固体物理总复习资料及答案

1、固体物理总复习题、填空题1 .原胞是的品格重复单元。对于布拉伐格子，原胞只包含一个原子。2 .在三维晶格中，对一定的波矢q,有支声学波，支光学波。3 .电子在三维周期性品格中波函数方程的解具有形式，式中在晶格平移下保持不变。4 .如果一些能量区域中，波动方程不存在具有布洛赫函数形式的解，这些能量区域称为;能带的表示有、三种图式。5 .按结构划分，晶体可分为大晶系，共布喇菲格子。6 .由完全相同的一种原子构成的格子，格子中只有一个原子，称为格子，由若干个布喇菲格子相套而成的格子，叫做格子。其原胞中有以上的原子。7 .电子占据了一个能带中的所有的状态，称该能带为;没有任何电子占据的能带，称为;导带

2、以下的第一满带，或者最上面的一个满带称为;最下面的一个空带称为;两个能带之间，不允许存在的能级宽度，称为。8 .基本对称操作包括,三种操作。9 .包含一个n重转轴和n个垂直的二重轴的点群叫o10 .在晶体中，各原子都围绕其平衡位置做简谐振动，具有相同的位相和频率，是一种最简单的振动称为。11 .具有品格周期性势场中的电子，具波动方程为012 .在自由电子近似的模型中，随位置变化小，当作来处理。13 .晶体中的电子基本上围绕原子核运动，主要受到该原子场的作用，其他原子场的作用可当作处理。这是晶体中描述电子状态的模型。14,固体可分015 .典型的晶格结构具有简立方结构，,四种结构。16 .在自由

3、电子模型中，由于周期势场的微扰，能量函数将在K=处断开，能量的突变为。17 .在紧束缚近似中，由于微扰的作用，可以用原子轨道的线性组合来描述电子共有化运动的轨道称为,表达式为018 .爱因斯坦模型建立的基础是认为所有的格波都以相同的振动,忽略了频率间的差别，没有考虑的色散关系。19 .固体物理学原胞原子都在,而结晶学原胞原子可以在顶点也可以在艮P存在于020 .晶体的五种典型的结合形式是、21 .两种不同金属接触后，费米能级高的带电，对导电有贡献的是的电子。22 .固体能带论的三个基本假设是：、O23 .费米能量与和因素有关。二、名词解释1.声子；2.;布拉伐格子；3.布里渊散射；4.能带理论

4、的基本假设.5.费米能；6,晶体的晶面；7,喇曼散射；8,近自由电子近似。9,晶体；10.布里渊散射；11.晶格；12.喇曼散射；三、简述题1 .试说明在范德瓦尔斯结合、金属性结合、离子性结合和共价结合中，哪一种或哪几种结合最可能形成绝缘体、导体和半导体。2 .什么是声子？声子与光子有什么相似之处和不同之处？3 .什么是德拜温度？它有什么物理意义？4 .试叙述原子能级与能带之间的对应关系。5 .简述Bloch定理，解释简约波矢k的物理意义，并阐述其取值原则。6 .试说明晶体结合的基本类型及其特点？7 .共价结合中为什么有“饱和性和“方向性”？8 .什么是晶体热容的爱因斯坦模型和德拜模型？比较其

5、主要结果。9 .什么是晶体振动光学支和声学支格波？它们有什么本质上的区别？10 .近自由电子模型与紧束缚模型各有何特点？它们有相同之处？11 .金属晶体的结合力是什么？一般金属晶体具有何种结构，最大配位数为多少？12 .德拜模型在低温下理论结果与实验数据符合相对较好但是仍存在偏差，其产生偏差的根源是什么？13 .原子间的排斥作用取决于什么原因？14 .在能带顶，电子的有效质量m*为什么为负值？试解释其物理意义。15 .试述固体物理学原胞和结晶学原胞的相似点和区别？16 .根据结合力的不同，晶体可分为几种类型其各自的结合力分别是什么？17 .爱因斯坦模型在低温下理论结果与实验数据存在偏差的根源是

6、什么？18 .什么是“空穴”？简述空穴的属性。四、推导题1 .对一维简单格子，按德拜模型，求出品格热容，并讨论高、低温极限。2 .对二维简单格子，按德拜模型，求出品格热容，并讨论高、低温极限。3 .推导一维单原子链的色散关系4 .推导一维双原子链的色散关系五、计算题1 .已知铝为三价金属，原子量为27,密度为2.7g/cm3,金属铝在T=0K下的费米波矢、费米能和费米速度。2 .已知电子在周期场中的势能为1U(x)=m0b-(xna),当na-bMxMna+b时2|U(x)=0,当(n-1)ab_x_na-b时其中：a=4b,8为常数。(1)画出势能曲线，并求出其平均值；(2)用近自由电子模型

