基于Retinex理论的偏微分形式专业英语

1、 基于Retinex理论的偏微分形式Jean Michel Morel, Ana Belen Petro, and Catalina Sbert摘要1964年，Edwin H.Land 提出了Retinex理论，第一次尝试模拟和解释人类视觉系统如何感知颜色。Land和McCann1进一步完善了他的理论并进行了扩展，进而提出了“Reset Retinex”。由于几种Retinex算法的发展，在照明方面，这些颜色常量算法在每个像素点上修改RGB值，不带有先验信息估计色感。不过，Land-Mccann最初的Retinex算法既复杂又不能完全确定，事实上，这种算法在每个像素上平均都有一个相当大的图像集

2、路径。在本文中，已经证明假定路径是随机对称的，Retinex解决方案满足离散泊松方程。这种形式仅仅使用快速傅里叶变换就能快速并精确的生成，在彩色图像上的一些实验验证了Retinex最初理论的有效性。索引词色觉、FFT、PDE、Retinex理论、随即积分。一、 引言关于感觉的主要解释是对于物体的物理反射和人类视觉系统对于颜色感知的差异化。人类视觉系统是由眼睛、视网膜和视觉大脑皮层组成的，它处理光子进入眼睛的过程。颜色识别是在大脑皮层的V4区域，处理的结果就是色感，它仅仅只能通过人类视觉系统感知，而不能被直接测量。色感不能直接与感知信号的光谱特征相关联。令人费解的是人类视觉系统的色彩不变特性，即

3、不考虑光照状况就能确定物体颜色的能力。人类和机器的色彩不变特性是不同的概念，关于人类色觉著名的描述是：它依赖于像整体光照的变化和场景中所有细节的数量这类因素。对人类视觉系统性质的深入研究可以推断出人类的色感几乎不受环境的影响。入射光线被物体反射形成光波，这种反射出的光波就定义成物体的颜色。机器色觉识别的目标就是确定这种反射，而不受环境的影响而变化。其目标和人类视觉系统识别物体还有所不同，然而，正如我们所看到的一样，当这些不同的理论偏微分化后，其结果竟是十分相似。Land和Mccann的Retinex理论是第一个尝试基于使用蒙德里安模式模仿和解释人类视觉系统是如何感知颜色的。在初期结果，Land

4、假定有三个相互独立的接收器存在，并且对三个接收器的输出颜色进行比较，他把Retinex系统和Retinex理论实现的目标描述为通过人类视觉系统对颜色的识别来复制这种感知反应。这是由视网膜和大脑皮层组成的新词，事实上，Land假定Retinex包含视网膜和大脑皮层的结构和功能，Land的Retinex理论是第一个解释和模仿色觉的计算模型。Land提出三个有关Retinex理论表述：（1）、光中的一些成分从图像的一个区域穿过，则不能确定该区域的颜色。（2）、一个单位区域的颜色是通过在一个波段的三原色的计算结果确定的，实质上是描述同一波段一个区域与场景中其他区域的关系。（3）、Retinex算法（第

5、二节中有描述）。过去四十年，针对Retinex模型有广泛的应用、改进和研讨。Retinex算法已经被作为色彩常量算法被一些作者引用。Provenzi提到“对在论文中的所有不同的Retinex实现的空间域属性都很有兴趣。”由于实际实现的复杂计算和较为依赖于各自的参数，使得这种对比是一个具有挑战的任务。Hurlbert试图通过以明度算法为基础提出一个新的灰度方程的公式来阐明和确认明度问题。但她没有证明不同明度公式将被派生的问题。在本文中，最初的Retinex算法将作为一个（离散）偏微分方程。更确切的说，如果Retinex路径被解释为对称的随机路径，Retinex将等同于一个线性泊松方程的纽曼问题。

