2.1-常数项级数的概念及性质ppt课件

1、21. 1nxxx 33332.10100100010n 1 ( 1)1xx 13 0.33333 引例：引例： 用圆内接正多边形面积逼近圆面积用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正依次作圆内接正3 2 (0,1, 2,)nn边形边形, 这个和逼近于圆的面积这个和逼近于圆的面积 A .0a1 a2 a na设设 a0 表表示示, 时时n即即012nAaaaa内接正三角形面积内接正三角形面积, ak 表示边数表示边数增加时增加的面积增加时增加的面积, 则圆内接正则圆内接正3 2n 边形面积为边形面积为无穷级数 无穷级数无穷级数常数项级数常数项级数幂级数幂级数第九章主要研究无限个量相加的问

2、题，包括主要研究无限个量相加的问题，包括无限个数和无限个函数相加的问题无限个数和无限个函数相加的问题 。常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件 第一节 第九章 1.定义：定义：给定一个数列给定一个数列123,nuuuu将各项依将各项依1nnu 即即1nnu 123 (1)nuuuu称为常数项无穷级数称为常数项无穷级数.第第 n 项项nu叫做级数的一般项叫做级数的一般项.级数的前级数的前 n 项和项和1nnkkSu 称为级数的部分和称为级数的部分和.123 nuuuu次相加所构成

3、的式子：次相加所构成的式子： 其中其中几个概念：几个概念：称称 为级数的部分和数列为级数的部分和数列.ns简记为简记为123nuuuu ,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus ,一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念无穷多个数相加的含义是什么?33331101001000103n 12345? ,limssnn 1nnu; 1sunn ns 1nnu2.级数的收敛与发散：级数的收敛与发散：ns 1nnunns limnsns12limlimlimlimnnn knnnnnssssssss 数列收敛，则它的任意子数列都收敛nnssr 21nnuu 1iinu nnr

4、lim121 ，niisuuuu nnnuuuuu3211，ssn nr )(limnnss0 nnnsslimlim显然显然nns lim1nnu 级级数数收收敛敛lim0nnr 3.级数的敛散性举例：级数的敛散性举例：nun (1)limlim2nnnn ns ns 123n 123n(1)2n n 1()2nnn aaS 111nnaa qSq 例例2. 讨论等比级数讨论等比级数 (又称几何级数又称几何级数)解：解：时时如如果果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1,11qaqqan lim0nnq lim1nnasq limnnq nnslim 收敛收敛 发散发散1 q1 q1

5、2 nnaqaqaqas1q 当当时时， nasn 发散发散1q 当当时时， nnnaqaqaqaaq20)0( a的敛散性的敛散性. 1q 当当时时，1( 1)naaaaa 111nnaa qSq lim0(1)nnqq 因而因而 nSn 为奇数为奇数n 为偶数为偶数从而从而limnnS,a0,不存在不存在 , 因此级数发散因此级数发散. 0nnaq1 q1 qnn 1)21( 1131) 1(nnn 1)23(nn 1111 首首项项其其和和为为公公比比111222 2 23 3（ ） （ ）23411113333其和为其和为1.1q 当当时时，1( 1)naaaaa 2035nnn 20

6、3933515nnn 解解nnnu 1232,3441 n已知级数为等比级数，已知级数为等比级数，,34 q公比公比, 1| q.原级数发散原级数发散解：解：，)11ln(nun )134232ln(nn 所以级数的部分和为：所以级数的部分和为：)1ln( n) 1ln(limlim nsnnn ns例例3. 1)11ln(nn， 判断级数判断级数的敛散性的敛散性.所以原级数发散所以原级数发散. 2ln 23ln 34lnnn1ln 注意：注意： 判断敛散性的方法：判断敛散性的方法： (1)找找,ns(2)求极限求极限().n ) 1(1 nnun，111 nn )211 (ns，111 n

7、1 )1(1nnn nnslim1 111.(1)nn n )3121( )4131()111( nn)111 (lim nn技巧技巧: 利用利用 “拆项相消拆项相消” 求求和和解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn例例5.)1211(21limlim nsnnn),1211(21 n,21 .21, 和和为为级级数数收收敛敛二、无穷级数的基本性质常数项级数二、无穷级数的基本性质常数项级数 函数项级数都使用）函数项级数都使用） 性质性质1. 若级数若级数1nnu 收敛于收敛于

8、s ,1,nnsu 则各项则各项乘以常数乘以常数 c 所得级数所得级数1nncu 也收敛也收敛 ,证证: 令令1,nnkkSu 那么那么1nnkkcu ,nc S limnn cs 这说明这说明1nncu 收敛收敛 , 其和为其和为 c s . limnncS 即即其和为其和为 c s .11.nnnncucu 即即结论结论: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, ,敛散性不变敛散性不变. .发散级数没有可比性11,nnnnkuu敛散性相同敛散性相同即0k 性质性质2. 设有两个收敛级数设有两个收敛级数11,nnnnsuv 则级数则级数1()nnnuv 也收敛

9、也收敛, 其和为其和为.s 证证: 令令1,nnkkSu 1,nnkkv 那那么么1()nnkkkuv nnS ()sn 这说明级数这说明级数1()nnnuv 也收敛也收敛, 其和为其和为.s 111()().nnnnnnnuvuv 即即结论结论: : 收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .说明说明:(2) 若两级数中一个收敛一个发散若两级数中一个收敛一个发散 , 那那么么1()nnnuv 必发散必发散 . 但若二级数都发散但若二级数都发散 ,1()nnnuv 不一定发散不一定发散.例如例如, 2( 1) ,nnu 取取21( 1),nnv 0nnuv而而(1) 性

