正态分布原理

1、正态分布(一)正态分布正态分布的概率密度如果连续型随机变量的概率密度为/(X)-1g知v2jra-,(4.29)其中-8<Q<+C0,仃>I,则称随机变量服从参数为，的正态分布，记作正态分布的数学期望和方差E寸D(=j3正态分布的图形有如下性质1 .它是一条以直线工二口为对称轴的钟形曲线;2 .它以横轴为渐近线，并且在工土仃处有拐点;3 .它在工，户处取得最大值，最大值为:由此可见，标准差越大，网的图形就越平缓，标准差越小，网的图形就越陡峭。正态分布的分布函数dt(4.30),"00<l<+CD(二)标准正态分布标准正态分布的概率密度参数#=,病=1的正

2、态分布，称为标准正态分布，记为。标准正态分布的概率密度通常用MD表示，400=4中丁(4.31)图4.12标准正态分布概率密度函数标准正态分布的分布函数标准正态分布的分布函数通常用式a表示,由=也出7出岳J,-oo<j<+oo(4.32)岳,-«<!<+«图4.13标准正态分布函数标准正态分布函数表对于非负的实数，可由标准正态分布函数表，直接查出0(力的数值。对于负的实数，根据标准正态分布的对称性，可由下式1；-：(4.33)计算出数值。标准正态分布分位数设随机变量服从标准正态分布，对于给定的概率水平评愣<1),满足等式P(|X|<y=f

3、?A=l-a(4.34)的正数，称为标准正态分布的水平的双侧分位数；满足等式(4.35)?X<%加=1-1的正数，称为标准正态分布的水平的上侧分位数。一ctf2-ci/2图4.14正态分布双侧分位数例4.21假设E。），求下列概率：1,刀四）；2,凡公-1）;3.也21%4,年2T幼。解1 .2 .二，7：”二】；一3 .一I：1二一：二一，4 .；一二P二-二1=22）-1=2x0.9772-1=19544（三）正态分布与标准正态分布的关系如果"见"）,则立豆W1）汀于是，在正态分布与标准正态分布的概率密度/和楙）、分布函数网到和火工）之间存在下列关系式：加)=与日

4、1. bICT，(4.(36)2. 1一(4.37)不"口)=抑网口)=0依31-由仕33. J<4.8(4.38)这就是说，计算任一正态分布随机变量的概率都能通过标准正态分布来实Bo例4.22设XN(4,4),求下列概率：1 .2 .二一X-4解因为丫M(4,4),所以“(0)。(6-4、P(YM6)=9(6)=9-=<P(l)=0.84131. 12JP"2MJfW6)=网6)-网-2)=©4>=4>Cl)-4>C-3)2. 12)12)=0.8413-(1-|.3987)=0.8413-0.0013=0,8400例4.23设丫械

5、从仃)，求下列概率：1.”：2 .必3 .必-解1.'b):口，飘-1)=加-1=2x08413-1=46眈2.3.XJICTJ=。-氮-2)=加(2)-1口师2-1=0,9544CT7CT7=(P(3)-3)=2(P(3)-1=2x03987-1=0.5974从上面的结果可以看出，事件|万川3仃)的概率很小，因此的取值几乎全部落在区间(/-3，/+3仃)内，超出这个范围的可能性还不到0.3%o这就是在产品质量控制中有重要应用的准则。(四)正态分布的应用正态分布在概率论和统计学的研究及应用中具有极其重要的作用，它在各种概率分布中居首要地位，是抽样和抽样分布的理论基础。这是因为：1 .客

6、观世界的许多现象都可以利用正态分布来近似地描述其统计规律性。例如，人的身高和体重，电子产品的使用寿命，原材料的物理特性，各种各样的测量误差都可以看作是具有“两头小，中间大”分布特征的随机变量。具有这种特征的随机变量，一般可以认为是近似服从正态分布的。2 .正态分布是许多重要分布的极限分布。例如可以用正态分布来近似二项分布。3 .正态分布在统计推断中有重要的应用。例如分布，分布和分布都是服从正态分布的随机变量的函数。二项分布的正态近似德莫佛一拉普拉斯定理设随机变量服从参数为,的二项分布回拈P),|那么，当充分大时，近似服从参数为六碑,仃二叩(1-")的正态分布X-npN(wMl-p)。也就是说，当充分大时，加。7)近似服从标准正态分布在实际应用中，除要求比较大外，还要求。斗4。9,物25和心吩5。例4.24假设产品的优质品率为30%。试求在1000件产品中，优质品件数在280件和350件之间的概率。解设表示在1000件产品中优质品的件数，则服从参数为M=10DLI,好口的二项分布用10汕03）