小学奥数系统总复习

1、奥数教学简介一、课程特色：1、教材与现行小学奥数教程同步；2、教材难度适中，体现科学性，现实性，有挑战性，突出实、难、巧、趣的特点。二、教学理念：通才教育和趣味教育。三、教学目标：以通才教育和趣味教育理念为指导，提高学生的学习成绩，培养学生在现实生活中 运用数学方法和数学思维解决实际问题的能力，进而开拓学生的思维，为学好奥数打下 坚实的基础。如何学好奥数？1、直观画图法：解奥数题时，如果能合理的、科学的、巧妙的借助点、线、面、图、 表将奥数问题直观形象的展示出来，将抽象的数量关系形象化，可使同学们容易搞清数 量关系，沟通“已知”与“未知”的联系，抓住问题的本质，迅速解题。2、倒推法：从题目所述

2、的最后结果出发，利用已知条件一步一步向前倒推，直到题 目中问题得到解决。3、枚举法：奥数题中常常出现一些数量关系非常特殊的题目，用普通的方法很难列 式解答，有时根本列不出相应的算式来。我们可以用枚举法，根据题目的要求，一一列 举基本符合要求的数据，然后从中挑选出符合要求的答案。4、正难则反：有些数学问题如果你从条件正面出发考虑有困难，那么你可以改变思 考的方向，从结果或问题的反面出发来考虑问题，使问题得到解决。5、巧妙转化：在解奥数题时，经常要提醒自己，遇到的新问题能否转化成旧问题解 决，化新为旧，透过表面，抓住问题的实质，将问题转化成自己熟悉的问题去解答。转 化的类型有条件转化、问题转化、关

3、系转化、图形转化等。6、整体把握：有些奥数题，如果从细节上考虑，很繁杂，也没有必要，如果能从整 体上把握，宏观上考虑，通过研究问题的整体形式、整体结构、局部与整体的内在联系， “只见森林，不见树木”，来求得问题的解决。第一讲第一题：时钟问题有一个始终每小时快20秒，它3月1日中午12点准确，下一次准确的时间是什么时间？ （5月30日12时）答：一圈快20x12=240秒=4分，一共要快几圈才会正好对准标准时间 12x60+ 4=180 （圈），换算成是几日180x12=2160时=90日，3月1日中午12时+90日=5月30日12时第二题：几何问题如图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周的中点

4、，BC是半圆的直径.已知 AB=BC=10那么阴影部分的面积是多少？（圆周率取3.14）答：第三题：和差倍问题春风小学原计划种杨树、柳树和槐树共1500棵，植树开始后，当种了杨树总数的3/5和30棵柳树后，又临时运来15棵槐树，这是剩下的3种树的棵数恰好相等， 问原计划要栽植这三种树各多少棵？ 答：假设杨树、柳树和槐树棵树分别为：a、b和c,由题意可得：a+b+c=1500 （1 - 3/5）a=b-30 b-30=c+15 易得到三种树分别为：825、360、315棵 第四题：行程问题甲、乙二人进行游泳追逐赛，规定两人分别从游泳池50米泳道的两端同时开始游，直到一方追上另一方为止，追上者为胜

5、。已知甲、乙的速度分别为1.0米/秒和0.8米/秒。问：（1）比赛开始后多长时间甲追上乙？ （2）甲追上乙时两人共迎面相遇了几次？ 答：（1） 250秒；（2） 4次。 如图，构造柳卡图，可见比赛开始 250秒后甲追上乙，他们相遇 4次。第五题：速算与巧算答：2/45第二讲【计算题】1 .难度：j 2x14(1)计算：Q4-QQ-Q.弼 一 于(结果写成分数形式)【答案】2 .难度：某次考试中，13名同学的平均分四舍五入到十分位后等于85.4 ,且每名同学的得分都是整数。请问：这13名同学的总分是多少？计算平均分时四舍五入到百 分位等于多少？【答案】平均数的范围是在85.3585.45之间的数

6、。这13个同学的总分最小为 13X85.35=1109.55分，最大为13X85.45=1110.85 分，每个同学的得分是整数，那么总分也一定是个整数，所以这 13个同学的总分 为1110分，则他们的平均分四舍五入到百分位为 85.38分。第三讲【计算题】1 .难度：将15个相同的悠悠球分装到四个相同的纸盒中，要求每个盒子中至少装一个，且每个盒子装的数量都不相同，问共有 种装法。【答案】因为2+3+4+5=14,所以最小两个加数只能为 1和2; 1和3; 1和4; 2和3 四种情况：15=1+2+3+9 (2)15=1+3+4+7 无 15=2+3+4+6=1+2+4+8=1+3+5+6=1

