuu uuurAPxAByAC;或对空间任意一点。，有OPOAxAByAC.式称为空间平面ABC的向 量表示式.由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.三点共线的充要条件：由共线向量定理的推论，我们可以得到空间三点共线的充要条件为uuuuuuuuuOPOAOB ,且 =1 .此结论经常使用预习检测1 .若a，b，C是空间任意三个向量,R,则下列关系式中，不成立的是（）A- a b b a B- （a b） a b C. （a b） c a （b c） D- b a uu

6、uv2 .已知空间四边形ABCD中，ABa,BCb,AD c,则CD（）A. a b cB. c a bC.c a b D. abcuuuu3 .如图所示，在正方体 ABCD ABC1D1中，下列各式中运算结果为向量AC1的是（）uuuuuiruuuruuiruuuruuuuruuruuuruuuruuruunnuuur（AB BC）CC1；（AAAD1）DC1；（ABBB）BC1 ;（AAAB1）BC1巩固练习1 .如图（1）所示,在平行六面体(3)C. D.A. B.ABCD-A1B1C1D1 中,？?1? ?A- ABB.?C ? D.?如图（2）,空间四边形ABCD中，若 E , F

7、, G ,H分别为AB ,BC,CD各式中成立的（)uurruuiruuuruuuruuuunruuurunrA. EBBFEHGH0B.EBFCEHGEuuiruurunruuuruuuuuuuuuuuurC- EFFGEHGH0D.EFFBCGGH00,DA的中点，则下列2.3.如图（3）,在三棱锥 OABC中，点D是棱AC的中点，若oaOB-uur “一OC c，则BD等于A- a b c B-一 1 ，C. - a b21 uuu4.已知。为空间任意一点，？三点不共线 若？?？OA31 .-c21 uur -OB 2D.1 uuur-OC ,则？四点（）6A. 一定不共面B.不一定共面

8、C. 一定共面D.无法判断5.已知正方体ABCD-A'B'C'D'的中心为O,则有下列结论：（）uuu unruuir uuur OA+ OD 与OB'+ OC'是uuu uiuruuiruur对相反向量；OB-OC与OA'-OD'是一对相反向量；uuu uuru umr uuur_uur uur umr uuiruur uuu - uur uurOA+ OB+ OC + OD与OA'+ OB'+ OC'+ OD'是一对相反向重；OA'-OA与OC-OC'是一对相反向量.其中正确的有

9、A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个uuuuum6.已知空间四边形 ABCD,连接AC , BD ,则AB BCuuuCD7.已知点P和不共线的三点 A,B,C,四点共面且对于空间任意一点O，者B 有？?=? 2?+?+?U 入 J.8.设e，e2是两个不共线的空间向量，若AB2eke2，CB 3e3e2，CDkee2，且A, B,D三点共线，则实数k的值为9.已知。是空间任一点，A, B, C, D四点满足任三点均不共线，四点共面，且uuuunrOA 2xBOuur uuur3yCO 4zDO ,则2x 3y 4z .3.1.3 空间向量的数量积运算3.1.4 空间向量的正交分解及其坐

10、标表示3.1.5 空间向量运算的坐标表示笑过目亘,：1.掌握空间向量的概念，学会其运算.2.理解向量基本定理、坐标运算.定习重点;理解向量基本定理、坐标运算美里电*理解向量基本定理、坐标运算任务一：空间向量的数量积1 .空间两向量的夹角已知两个非零向量 a , b ,在空间任取一点 。，作oA a , oB b ,则AOB (0 AOB )叫做向量a, b的夹角，记作 a,b .2 .空间向量的数量积已知两个非零向量 a, b，则|5| |b|cos a,b叫做a，b的数量积，记作a b , 即 a b -类比平面向量，由此可知，零向量与任何向量的数量积为 .3 .空间向量数量积的性质(1)若

11、a是非零向量，e是任意单位向量，则 a e | a | cos a,e .(2)若a , b是非零向量，则 a b a b 0 -(3)a a |a | a | cos a, a |a |2 -(4)若 为 a 与 b 的夹角，则 cos -注意：(1)向量a , b的数量积记为a b ,而不能表示为a b或ab.任务二：空间向量运算的坐标表示1 .空间向量基本定理类似于平面向量基本定理，有空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量 p ,存在有序实数组x, y,z,使彳导p .其中，a,b,c叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量.2 .空间向量基本定理的推论设O

12、 , A, B , C是不共面的四点，则对于空间任一点P ,都存在唯一的有序实数组 x, y, z,使得uuruuu uuuuurOPxOAyOBzOC,当且仅当 时，P, A, B, C四点共面.3 .单位正交基底设ei,e2,e3为有公共起点 O的三个两两 的单位向量，我们称它们为单位正交基底.用 0, e2, q来表不'.4 .空间向量的坐标表不以e,62,e3的公共起点O为原点，分别以61,62,4的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.那么，对于空间任意一个向量a，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OA a-由空间向量基本定理可知，存在有序