7、求出此晶体的第1及第2个禁带宽度。3.用紧束缚模型，试求解(1)面心立方点阵s态电子的紧束缚能带；(2)证明在k=0附近等能面刎为.华净面，并计算有效质量m.其中：Es(k)=Es*Cs-Je中的E：t,Cs,J均为已知，且在k=0一.一.1411附近时，即ka1时，coskxa电1(kxa)2224.在一维复式格子中，如果m=5M1.67M10kg,M=4,P=15N，m,计算:m1)光学波频率的最大值0max和最小值0：in,声学波频率的最大值0Aax；2)相应声子的能量Emax、Emin和EAax；3)(20分)1一coska-cos2ka8如果用电磁波激发光学波，要激发8:x的声子所用

8、的电磁波波长在什么波5.已知半导体GaAs具有闪锌矿结构，Ga和As两原子的最近距离d=2.45X10-1m。试求：(1)品格常数；(2)固体物理学原胞基矢和倒格子基矢；(3)密勒指数为(110)晶面族的面间距；(4)密勒指数为(110)和(171)晶面法向方向间的夹角3. 试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。七、说明题1 .原子结合成晶体时，原子的价电子产生重新分布，从而产生不同的结合力，试分析说明离子性、共价性、金属性和范德瓦耳斯性结合力的特点。2 .布洛赫电子论作了哪些基本近似？它与金属自由电子论相比有哪些改进？固体物理总复习题答案一、填空题1.最小；12.3;3n33.中）=

9、811只）；uHr）4.禁带（带隙）；扩展能区图式法；简约布里渊区图式法；周期性能区图式法5.7;146.布喇菲；复式；两个7.满带；空带；价带；导带；带隙8.平移；旋转；反演229.双面群10.简正振动11.V2+V（r）卅（r）=EV（r）12.周期势2m场；微扰13.微扰；紧束缚14.晶体；非晶体；准晶体15.体心立方；面心立国方；六角密排16.K=-n；2Vn17.原子轨道线性组合法；a5（F）=am?（F-Rm）18.频率；格波m19.顶点；面心、体心；20.离子结合；共价结合；金属结合；范德瓦尔斯结合；氢键结合21.正；费米面附近22.绝热近似；单电子近似；周期场近似23.电子密度

10、；温度二、名词解释1 .晶格振动中格波的能量量子。每个振动模式的能量均以坛为单位，能量递增为-整数倍一一声子的能量，一个格波就是一个振动模式，对应一种声子。2 .由11aa2+l3-确定的空间格子。3 .当光与声学波相互作用，散射光的频率移动很小，大约在107-3父1010赫，称为布里渊散射。4 .(1)绝热近似：将固体分开为电子系统及离子实系统的一种近似方法；(2)单电子近似(自洽场近似)：利用哈特里一一福克方法将多电子问题归结为单电子问题；(3)周期场近似：假定单电子势场具有与品格同样的平移对称性。5 .电子按泡利不相容原理，能量从低至高填充，所达到的最高能级。6 .在布拉伐格子中作一族平

11、行的平面，这些相互平行、等间距的平面可以将所有的格点包括无遗，这些相互平行的平面称为晶体的晶面。7 .当光与光学波相互作用，频率移动大约在3父1010-3父1013赫，称为喇曼散射。8 .假定周期场的起伏比较小，作为零级近似，可以用势场的平均值V代替V(x),把周期起伏V(x)V】做为微扰来处理。9 .晶体是由完全相同的原子、分子或原子团在空间有规则地周期性排列构成的固体材料。10 .当光与声学波相互作用，散射光的频率移动很小，大约在107-3父1010赫，称为布里渊散射。11 .晶体中的原子是规则排列的，用几组平行直线连接晶体中原子形成的网络，称为品格。12 .当光与光学波相互作用，频率移动

12、大约在3M1010-3父1013赫，称为喇曼散射。三、简述题1 .试说明在范德瓦尔斯结合、金属性结合、离子性结合和共价结合中，哪一种或哪几种结合最可能形成绝缘体、导体和半导体。答：离子晶体主要依靠正负离子之间的静电库仑力而结合，结合力较强，结构甚为稳定，结合能较大，因此，导电性能差，这种结合可能形成半导体和绝缘体。共价结合的晶体为原子晶体，是由两原子之间一对自旋相反的共有化电子形成的，具结合力较强，导电性能差，这种结合可能形成半导体和绝缘体。金属性结合的晶体，原子失去价电子而成为离子实，价电子为全体离子实所共有，金属性结合就是价电子与离子实之间的相互作用而形成的，结合能较小，易形成导体。范德瓦