7、+2+5+7因此15个悠悠球放在不同纸盒里共有 3+2+1=6种不同的装法。2 .难度：将一个等边三角形各边七等分后再连接相应的线段得到下图，问图中共有多少个三角形？【答案】正立的：边长是1有：1 +2+7=28边长是2有：1+2+6=21边长是3有：1+2+5=15边长是7有：1个倒立的：边长是1有：1+2+6=21边长是2有：1+2+3+4=10边长是3有：1+2=3因此共有：28+21+15+10+6+3+1 +21+10+3=118第四讲【几何问题】1 .难度：如图，已知三角形ABC面积为1,延长AB至D,使；延长BC至E,使CE=2BC 延长CA至F,使AF=3AC求三角形DEF的面

8、积。【答案】2 .难度：一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如图的立体图形，已知大、中、小三个正方体的棱长分别为5厘米、2厘米、1厘米。那么，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？【答案】采用“三视图”的方法，立方体总表面积=(正面面积+侧面面积+上面面积)X2+遮挡部分的面积，正面面积 =5X 5+(2 X2+1X 1) X 2=35平方厘米，侧面面积=5 X 5+(2 X2+1X 1) X 2=35平方厘米，上面面积 =5X 5=25平方厘米，遮挡部分的面 积=(2 X2+1 X 1) X 8=40平方厘米，所以总表面积 =(35+35+25) 乂 2+40=230平方厘 米。第五讲

9、【数论问题】1 .难度：已知九位数2012口12口2既是9的倍数，又是11的倍数，那么，这个九位数是多少？【答案】设原数为丽壶良，是9的倍数和11的倍数，那么一定是99的倍数。根据 99的整除特征，两位一截后得到的两位数相加 &2+12+l+2=37+ta , 37+历是99 的倍数，只能是99,所以面=%-"=畿，所以b=6, a=202 .难度：四个连续自然数的乘积是 11880,求此四个数。【答案】把这些质因数搭配成 4个乘数，并且要求是连续的，11 比较大，我们不妨从11入手，只能有8, 9, 10, 11或是9, 10, 11, 12,前者不 成立。那么这四个数是

10、9, 10, 11, 12。第六讲【应用题】1 . 一个农夫看见池塘里有一群鹅，他自言自语地说：“我如果有这些鹅， 再加上这些鹅，然后再加上这些鹅的一半，又加上这些鹅的一半的一半，最后再 加上我家里的5只，就正好是93只鹅。”池塘里有鹅多少只。【解析】(93T 卜=、 * 。12 .老师买来120支铅笔分给四、五、六年级的同学，其中分给四年级3 ,分3给五年级M那么六年级分到铅笔 支.【解析】120x(1-5) = 35简单分数量率对应应用题，3 613 .小明看丁丁历险记的连环画，第一天看了全书的还多4页，第二天1 1看了余下的,还多5页，第三天看了剩下的彳还多6页，第四天看了 2页就将全书

11、 看完了。这本书一共有 页【解析】 典型还原问题，列综合算式即可，眄研一卜中加"6页4.陕北某村有一块草场，假设每天草都均匀生成。这片草场经过测算可供100只羊吃200天，或可供150只羊吃100天。问：如果放牧250只羊可以吃多少 天？放牧这么多羊对吗？为防止草场沙化，这片草场最多可以放牧多少只羊？【解析】每只羊每天吃草量为1份。新生草量:（100x200-150 箕WO）. QH -100 卜 50（份）原有草量：烟式嵋*一（份）250只羊可吃:放牧这么多羊不对最多放牧50只羊，因为每天新增草 50份，刚好够50只羊吃第七讲1 . 一箱苹果，按每千克1.6元卖，亏12元，按每千克

12、2.1元卖，赚3元， 要想不亏不赚，每千克应卖元.【解析】如果1千克按1.6元卖，4千克按2.1元卖，则刚好亏的和赚的抵消，平均每 千克卖（1.6 +2.1 X4）+（1 + 4） = 2（元）.2 .将一群人分为甲、乙、丙三组，每人都必在且仅在一组。已知甲、乙、 丙的平均年龄分别为 37、23、41。甲、乙两组人合起来的平均年龄为29;乙、丙两组人合起来的平均年龄为 33。则这一群人的平均年龄为。【解析】甲、乙两组人的年龄比为（29-23 ） : （ 37-29 ） =3:4,乙、丙两组人的年龄比为（41-33 ） : （ 33-23） =4:5,所以甲、乙、丙三组人的年龄比为3:4:5 ,

13、这37x3f23x4+41x5群人的平均年龄为3+4+5（岁）。3 .美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在自然界里，物体形映的比例却提供了匀称与协调上的一种美感的参考，在数学上，这个比例称为黄金分 割。在人体下躯干（由脚底至肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金 分割点，也就是说，若此比值越接近 0.618 ,就越给人一种美的感受。如果某女士 身高为1.60米，下躯干与身高的比为0.60 ,为了追求美，她想利用高跟鞋达到这 一效果，那么她选的高跟鞋的高度约为多少厘米。,解得*加也5 （厘米）75 （厘米）【解析】 该女士下躯干高160X0.6=0.96米，设高跟鞋的高度为 x米，从