13、实数组x, y,z,使得a .我们把x, y,z称作向量a在单位正交基底ei,e2,e3下的坐标，记作a.注：向量的坐标由起点、终点的坐标共同决定，并不受起点位置的影响.5 .单位正交基底之间的数量积运算(1)因为单位正交基底 e,e2,e3互相垂直，所以e e2己e3 e2 e3 .(2)因为0,a，q为单位向量，所以 e1 e 62 e2 Q Q 1.6 .空间向量的坐标运算空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算的坐标表示都可以类似平面向量的坐标运算得到.(a1,a2,a3)， b (bibh)，则(1)a b (a1bi,a2 b2,a3 b3)，(a1 bi,a2 b2,a3 b3)，

14、(2)a/b|a|(3)(a1,a2, a3),a1bia2b2b a1b1, a2b2,a3cosa, b在空间直角坐标系中，已知点A(x(, y1, z1),b a b 0a1ha2b2a1b1a2b2a3b3a； a2 a；，b12 b2 b2 'B(x2,y2,Z2),则A, B两点间的距离da300,|AB|222d(K x2) (y1 y2) (z1 z?).般按照右手系建系注：进行向量运算时，在能建系的情况下尽量建系，将向量运算转化为坐标运算, 预习检测1 .已知 |a| 3，|b| 4， a,b 120，则 12a b|A. 2 B. 76C. 2719D. 42 .若

15、非零向量a，b满足|a|b|, (2a b) b 0，则a与b的夹角为A. 30 B. 60C. 120 D. 1503 .下列各组向量中，可以作为基底的是A-e'(0,0)©(1, 2)B-0( 1,2),号(5,7)13、C.e(3,5),e2(6,10)D.e,(2, 3)e(-,-)巩固练习1 .在空间四边形 ABCD中,?？?拿？?？?羯？?聚Q?A. 0B.C. 1 D.无法确定2.已知a,b是异面直线，A,B a,C,D b,ACb, BD b,且AB 2,CD 1,则a与b所成的角是A. 30 B. 45C. 60 D. 903 .在空间四边形0Hse中，OB

16、OC ,乙4。3 =乙4。=三，则ua必蓝)等于1 6I八A.B.C. -D.2 223,已知A(1, 2,0)和向量a ( 3,4,12)，且AB 2：，则点B的坐标为A. ( 7,10,24) B. (7, 10, 24) C. ( 6,8,24) D. ( 5,6, 24)4 .已知 a (m,2, 4)，b (3, 4,n)，且 a/b，则 m，n 的值分别为333一 ，、A. ?= - 2,?= 8 B. ?= 2,?= 8 C. ?= - - ,?= -8 D.无法确定* 5 .已知空间向量a (1,1,0), b ( 1,0,2),则与向量a b方向相反的单位向量的坐标是、.5

17、2 >552.5A. (0,1,2) B. (0,-1,-2) C. (0, 5 , 5 ) D. (0,5 ,5 )6.若向量a,b的坐标满足a b(2, 1,2)，a b (4, 3, 2)，则 I bA. 5B. -5C. 7D. -17.已知A(2,5,1), B(2,-uuu-uo ,2,4) , C(1, 4,1),则AC与AB的夹角为A. 30 B. 45C. 60 D. 908 .已知点A在基底a,b,c下的坐标为(8,6,4),其中a i j,b j k,c k i ,则点A在基底i, j,k下的坐标是C. (14,12,10) D. (4,3,2)A. (12,14,

18、10) B. (10,12,14)9.已知向量 a ( 2, 3,1),b (2,0,4),c(4, 6,2),则下列结论正确的是A . a c,b cB . a / b, a cC. a/c,a b D.以上都不对10.在如图所示的空间直角坐标系中则点F的坐标为M.一 1A. (2,4,0)B. (2,3,0)3C. (2,2,0)D. (2,3,0)311.已知向量(1,1,0),b(1,0,2)，且 kab与2ab互相垂直，则k的值为A. 1D.12.已知向量i, j, k是一组单位正交向量,m 8j3k,n i 5jB. -20C. 28D. 1113.在棱长为1的正方体ABCDuuuu uuimABCD 中，AD BC，正方体？?？?？的棱长为2,?为正方体的棱？?勺中点，？为I?的一点，且/?= 9014.已知空间向量a , b满足|a|4, |b| 8，a与 b 的夹角为 150 ,则(a 2b) (2a b)15 .已知向量 a ( 1,2,1),b (2,2,0),则a在b方向上的投影为16 .在平面直角坐标系中，已知点？(1,2,0),?(?3,-1), ?(4,?2),若？? ? ?五点共线，则？?+ ?=.17 .若向量 a (4,2, 4),b (6