10、质性质2 表明收敛级数可逐项相加或减表明收敛级数可逐项相加或减 .也说明加法也说明加法的交换律及结合律在级数收敛的条件下是成立的的交换律及结合律在级数收敛的条件下是成立的.(用反证法可证用反证法可证)即即 收敛收敛+收敛收敛=收敛，收敛收敛，收敛+发散发散=发散，发散， 发散发散+发散就不一定发散发散就不一定发散151()(1)2nnn n 1151,(1)2nnnn n 解解11114 2)()nn n由由例例 ( 知( 知11511155()()nnn nn n,211是是等等比比级级数数 nn，首首项项是是公公比比21, 121 q111211212,nn . 61521)1(51 nn

11、nn故故由性质由性质1知知性质性质3.在级数前面加上或去掉有限项在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数不会影响级数的敛散性的敛散性.证证: 将级数将级数1nnu 的前的前 k 项去掉项去掉,1k nnu 的部分和为的部分和为1nnk llu knkSS nk nS 与与数敛散性相同数敛散性相同. 当级数收敛时当级数收敛时, 其和的关系为其和的关系为.kSS 极限状况相同极限状况相同, 故新旧两级故新旧两级所得新级数所得新级数n 由由于于时，时，说明说明: (1) 收敛收敛1nnu 若若1nknu 收敛收敛(2)2(1)1aa aq aqqq 由由于于2aqaq 1aqq nn kaq 1q

12、 第一项2.级数的敛散性和前有限项没有关系级数的敛散性和前有限项没有关系. 性质性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和的和.证证: 设收敛级数设收敛级数1,nnsu 若按某一规律加括弧若按某一规律加括弧,12345()()uuuuu 则新级数的部分和序列则新级数的部分和序列 (1,2,)mm 为原级数部分和为原级数部分和序列序列 (1, 2 ,)nSn 的一个子序列的一个子序列,limlimmnmnS s 因此必有因此必有例如例如 收敛加括号后收敛加括号后收敛注意注意即收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛即收敛级数去括弧后所成的级数不一定

13、收敛. )11()11(例例如如 1111 收敛收敛 发散发散1、(逆命题不一定成立逆命题不一定成立)加括号后的级数收敛，加括号后的级数收敛，原原级数不一定收敛级数不一定收敛.例例7 7 判断级数的敛散性判断级数的敛散性: :141141131131121121解解: : 考虑加括号后的级数考虑加括号后的级数)()()(1411411311311211211111nn 12n221nn 而而发散, 从而原级数发散 .12nn 例例7 7 证明证明2111122nnssnnn 122nn .,s其其和和为为假假设设调调和和级级数数收收敛敛)lim(2nnnss 于是于是ss , 0 .级级数数发

14、发散散1111,.23n 调调和和级级数数发发散散证明证明20()nnssn 由由( (1 1) )知知，矛盾！矛盾！（1）请熟记：调和级数请熟记：调和级数11nn 是发散的是发散的 .例例5.证明调和级数证明调和级数 是发散的是发散的 .111123n 解解: 考虑加括号后的级数考虑加括号后的级数1111111(1)()()2345678 limnns 于于是是即加括弧后的级数发散即加括弧后的级数发散 , 从而原级数发散从而原级数发散 .1易易知知每每括括弧弧内内的的都都大大于于2 2请熟记：调和级数请熟记：调和级数11nn 是发散的是发散的 .111111122nnnnnnk ，发散吗？证

15、证: 1nnnuSS 1limlimlimnnnnnnuSS 0ss. 0lim nnu性质性质5：收收敛敛若若级级数数 1nnu 1nnus nnulim， 0nnaq1 q nnaqlim. 0limnnSs 由由已已知知注意：注意：1.反之不成立反之不成立( 是级数收敛的必要条件，不充分是级数收敛的必要条件，不充分)11ln(1)nn 例例如如1limln(1)0nn虽虽然然但它是发散的但它是发散的.1lim0nnnnuu 收敛故时级数发散11nn 又又如如1lim0nn 虽虽然然但它是发散的但它是发散的.lim0nnu 2.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零,则级数发散则

16、级数发散.(逆否命题逆否命题)1232341nn 例例如如： 所以是发散的所以是发散的.011lim nnn由于由于. 0lim nnu收收敛敛若若级级数数 1nnu 1111 例例如如：不存在不存在由于由于nnu lim1sin3nn 又又如如limsin0)3nn 由由于于不不存存在在( (1111(1) ,sinnnnnnn 又又如如lim0nnu 1nnu 此必要条件只能用于判定级数发散而不能判定收敛此必要条件只能用于判定级数发散而不能判定收敛.1lim0.nnnnuu 级级数数收收敛敛, ,若若则则u判断级数发散的方法判断级数发散的方法: (1)定定义义法法：limnns 不不存存在

17、在；lim3)0.(nnu (2)性性质质法法. .21().nnnn 例例 判判断断级级数数的的敛敛散散性性7 72lim()nnnn 因因为为解解2limnnnnn 120 ，21().nnnn 所所以以级级数数发发散散0.nu 实际上的速度越快，的速度越快，1nnu 收敛的可能性越大收敛的可能性越大limlnlimln11nnnnnnnn 由由于于（）1ln1nnnn 例例8 8：判断级数：判断级数 的敛散性的敛散性. .解答：解答：1limln1(1)nnn 1 1lne 0 121().2nnn 判判断断级级数数的的例例敛敛散散性性9 911 ,nn 发发散散12 ,nn 发发散散111,22nnq 而而是是公公比比的的等等比比级级数数.是是收收敛敛的的2,则则有有性性质质121().2nnn 级级数数是是发发散散的的1231nnnuuuuu nns limnns lim小结小结lim0nnu 1nnu 12nnu ， 1nnus， 1nnv 1()nnnuv .