14、而 空8=0j61S第八讲1 .小王期末考试得了满分，但老师在评讲试卷时小王突然发现在做一道数 学填空题时，算到最后一个结果是一个数乘以8,再减去63,由于粗心，把乘法算成除法，把减法算成加法，但凑巧的是得数是对的，这道数学题得数是【解析】设数为 a,则有 aX863 = a + 8+63,求得 a= 16,结果为 16+8+ 63=65。2 .天津红气球小学六年级同学参加运动会，每人都在长跑、短跑和接力三个项目中选择两项参加。已知参加长跑的有28人，参加短跑的有25人，参加接力的有33人。那么，参加长跑和接力两项的有 。【解析】容易计算一共有六年级学生 （28十25+33） + 2=43人，

15、所以参加长跑和接力 的人有43-15=18。3、我国除了用公历纪年法外，在很多场合还采用干支纪年法表示年代。天干 有10个：甲乙丙丁戊已庚辛壬癸。地支有 12个：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥。 将天干的10个流字与地支的12个汉字循环对应排列成如下两行：甲乙丙丁戊已庚辛壬癸甲乙丙丁戊子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅例如：公历2000年，干支纪年为庚辰年。那么公历2003年，干支幻年为年。请你阅读下面的故事：我国着名的数学家苏步青在 1983年讲过一个学文史的也要学点数学的故事：“我有一个学生研究古典文学， 送我好几本研究苏东坡的文集， 我翻看了一篇赤 壁赋，赤壁赋是苏东坡哪一年写的？书上印的是 10

16、80年。苏东坡生于1037 年，活了 66岁。赤壁赋开头几句就是：壬戌之秋，七月既望。大家知道 1982 年是干支纪年法的壬戌年。我一看苏东坡写赤壁赋的年代是 1080年，就知道 一定是错的。”请说明苏步青是通过怎样的“神机妙算”得出这个结论的？并推算苏东坡是 公历哪一年写的赤壁赋？【解析】因为 10， 12=60，所以干支纪年法每60 年一循环，1982年是壬戌年，赤壁赋也是壬戌年写的，因此公历1982 年与写赤壁赋的公历年相差应是60的倍数，但是1982-1080=902， 902不是 60的倍数，所以赤壁赋不是在1080年写的。1037+66=1103，在1037 年至 1103 年间与

17、 1982 相差 60 的倍数的只有1982-60 X 5=1082,所以赤壁赋是苏东坡1082年写的。第九讲1、（） 一个农民携带一只狼，一只羊和一棵白菜，要借助一条小船过 河.小船上除了农民只能再带狼、羊、白菜中的一样.而农民不在时，狼会吃羊, 羊会吃白菜.农民如何过河呢？【解析】如下表:次数此岸过河彼岸1狼，白菜农民，羊2狼，白菜农民羊3狼农民，白菜羊4狼农民，羊白菜5羊农民，狼白菜6羊农民狼，白菜7农民，羊狼，白菜农民，羊，狼，白菜2、（）有一家五口人要在夜晚过一座独木桥.他们家里的老爷爷行动非常不便，过桥需要12分钟；孩子们的父亲贪吃且不爱运动，体重严重超标，过河需要时间也较长，8分

18、钟；母亲则一直坚持劳作，动作还算敏捷，过桥要 6分钟； 两个孩子中姐姐需要 3分钟，弟弟只要1分钟.当时正是初一夜晚又是阴天，不 要说月亮，连一点星光都没有，真所谓伸手不见五指.所幸的是他们有一盏油灯，同时可以有两个人借助灯光过桥.但要命的灯油将尽，这盏灯只能再维持30分钟了！他们焦急万分，该怎样过桥呢？【解析】首先姐姐跟弟弟一起过，用时 3分钟，姐姐再回去送油灯，用时 3分钟，老 爷爷跟爸爸一起过河，用时 12分钟，弟弟将灯送回去，用时 1分钟，弟弟和母亲一起过，用时6 分钟，弟弟送灯过河，用时1 分钟，最后与姐姐一起过河，用时分钟一共用时：3+3+12+1+6+1+3=29分钟最后能够安全

19、全部过河第十讲1、 （）有两堆火柴，一堆3 根，另一堆7根甲、乙两人轮流取火柴，每次可以从每一堆中取任意根火柴，也可以同时从两堆中取相同数目的火柴每次至少要取走一根火柴谁取得最后一根火柴谁胜如果都采用最佳方法，那么谁将获胜？【解析】采用逆推法分析，假设甲获胜，甲最终将两堆火柴都变为0，简记（0， 0） ；因为甲至少取1 根火柴，所以甲取之前，即乙留给甲的两堆火柴最少的几种情况是（ 1，0） ， （2，0） （ 1， 1） ；要想乙留给甲上述情况，甲应该留给乙（1， 2） ；再往前逆推，当甲留给乙（3，5）时，无论乙怎样取，甲都可以一次取完所有的火柴或留给乙（1， 2） 所以甲先从7 根火柴的一

