泛函分析习题标准答案

1、第二章度量空间作业题答案提示1、 试问在R上，P(x,y)=(xyj能定义度量吗？答：不能，因为三角不等式不成立。如取x=L则有P(x,y)=4,而P(x,z)=1,P(z,x)=12、试证明：(1)P(1x,y)=x-yp；(2)Pg尸中在R上都定义了度量。证：(1)仅证明三角不等式。注意到x-y<|x-z+z-y<xz2+z12y|2故有x-y|2<x-zp+z-y(2)仅证明三角不等式易证函数中(x尸上在R+上是单调增加的，1x所以有中(|a+b产邛(a|+|b)，从而有a+IbIl+lIaII+blIab1十|a+|b+|1+|a+111bliab令Vx,y,zwR，

2、令a=zx,b=yz即y-xLJz-xL+y-z_1+|y-x|1+|zx|1+|y-z|4.试证明在C1a,b上，P(x,y)=jx(t)y(t)dt(2.3.12)定义了度量。证：(1)P(x,y)=0u|x(t)-y(t)三0(因为x,y是连续函数)P(x,y)“及P(x,y)=P(y,x)显然成立。b(2)：(x,y)=a|x(t)-y(t)|dtm:l.x(t)-z(t)|dtz(t)-y(t)|dtbbMa|x(t)-z(t)|dt+jz(t)y(t)|dt一；(x,z)：(z,y)5.试由Cauchy-Schwarz不等式证明2n<n2xi证:Z|xi|I<Z冈2工1

3、2=nZ8.试证明下列各式都在度量空间(R,R)和(Ri,R2)的Descartes积R=RiMR2上定义了度量(1)P=f>1+P2；(2)=(Pi2+P|)1/2；(3)=maxi,P?证：仅证三角不等式。(1)略。(2)设x=(x1x2),y=(yy2)亡Rm0,则1¥(x,y)=；(x,yi)"(x2,y2)i1<-Pi2(Xi,zi)+Pi2(Zi,yi)2+LPl(X2,z2)+P|(z2,y2)fr1i工R2(Xi,4)+R2(Zi,yi)2+P；(X2,Z2)+P；(z2,y2)Fiii=W(x,z)+*z,y)!iZA+l21<lZ

4、63;ni2gJgJSJIJ(3)机x,y)=maxR(Xi,%),巳小E)_maxI(Xi,zi)：i(乙，yj:2(X222)七2：?)_max：i(xi,zi)：i(zi,yi)max七(X2,)：2(X2,z2)=$(x,z)T(z,y)9、试问在Ca,b上的B(%;i)是什么？Ca,b上图像以x。为中心铅直高为2的开带中的连续函数的集合。i。、试考虑C0,2叫并确定使得ywB(x,r)的最小r,其中x=sint,y=cost。P(x,y)=supsint-cost=sup近sin(t-)=近0,2皿同,2JU411.试证明在离散度量空间中，每个子集既是开的又是闭的设A是离散度量空间X

5、的任一子集。1一一VaWA,开球B(a，5)=auA,故A事开集。同样道理，知AC是开的，故A=(AC)C又是闭集。12 .设是MUR的聚点，试证明X。的任何邻域都含有M的无限多个点。证：略。13 .(1)若度量空间R中的序列仅是收敛的，弁且有极限x,试证明小的每个子序列加都是收敛的，弁且有同一极限。(2)若Xn是Cauchy序列，弁且存在收敛的子序列%,x,试证明Xn也是收敛的，弁且有同一极限。（1）略（2）寸"三N,当m,nkN时，有P（Xm,Xnkl）；2,P（%ki，x）2（Xn是Cauchy序列且XnkTX）因止匕，当mN时，P（Xm，X）P（Xm，Xnk|）+P（Xnk1