13、尔斯结合的晶体为分子晶体，这种结合是一种弱的结合，电离能大，易形成绝缘体。2 .什么是声子？声子与光子有什么相似之处和不同之处？答：品格振动的能量是量子化的，把晶格振动能量的量子称为声子。声子与光子相类似，凡是应用到光子上的理论，几乎都可以应用到声子上，相同之处是它们都是波色子，碰撞过程中能够被产生、或被消灭，能量的交换是一份一份的，即能量是量子化的。不同之处是声子只代表振动的机械状态，而不具有动量。光子可以在真空中传播，而声子只能在介质中传播。3 .什么是德拜温度？它有什么物理意义？答：德拜弹性波模型的截止频率m按/关系式换算得到的温度Od称为德kB拜温度。热容量的特征完全由德拜温度确定，它

14、近似地代表经典比热理论适用的高温范围同低温适用的低温范围的分界温度。可以粗略地指示出品格振动频率的数量级。4 .试叙述原子能级与能带之间的对应关系。答：原子能级与能带之间存在着两种对应关系，一是简单的对应，原子的各不同能级在固体中将产生一系列相应的能带，低能级的能带较窄，高能级的能带较宽。二是在形成晶体的过程中，不同原子态之间有可能相互混和，使对应关系变的比较复杂，可认为主要是由几个能级相近的原子态相互结合而形成能带，能带发生了明显的重叠。5 .简述Bloch定理，解释简约波矢k的物理意义，并阐述其取值原则。答：在晶体周期性势场中运动的电子的波函数是按品格周期调幅的平面波，即电子的波函数具有如

15、下形式k(r)=eikrk()(r)一k(rRn)其中k为电子的波矢，Rn为格矢，上述理论称为布洛赫定理。平移算符和能量算符是对易算符，具有相同的本征态，为了使平移算符在波矢k的某个范围内，一个本征值对应于一个波函数，我们把波矢限制在-k,-i范围内，这一区域称为简约布里渊区。在此范围内的波矢，我们m,复式格子中不同原子振动的振幅一般来说是不同的。将2n=Aei!-l-2naqlj2n1,Bei-t_2n1aq带回到运动方程得到：-m2A=：(eiaqe间)B-2一：A=(2-：-m2)A-(21cosaq)B=0-M2B=：(eiaqe时)A2一：B=-(2cosaq)A(21一M2)B=0

16、若A、B有非零的解，系数行列式满足：2P-m2-2Pcosaq一=0-20cosaq2B-M2(mM)4mM.2,1/2,1一1一2sinaqmM(mM)2,，2=.(mM)4mM.2,1/2,一11一(7s1naq一：1-1mM4mM.21/2,2sinaq(mM)2五、计算题1解：由题设可得金属铝的电子浓度为：2.723233293n=3(6.0210)=1.810(cm)=1.810(m)KF二(3二2n)1/3二(3二21.81029)1/3=1.751010(m,)34102(1.0546101.7510)182mKf-T1-=1.8710J=11.7ev29.1110(1.0546

17、10,41.751010)6,312.0310m/s9.11102 .解：(1)该周期场的势能曲线如下所示:bi-7b-5b-b其势能平均值为:-beU(x)dxU-U一dxU(x)dx工bbdxJ3bU12.2mb21222-m(b-x)dx424b3b12,2=一mb6-JA5bx(2)根据近自由电子模型，此晶体的第1及第2个禁带宽度为E1=25E=2U2其中U1和U2表示周期场U(x)的展开成傅立叶级数的第一和第二个傅立叶系数。于是有b1.b1.2.2U11-i2-4b14b12224mb=e4bu()d=e4bm(b-)d=44b4bh2二3U2-i-2.4bU()d4b*2,2.2T

18、24b1.222mb4bm，(b)d=222二故此晶体的第1及第2个禁带宽度为E1=2U1一228m.b3JIEE2=2U22,2m.b2冗3 .解：（1）利用紧束缚模型计算能带Es（k）=Es+Cs-Je，对Rn于面心立方点阵，S态电子波函数来说，交迭积分相等，原点的最近邻位aaa八R=2（土1,1,0）,q（士1,0,土1）,q（0,土1,1）（3分）将最近邻的12个格点的格矢代入公式：近邻TTEs(k)=E：CsJeikRn三E：Cs-4J(cos1kxacos；kya1 ,1,1,1,、cos-kvacos-kzacos-kzacos-kxa)2 y2z2z2x（2）在k2.45M10