20、堆取出2 根，留给乙（3，5） ，甲必胜 .2、 （）0国王带着1、 3、 5、 7、 9、 11六位大臣去旅游。晚上大家要去住旅馆，可只有三间房。0国王自己要住一间，剩下的两间房都能住三个人，一间是奇数房，只能住奇数；一间是质数房，只能住质数。结果六位大臣商量着竟然吵了起来。1 大臣说： “我是质数，我应该住质数房！ ”3 大臣说： “不对，你是奇数，我才应该住质数房！ ”他们闹得不可开交，最后只好请0国王来评判。可0国王一时之间也不知道该怎么安排。同学们，你们能帮助他们吗？你们能够设计几种不同的住法呢？【解析】首先，在题目里1 大臣所说的是错误的，而3大臣所说的是正确的。所有的六位大臣都可

21、以去住奇数房，但只有3、 5、 7、 11四位大臣可以住在质数房。所以，例如1 、3、9住奇数房，5、 7、 11住质数房的安排方法就是正确的。由前面的分析，1 、 9 必须住在奇数房，所以另外四个数中任何一个也住进奇数房，都是一种住法，那么一共有C41 4种不同的住法。第十一讲1、 （）若干个同样的盒子排成一排，小明把五十多个同样的棋子分装在盒中，其中只有一个盒子没有装棋子，然后他外出了。小光从每个有棋子的盒子里各拿一个棋子放在空盒内，再把盒子重新排了一下。小明回来仔细查看了一番，没有发现有人动过这些盒子和棋子。问共有多少个盒子？?【解析】原来有个空的，说明现在也有个空的；现在空的说明原来这

22、盒有1 个，当然现在也必须有个盒子有1 个；现在盒中有1 个，说明原来是2 个，当然现在也必须有个盒子有 2个；考虑 50多，所以有0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55共11个盒子。?2、 （）向阳小学有730 个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？【解析】一年最多有366 天，可看做366 个抽屉，730 个学生看做730 个苹果因为730 366 1LL 364,所以，至少有1+1=2 （个）学生的生日是同一天.第十二讲1、 （）“六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等【解析】假设共有

23、n 个小朋友到公园游玩，我们把他们看作n 个“苹果”，再把每个小朋友遇到的熟人数目看作“抽屉”，那么，n 个小朋友每人遇到的熟人数目共有以下n种可能：0, 1, 2,，n-1 .其中0的意思是指这位小朋友没有遇到熟人；而每位小朋友最多遇见n-1 个熟人，所以共有n 个“抽屉”下面分两种情况来讨论：如果在这n 个小朋友中，有一些小朋友没有遇到任何熟人，这时其他小朋友最多只能遇上n-2个熟人，这样熟人数目只有n-1种可能：0,1,2,，n-2 .这样， “苹果”数 （n 个小朋友） 超过“抽屉”数 （n-1 种熟人数目） ，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等如果在这n 个小朋友

24、中，每位小朋友都至少遇到一个熟人，这样熟人数目只有n-1种可能：1, 2, 3,，n-1 .这时，“苹果”数（n个小朋友）仍然超过“抽屉”数 （n-1 种熟人数目），根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等总之，不管这n 个小朋友各遇到多少熟人（ 包括没遇到熟人），必有两个小朋友遇到的熟人数目相等2、 （）海天小学五年级学生身高的厘米数都是整数，并且在 140厘米到 150厘米之间（包括140厘米到150厘米） ，那么，至少从多少个学生中保证能找到4个人的身高相同？【解析】陷阱：以前的题基本全是2 个人的，而这里出现4 个人，那么，就“从倍数关系选” 。认真思考，此题中应把什么看

25、作抽屉？有几个抽屉？在 140 厘米至 150 厘米之间 （包括 140 厘米到 150 厘米） 共有 11 个整厘米数，把这 11 个整厘米数看作11 个抽屉，每个抽屉中放3 个整厘米数，就要11 3 33个整厘米数，如果再取出一个整厘米数，放入相应的抽屉中，那么这个抽屉中便有4个整厘米数，也就是至少找出33+1=34 个学生，才能找到4 个人的身高相同第十三讲1、 （）有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥此桥每次只能让2个人同时通过，否则桥会倒塌过桥的人必须要用到手电筒，不然会一脚踏空只有一个手电筒4 个人的行走速度不同：小强用 1 分钟就可以过桥，中强要 2 分钟，大强要 5 分钟，