6、,X）+=Z18 .试证明：Cauchy序列是有界的.证明：若板是Cauchy序列，则存在“(),使得对于一切n>n0,有P(Xn,Xn0)<1,因此，对于一切n,有:Xn，Xn0£max；1,：Xi，Xn0，浮毛。，%：'19 .若仅和yn都是度量空间X中的Cauchy列,试证明：Pn=P(Xn,yn)是收敛的。证：根据三角不等式，有:n"'："：'：Xn,yn-：4,Xm广：Xm,ym厂了I：Ym,Yn二叮Xn,Xm.:m.:Vm,Vn故，:n-?m-：Xn,Xm厂人Ye，¥n同样有：m-：nM：Xn，Xm：丫由，

7、1即：|Pn-Pm«叫Xn，Xm-加，丫口修0而R是完备的，则叩是收敛的。34.若X是紧度量空间，弁且MUX是闭的，试证明M也是紧的。证明：因为X是紧的，故M中任一序列4有一个在Xn中收敛的子序列“nJ。不妨设LnjTXWX,则有XM。又因M是闭的，所以XWM,因此M是紧的。第三章线性空间和赋范线性空间10.试证明下列都是Rn上的范数1n(n2W(1)X1=£Xi；X2=|x；(3)xmaxx；ygJ-i/1飞n2X=z冈2是范数吗？i注IJ(1)、(2)和(3)的证明略f12n9X=2冈不是范数，不满足三角不等式。i42以“为例，令X=(1,0)y=(0,1)则X=y=1

8、,X+y=413.试证明(1)C、C。和1。都是严的线性空间，其中C是收敛数列集；C。是收敛数列0的数列集；1。是只有有限个元素的数列集。(2) C0还是10c的闭子空间，从而是完备的。(3) 10不是严的闭子空间。证明：(2)设X=(X1,X2,.户C0,Xn=(X1(n)X”.),使得XnTXry则有任意的8>0,四使得对于一切j,£当n>N,时有也2,又因为匕所以女，当1>此时从而有X.<-Xj+X/<sup尤kX于是tOOtoo),故在Cooo14 .试证在赋范线性空间X中，级数月二1的收敛性，弁不蕴含00级数打=1的收敛性。严=&(叫(

9、OiWn1fi-nn则人一尸8,且|ynl=supy*=5n0000£|y=E吃于是，A1n二1几收敛00但,15 .设X是赋范线性空间，若级数的绝对收敛性蕴含着级数的收敛性，则'是完备的。证：设Xn是X中1任一Cauchy列，则寸kN,三nk,s.t.当日门町时,ISn-Sml<2"。而且对一切的k,可选取nkHr>nk,从而Snk是Sn的一个子列,弁且令X尸Sm,Xk=Sn-Snk,则S冰是级数工Xk的部分和序列，从而qQqQRXk|=S|Sk-Skll+|X1|=11X111+£2，"=Xi|+1kz?k】于是工Xk绝对收敛，故

10、工Xk收敛。不妨设SnkTSeX,由于Xn是Cauchy列，故IS-S|<|Sn-Snk|+|Snk-SH0又由于Sn是任意的，故证明X是完备的。17.设（X,*1）和（X,卜2）是赋范线性空间，试证明其Descarts积X=X*X2在定义范数|X|=maxXi1,x22后也成为赋范线性空间。证：（1）x|=0uXi|1=1X2|2=0X=（0,0）=O（2）|aX|=maxQX11,|"22=WmaxXn,x/一4|x（3）设X=（XX2）,y=（y-丫2）,则x+y=maxx1+丫11d2+丫22-maxX11+y11,x22+y22-maxx11,x22+maxy11,y

11、22=x+y20.（1）若和。是X上任意两个等价范数，试证明（X,）和（X,卜。）中的Cauthy序列相同（2）试证明习题10中的三个范数等价证：设X6是（X,卜）中的任一Cauthy序列，即vs>0,bn当n,m>N寸，xn-xm|<8由于,和，0是X上任意两个等价范数，所以存在正数a,b使a|w°Mb（*）于是当n_m>N寸，有Xn-xm0bxnXm<b即Xn是（X,卜。）中的Cauthy序列。反之，若Xn是（X"0）中的Cauthy序列，则由（*）左边不等式，可证x0是（X,卜）中的Cauthy序列。（2）Rn是有限维赋范线性空间，其上的