19、,0m=5.59M100m.3:3(2)由于GaAs的空间点阵为面心立方结构，故其固体物理学原胞基矢为:a1=a(j+k)=2.795M10,0(j+k)a2=a(k+i)=2.795父10,(k+i)a3=|(i+j)=2.795x100(i+j)其倒格子基矢为:2iio=一(ijk)=1.12410(-ijk)a2.io=Ji-jk)=1.12410(i-jk)a2二0(ijk)=1.12410,(ij-k)a(3)密勒指数为(110)晶面族的面间距为:d1102二2二Kiio|1b1+1b2+0b3a_-40=a=2.79510m2(4)根据倒格子矢的性质可知，密勒指数为(110)和(1

20、11)晶面法向方向间的夹角即为倒格子矢Kno和K俏之间的夹角，设为a,则有:KnoKm(1b11b20b3)(1b11b2-1b3)a=arccos=Kno|K印|1b1+1b2+0b31|1b1b2+1b3=arccos(-0.3015)=107.556.解(1)dES=0dk在2r1,-2asinka十一(-2apin2kai=0ma8Jsinka-sin2ka=04.,1.,csinka-sinkacoska=02sinka=0k=0,n/aEmin二0-271一当k=0,Ek2-10，ma88有2r71、2皑2把当/a，E（k）二看8卜高，Emax=高能带宽度:E=Emax-Emin2

21、22ma(2)V4Ek若ma2aasinka-sin2ka4hma1.sinka-sin2ka47.解：（1）根据紧束缚模型，Esks-A-JsveikR1nS带的能量：Rn为最近邻格点对体心立方，最近邻的原子有8个，即a-,-,-222代入上式，有：&kyakza222kx.kya，&a-iLa&a&a22+e22+e，苧j+e，J4aAa.aj+e：+eHii；s一A-2Jscos-kxakyakzacos-kxakyakza1 .1.1coskxa-kvak7acoskxakvak7a12 xyz2xyzAC.cl,1.ci,1,-A-2Js2coskyakzacos-kxa2cos-k

22、xacoskyakzaIL.2y222y11一A-8Jscoskxacoskyacos22y(2)根据Esk=；s-A-8JScos-kxacos2ikyakza在kx=ky=kz=0即F(0,0,0)处,Es(k)最小为能带底E，n=；s-A-8Js,，2n一.在H,0,0处,Es(k)最大aJ为能带顶E：ax=；s-A8JsEk=4Jsasin:kxkxaicos2JkyacoskaF2Ek=2Jsa2cosikxa7kkya,icos!cosI2)V2)kxa在带底T(0,0,0)处,有*mxx-2-2-E/fk；2Jsa2*mxy一2：2E/Fkxfky*myy*二mzz二mxx-22

23、Jsa2mvz=mxz-二yzxz在带顶H2元,0,0*mxx-2lE/fk：-22Jsa2*mxy-2*myy*=m=mzzxx-22J7*myz*一二mxz二.六、证明题1 .证明：倒格子基矢为:aoaa&aaaob=2n3;b2=2n一-E/.kx-ky一-b3=2n2-aia2a3aia2a3aia2a3倒格子体积：V；=b,(b2b3)=(2二)3a3)缸a)(aia?)ABC=(AC)B-(AB)C(a3ai)(a1a2)=(a3ai)a2ai-(a3ai)aia2=Vca1Vc*二翳(a2a3)aiVc二cc2 .证明：离原点最近的晶面如下图所示:ABC是晶面族(hih2h3)离

24、原点最近的晶面,TT:KhAC=(h1b1a2aia2al_KhAB=(h1blh2b2h3b3)(，-=2二27=0h2hia3al_h2b2h3b3)(-二2弘-2二二0h3hi所以Kh=hibi+h2b2+h3b3与晶面ABC正交，也即与晶面指数为(hih2h3)的晶面族正交。ai=(-ijk)3.证明：我们知体心立方格子的基矢为:2aa2-2(i-jk)aa3=5(1j-k)根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为:(b2b32二a2a3Q2二a3a1Q2二aia2其中7a3(ij)由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。ai=|(j+k)面心立方格子的基矢为：a2=a(k+i)a3=a(i+j)2倒格子基矢为:bi4b2b32&a2a3Q2二a3a1Q2二aia22二(-ijk)a(i-jk)(ij-k)由此可知，面