26、最慢的太强需要10 分钟 17 分钟后桥就要倒塌了请问：4 个人要用什么方法才能全部安全过桥？【解析】小强和中强先过桥，用2 分钟；再用小强把电筒送过去，用1 分钟，现在由大强跟太强一起过桥，用10 分钟，过去以后叫中强把电筒送给小强用2 分钟，最后小强与中强一起过河再用2 分钟，他们一起用时间：2 1 10 2 2 17（分钟 ），正好在桥倒塌的时候全部过河（ 时间最短过河的原则是：时间长的一起过，时间短的来回过这样保证总的时间是最短的） 2、 （）车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18， 30， 17， 25， 20 分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5 元现

27、有两名工作效率相同的修理工，怎样安排才能使得经济损失最少？ 怎样安排才能使从开始维修到维修结束历时最短？【解析】 一人修17、 20、 30，另一人修18、 25 ；最少的经济损失为：5（ 17 3 20 2 30 18 2 25） 910（元 ）3、 因为 （ 18 30 17 25 20） 2 55（分 ），经过组合，一人修需18， 17 和 20 分钟的三台，另一人修需30 和 25 分钟的两台，修复时间最短，为55 分钟第十四讲1、（2008年“迎春杯”三年级组初赛）计算：55x57-17x43=【解析】本题可以直接将两个乘积计算出来再求它们的差，但灵活采用平方差公式能 收到更好的效果

28、.原式”少仍叫一卡十抄审一百2、（2008年走美四年级初赛）1«»1 x 999999=【解析】本题可以用凑整的方法来做，也可以直接用平方差公式来做.原式=(1»00000 +1)x(1000000-1)1 .29试题1、（2008年日本小学算术奥林匹克大赛高小组初赛）计算:2W展丽DO” 刖乂皿岬一分析（法1）原式-丽比国e 叫2、计算 51.2 X8.1 + 11 X9.25 + 537 X 0.19【解析】稍着处理，题中数字就能凑整化简，原式=51.2 X 8.1 + 11 X9.25 + （ 512 + 25） X 0.19 =51.2 X 8.1 + 1

29、1 X 9.25+ 512X0.19 +25 X0.19= 51.2 X 8.1 +51.2 X 1.9 +11 X 9.25 +0.25 X 19 =51.2 X 10+ 11 X0.25 +11 X9 + 0.25 X 19= 512+0.25 X30+99 =611 + 7.5 =618.5第十五讲1、计算(1) 2003X 2001 + 111 + 2003X73+37a2 2) 412X0.81 +11 X 4+53.7X1.9【解析】(1)原式=2003X2001+ 111 + 2003X 73X 3+ (37X 3) =2003X ( 2001+73 X3) +111=2003X

30、 2220+ 111 = 40060(2)原式=41.2 X 8.1 + 11 X ( 9 + 0.25 ) + (41.2 +12.5 ) X 1.9= 41.2 X8.1 +41.2 X 1.9 +12.5 X 1.9 + 11 X 9+11 X 0.25= 41.2 X ( 8.1 +1.9 ) + (10 + 2.5) X 1.9+99+11 X0.25= 412+ 10X 1.9 +2.5 X 1.9 +99+ 11 X 0.25 =412+ 19+ 99+ ( 11 +19) X 0.25= 410+2+201 + 100 1+7.5 =537.50_4x x262、(04年希望杯

31、1试)计算4【解析】第十六讲1、（2008年“希望杯”六年级第 2试）(1 + (U2+OJK) x(0J2+0J23+012+023+034)x(OJ2 4-0_23)=分析用换元法.令1+。"。»”，（m+（m=b ,则原式沟-36川，,1 + 2 + 34-4+5 + 4+3 + 2+12、5555x5555【解析】S 1原式一仆iur “321第十七讲1、计算 I_ UI .【解析】11原式r j吗占I 帅 990 J 3 111 33 3 111 2737 1 111=X- JC =第十八讲1、（）大林和小林共有小人书不超过9本，他们各自有小人书的数目有多少种可能

32、的情况？【解析】大林和小林共有9本的话，有10种可能；共有8本的话，有9种可能， 共有0本的话，有1种可能，所以根据加法原理，一共有 10+9+3+2+1=55种 可能2、（）用100元钱购买2元、4元或8元饭票若干张，没有剩钱，共有多少不同的买法?【解析】如果买0张8元饭票，还剩100元，可以购买4元饭票的张数为025张，其余的钱全部购买2 元饭票，共有26 种买法；如果买l张8元饭票，还剩92元，可购4元饭票023张，其余的钱全部购买 2 元饭票，共有24 种不同方法；如果买2张8元饭票，还剩84元，可购4元饭票021张，其余的钱全部购买 2 元饭票，共有22 种不同方法；如果买12张8元