12、范数都是等价的。20(2)的直接证明：证明在中,范数小"和'等价，其中nn1Xi=£x|;lx2=(£x%；|x.=maxxii=1i=1i1证1-IxiT-maxIxil,，二X0clMX2'Vn|x0cl，故"和K等价。2由Cauchy-Schwart不等式，得，nn21n-n2-ZXi<(Z|x)2(Z1)2="(£凶)2i1i1i4i1故有x1<Vn|x2n1n1再有凡=(£Xi2)HxJ)2a=Xii4i1我们得-|x1<X2<|/1故卜1与七等价29.若T：D(T)tY是可

13、逆的线性算子，xi,xn是线性无关的,试正明Txi,.,Txn也是线性无关的.证：若存在入1,.,入nG中且不全为零，使得1口.nTxn=0,则由于T存在且为线性的，故1T1Txi-.'/nTxn=1x1-/"nTxn=0,与x1,.,xn线性无关矛盾。32 .若T#9是有界性算子，试证明对满足x<1的任意xwD(T),都有TxcT.思路：由TxMT|x即证结论。33 .设T：一使得Tx=：x1,迄.；试证明TWBl力22)证：设x=(x1,x2,.,xn,.),y=(y1,y2,.,yn,.),则T：1x：=TMX12y二2乂，二1X212y2，.，:1Xn二2yn，

14、.x2y2:1X1:2y1):1:222x2X1,12T|=supn7nnSUP4n从而T是线性算子.所以"百产产)且T<1.进一步可以证明一=1.37 .设T:C1b,1k010,1】,使得Tx(t尸J：x(T/,心0,1.(1)试求R(T)和T:R(T)tC110,11;(2)试问twb(r(t)Cb,11)吗?(1) R(T)是满足y(0)=0且在0,1上连续可微分的函数构成的0,11的子空间，且T4y=y't,tl0,11o(2) T是线性的，但是无界的。事实上，(tn)'=ntn'蕴含着T|所138 .在C0,1上分别定义SxCtLtJWTds

15、和Tx(t)=tx(t)(1)试问S和T是可交换的吗？(2)试求Sx,Tx,|STx和TSx修改|S|,T|,ST,|TS1(1) ST(x)=S(tx(t)=t。sx(s)ds,121TS(x)=T(t0x(s)ds)=t2ox(s)ds,故ST#TS,S和T不是可交换的。(2) SxM1。xds=x,所以S<1令x三1,t0,1贝fj1=|sxws|x|=s于是S=1类似可求：'T|=1,ST,=1，TS=1。39.在X=B(R)上定义范数|x=supxt(),弁设T：XTX使得t三RTx(t)=x(+t)其中T>o试证明TWB(X,X)。证：Vx,ywX,贝fjT(o

16、(1x+a2y)=a1x(t-t)+a2y(t-)=a1Tx+口2Ty,即T是线性算子Tx=supx(tT)=supx(t)=x,t三rtErt|=140、证明下列在Ch,b1上定义的泛函是有界线性泛函：(1) f1(x)=(bxDy。)%,y/ckb固定；(2) f2(x)>x(a)：x(b),：,:R固定证：(1)线性性略令B=maxy0(t)=y。，贝u有fJx)m：Bxdx=B(b-a)x,故有fi<B(b-a)略41、设C1L1,11上的线性泛函f定义为01f(x)=J_Lx(t)dt-(x(t)dt,试求f解：rC11-1,11,01f(x)Ex|(Ldt+J0dt)=2x,所以|f|<2,1取x(t)=tn,n为正奇数，twI-1,1则x=1,o11111丁12nf(x=ftndt-ftndt=2ftndt=2=卫-<f0°1n+1I十一n由于sup3-=2,故f>2.n+1综上所述,f|=2。44.(1)在-1,1上定义x=出月,心十阳)了'0),试证明I是C1-1,1中的范数。(2)试证明f(x尸x'(c)c=W在DlaM上定义了有界线性泛函。2J(3)试证明视hb】为bb】的子空间时，上面定义的f不再是有界的。证：（1）仅证三角不等式III小小II7、'/,、.Ix+y