33、饭票，还剩4元饭票，可购4元饭票01张，其余的钱全部购买 2 元饭票，共有2 种方法总结规律，发现各类情况的方法数组成了一个公差为2，项数是13 的等差数列利用分类计数原理及等差数列求和公式求出所有方法：26+24+22+2=（26+2） X 13+2=182（种）. 共有 182 种不同的买法.第十九讲1、（）题库中有三种类型的题目，数量分别为30道、40道和45道，每次考试要从三种类型的题目中各取一道组成一张试卷问：由该题库共可组成多少种不同的试卷？（4 级）【解析】从该题库每一类试卷中分三步各选一道题，每一步分别有30、 40、 45种选法 根据乘法原理，一共有 30X40X45=540

34、00种不同的选法，所以一共可以组成54000种不同试卷2、（）五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目如果贝贝和妮妮不相邻，共有多少种不同的排法？（6 级）【解析】五位同学的排列方式共有 5X4X3X2X 1=120 （种）.如果将相邻的贝贝和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有 4X3X2X1=24（种）；因为贝贝和妮妮可以交换位置，所以贝贝和妮妮相邻的排列方式有24 X2=48（ 种 ） ；贝贝和妮妮不相邻的排列方式有120-48=72（种）第二十讲1、（）一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠M个车站（包括北京和上海），这条铁路线共需要多少种不同的车票.

35、（4级）【解析】片3皿（种）2、（）用1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个没有重复数字的四 位数？ （ 4级）【解析】这是一个从8个元素中取4个元素的排列问题，已知"=8，菽=4 ,根据排列数 公式，一共可以组成刖（个）不同的四位数.6.7试题1、（）某校举行排球单循环赛，有 12个队参加.问：共需要进行多少场 比赛？ （2级）【解析】因为比赛是单循环制的，所以，12个队中的每两个队都要进行一场比赛，并且比赛的场次只与两个队的选取有关而与两个队选出的顺序无关.所以，这是一 个在12个队中取2个队的组合问题.由组合数公式知，共需进行2x1（场）比赛.2、（）从0、0、1、2、3

36、、4、5这七个数字中，任取 3个组成三位数， 共可组成多少个不同的三位数？（这里每个数字只允许用1次，比如100、210就是可以组成的，而211就是不可以组成的）.（2008年“陈省身杯”国际青少年 数学邀请赛五年级）（4级）【解析】若三位数不含有 0,有5X3X4=60 （个），若含有一个0,有5X4X2=40个）， 若含有两个0,有5 （个），所以共有 60+40+5=105 （个）.3、（）某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23 人，有5人两个小组都参加了.这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有 多少人？【解析】已知全班总人数，从反面思考，找出参加美术或音乐小组

37、的人数，只需用全 班总人数减去这个人数，就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数.根 据包含排除法知，该班至少参加了一个小组的总人数为12+23-5=30（人）.所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是46-30=60 （人）.4、（）对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人.两 项都会的有10人，两项都不会的有9人.这个班一共有多少人？【解析】如图，用长方形表示全班人数，A圆表示会游泳的人数，B圆表示会打篮球的人数，长方形中阴影部分表示两项都不会的人数.由图中可以看出，全班人数=至少会一项的人数+两项都不会的人数，至少会 一项的人数为：20+25-10=35 （人）,全班人

38、数为：35+9=44 （人）.第二H一讲1 .有一个电子表的表面用 2个数码显示“小时”，另用2个数码显示“分”。 例如“21: 32”表示21时32分，那么这个手表从“ 10: 00”至“11: 30”之间 共有 分钟表面上显示有数码“ 2” .【解析】显示小时的数码不会出现 2,只有分钟会出现。10点到11点分别有2, 12, 20, 21, 22,，29, 32, 42, 52,共 15 次，11 点至U 11 点半有 2, 12, 20, 21, 22,29共12次，所以有27分钟。2 .袋中有3个红球，4个黄球和5个白球，小明从中任意拿出 6个球，他拿 出球的情况共有 种可能.【解析

39、】如果没拿红球，那么拿（黄、白）球的可能有（1、5）、（2、4）、（3、3）、 （4、2） 4 种.如果拿1个红球，那么拿（黄、白）球的可能有（0、5） （1、4）、（2、3）、 （3、2）、（ 4、1） 5种.如果拿2个红球，那么拿（黄、白）球的可能有（0、4）、（ 1、3）、（ 2、2） （3、1）、（4、0） 5 种如果拿3个红球，那么拿（黄、白）球的可能有（0、3）、（ 1、2）、（ 2、1）、 （ 3、0） 4 种.可见他拿出球的情况共有：4+5+5+4=18 （种）.有18种.第二十二讲1、 1、 2 、 3、 4 四个数字，从小到大排成一行，在这四个数中间，任意插入乘号（ 最少插

40、一个乘号） ，可以得到多少个不同的乘积?【解析】方法一：按插入乘号的个数进行分类：若插入一个乘号，4 个数字之间有3 个空当， 选 3 个空当中的任一空当放乘号，所以有3 种不同的插法，可以得到3 个不同的乘积，枚举如下：1 X234, 12X34, 123X4.若插入两个乘号，由于必有一个空当不放乘号，所以从3个空档中选2个空当插入乘号有3 种不同的插法，可以得到3 个不同的乘积，枚举如下：1X2X34, 1X2X3X4, 12X3X4。若插入三个乘号，则只有 1个插法，可以得到l个不同的乘积，枚举如下：1 X 2X3X4。所以，根据加法原理共有3+3+1=7种不同的乘积方法二：每个空可以放

41、入乘号可以可以不放乘号共有两种选择，在1、 2、 3、 4 这四个数中共有3个空所以共有：2X 2X2=8去掉都不放的一种情况，所以共有：8-1=7（种）选择2、 （2002 年南京少年数学智力冬令营六年级试题）今年是2002 年，把 2002年这样的年份称为“对称年”（年份的个位数字和千位数字相同，百位数字和十位数字相同）从2000 年到 2999 年之间共有（）个“对称年。【解析】2000 年到 2999 年之间的“对称年”个位为2，十位和百位数字相同，可以是0、1、2、9,共10个，所以从2000年到2999年之间共有10个“对称年”.第二十三讲1、共有 个四位数，其四个数字的乘积是质数

42、.【解析】四个数的积为质数，其中只能有1个质数，另外3个数为1 ,如U设,它可以 排成四个符合要求的四位数： H12 1121 1211 2111 0同样，11B ULS , 1117 , 也都可以排成四个符合要求的四位数，因此共有 4x4 = 16个符合要求的四位数。2、给定三种重量的祛码（每种数量都有足够多个）3kg Ittg 17kg将它们组合凑成1晔有 种不同的方法（每种祛码至少用一块。）【解析】【分析】枚举。, 1M = 17x1+11x4+3x13 ,100=17 xHllxT+3x2 100=17 x+Hlxl+3x7l«M7x2+llx3+3xll 100=17112

43、 + 3x9 一共有 6 种方法。第二十四讲（含2WWJ）的所有正整数中，它的数码和可被 5整除的数共有多少个？【解析】把。-1期中的个位去掉，得到从UT99中的一个数口，各位数字和除以5的余 数为S、1、2、3、4中的一种，之后添加个位数字使新生成的数的各位数字之和 能够整除手。不论"的各位数字之和除以$的余数是多少，个位数都有两种添加方 法，所以从"T999这2个数中各位数字之和为5的倍数的有9廷=施（个）， 减去一个° ,有1=3"（个）；从这个数中有2MB和28各位数字 之和能被5整除，所以从1到3008所有正整数中，它的数码和可被 5整除的数共

44、有 诩（个）02、在一个六边形纸片内有 .个点，以这囿个点和六变形的6个顶点为顶点的 三角形，最多能剪出个.【解析】设正六边形内有1a个点，当网T时有命个三角形，每增加一个点，就增加*个 三角形，”点最多能剪出斗"可个三角形.府=60时，可剪出124个三角形.注：设最多能剪出真个小三角形，则这些小三角形的内角和为1和陛.换一个角度看，汇聚到正六边形六个顶点处各角之和为4x18炉,故这些小三角形的内角总和为于是180nA60芯3砌°+4内即 解得aEM第二十五讲1、有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大，千位数字比百位大， 百位数字比十位数字大？【解析】由于四位数的四个

45、数位上的数的大小关系已经非常明确，而对于从09中任意选取的4个数字，它们的大小关系也是明确的，那么由这 4个数字只能组成1 个符合条件的四位数（题目中要求千位比百位大，所以千位不能为 0,本身已符合 四位数的首位不能为0的要求，所以进行选择时可以把 0包含在内），也就是说满 足条件的四位数的个数与从 09中选取4个数字的选法是一一对应的关系， 那么q* J-7 =ai0满足条件的四位数有42x2*1 个.2、数3可以用4种方法表示为一个或几个正整数的和，如 3, 1+2 , 2+1 , 问：1999表示为一个或几个正整数的和的方法有多少种？【解析】我们将1999个1写成一行，它们之间留有 19

46、98个空隙，在这些空隙处，或 者什么都不填，或者填上“ 十 ”号.例如对于数 3,上述4种和的表达方法对应： 1 1 1 , 1 + 1 1 , 1 1 + 1, 1+ 1+ 1 .可见，将1999表示成和的形式与填写 1998个空隙处的方式之间是一一对应 的关系，而每一个空隙处都有填“ 十 ”号和不填“十”号2种可能，因此1999可以表示为正整数之和的不同方法有 21998种.第二十六讲比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、

47、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。下面我们介绍另外几种方法。1. “通分子”。当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。2. 化为小数。这种方法对任意的分数都

48、适用，因此也叫万能方法。但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。3. 先约分，后比较。有时已知分数不是最简分数，可以先约分。4. 根据倒数比较大小。5. 若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。也就是说，6. 借助第三个数进行比较。有以下几种情况：（1）对于分数 m和n,若 m> k, k>n,则m>n。（2）对于分数 m和n,若 m-k>n-k ,则 m> n。前一个差比较小，所以m< n。（3）对于分数m和n,若k-mvk-n ,则m>n。注意，（2）与（3）的差别在

49、于，（2）中借助的数k小于原来的两个分数 m和n； （3）中借助 的数k大于原来的两个分数 m和n。（ 4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。新分数一定介于两个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分数小。利用这一点，当两个已知分数不容易比较大小，新分数与其中一个已知分数容易比较大小时，就 可以借助于这个新分数。均来源于:比较分数大小的方法还有很多，同学们可以在学习中不断发现总结，但无论哪种方法,“分母相同，分子大的分数大；分子相同，分母小的分数大”这一基本方法。练习11.比较下列各组分数的大小:3 q讦方 的 6661J2 «-75' tJ7迎17 1

50、5103 217答案与提示练习1第二十七讲工程问题（一）顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的内容已不仅仅是工程 方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量=工作效率X工作时间，工作时间=工作量+工作效率，工作效率=工作量+工作时间。工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数 1表示，也可工作效率指的是干工作的快慢,程量,常用分薮标例如,工程的T表示成;,工程的三分 之一赫为，其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、 秒等。工作效率的单位是一个复合单位，表示

51、成“工作量/天”，或“工作量/时”等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。1 .单独干某项工程，甲队需 100天完成，乙队需150天完成。甲、乙两队合干 50天后，剩下的 工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位 1。甲队单独干需100天，甲的工作效率是，；同理,z队虹作姆桂4,两队合千的工微i率总IflO1：i0】IX 九由江作弊二惚毂巧期二 3（1理二隹要M'I刷下围工作量题1-1由“工作时（同二二作量-二信婶新虹（I-声通力C天），作量由次理需I2 .某项工程，甲单独做需 36天完成，乙单独做需 45天完成。如果开工时甲、乙两队合做，中 途甲队退出转做新的工

52、程，那么乙队又做了18天才完成任务。问：甲队干了多少天？分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。答：甲队干了 12天。3 .单独完成某工程，甲队需 10天，乙队需15天，丙队需20天。开始三个队一起干，因工作需 要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。问：甲队实际工作了几天？6天，去掉乙、丙两队6天的工作量，剩下的是甲队干的,分析与解：乙、丙两队自始至终工作了 所以甲队实际工作了4 . 一批零件，张师傅独做 20时完成，王师傅独做 30时完成。如果两人同时做，那么完成任务 时张师傅比王师傅多做 60个零件。这批零件

53、共有多少个？分析与解：这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间，户乙。=12 （式：20再就轴啾旺趟的舞妞60-12=5 （个）.朝和立解件的徽5+看+服（付。例5 水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5时可将空池灌满，单开排水管 7时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水管1时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水1今折与味瞬蛛为单皮1门悯带可稣增加,才豚管可防晚修同用w,可使楣加"I砌置r阳麻,他内设其的本与悔悔*；心 刚要挈阐抓 谆iLi 1例6甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需60分钟，乙需40分钟。出发后5分钟，甲因忘带东西而返回出

54、发点，取东西又耽误了5分钟。甲再出发后多长时间两人相遇？分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用时间、路程、速度三 者的关系来解答。甲出发 5分钟后返回，路上耽误 10分钟，再加上取东西的 5分钟，等于比乙晚出 发15分钟。我们将题目改述一下：完成一件工作，甲需 60分钟，乙需40分钟，乙先干15分钟后, 甲、乙合干还需多少时间？由此看出，这道题应该用工程问题的解法来解答。斛。一焉也+福新12 = 15（分答：甲再出发后15分钟两人相遇。第二十八讲1.难度：请问至少出现一个数码 3,并且是3的倍数的五位数共有多少个？【解析】五位数共有90000个，其中3的倍数有30000个.可以采用排除法，首先考 虑有多少个五位数是3的倍数但不含有数码 3。首位数码有8种选择，第二、三、 四位数码都有9种选择.当前四位的数码确定后，如果它们的和除以余数为 0,则 第五位数码可以为0、6、9;如果余数为1,则第五位数码可以为 2、5、8;如果 余数为2,则第五位数码可以为1、4、7。可见只要前四位数码确定了，第五位数 码都有3种选择，所以五位数中是3的倍数但不含有数码3的数共有9 M