6、这个结果让快速算法仅仅涉及一个参数，同样也在最初的理论中出现。获得的泊松方程的证明和Hom和Blake的方程非常相似，他们提出的Retinex的替代算法。以我们所掌握的知识，对这三种模型的很高相似性还无法解释。Retinex PDE也证明了在Perez et al.中提到的“泊松组合”的方程。我们可以直接引用这些作者的文献：首先，由著名的心理学家Land和McCann提出的由拉普拉斯算子抑制的低强度梯度可以被叠加在图像上而没有明显的影响。相反，通过拉普拉斯算子提取的二阶变化是最重要的感知。第二，一个在有界区域的标量函数是通过它的边界值和内部的拉普拉斯算子唯一确定的。因此，泊松方程有唯一的解决方

7、案和它产生的声音算法。本文的结构如下：下一节我们介绍最初的Retinex算法和它修改后的复位Retinex算法。第三节简要的介绍几种类型的Retinex的实现。第四节详细介绍等价Retinex算法和Retinex的人类视觉系统。“极值Retinex”路径是以图像的极值开始考虑的。第四节的最后一部分主要介绍快速傅里叶变换。第五节通过显示的结果证实了Land的方法根据不同的参数对感知的影响，这些实验似乎符合Retinex的初始范围并且证实了几种颜色的构想。二、 最初的Retinex算法基本的Retinex模型是基于人类视觉系统的一种假定。人类视觉系统控制着三个视网膜皮质系统，每一个独立地处理低、中

8、、高频率的可见光谱，每一个系统通过人类视觉系统对颜色感知的叠加产生一个亮度值。在数字RGB图像上，亮度值是由（LR,LG,LB）三通道的值确定的。（一）、变化的RetinexLand和McCann通过实验观察到边缘是图像的主要不变特征，因此，主要的信息资源是获得色彩的恒常量。他们同时也认识到两个相邻点的亮度比阈值就是边缘，通过非均匀光照导致亮度值的渐变。因此，获得图像的亮度值可以归结为在亮度比例上处理整个图像。对于在图像上相距甚远的区域，因此考虑通过连接区域路径边缘的亮度比值所得到的连续值（见图1），因此，普遍的连续光照比率依靠所选择的路径，Retinex算法从一个随机的像素点开始并且通过亮度

9、值的计算得到的像素点结束，该算法考虑了所有的可能。这种亮度值被定义作为在路径中后续边缘的强度值比率的平均。为了消除环境非均匀光照的影响，如果从1到固定阈值都是相同的，那么该比率则很单一。像素点x=(i,j)的亮度值公式除了本身描述的之外，还通过在彩色通道上的Retinex算法计算得出。图像数据I（x）是像素点x在每个通道上的强度值。Land和McCann考虑r1,rkrN的N个像素点，这组像素点x开始到任意的像素点y结束。使nk趋向于该路径上像素点数rk，表示为xtk=k(tk),tk=1,nk显然xtk+1=k(tk+1)，则k1=x,knk=yk。定义一：在一个给定彩色通道的像素点x的亮度

10、L（x）是在x所有路径上的相关亮度的平均，公式为：Lx=k=1NL(x;yk)N (1)上式中的L(x;yk）表示为路径k中像素点x的亮度值，定义为：Lx;yk=tk=1nklogI(xtk)Ixtk+1 (2)并且，对固定的对比阈值t s=s, s>t0, s<t. (3)图1、无重置机制的Land-McCann构想。Mondrian从上至下选择特别的点，下面的数字显示沿着路径临边的比率。（二）、重置方法重置方法提出了对前面定义适用条件，确保所有路径的最大亮度值都能获得，我们引用1：看似简单，实际上不容易的一种方法是扫描整个场景，找到具有最高反射率的点或者区域。尽管这项技术在数学

11、上是有效的，然而我们觉得转换成生物机制并不容易，因此，我们寻求一种技术，它可以自动建立最高反射而不需要单步扫描。我们采用这种规定，初始比率是第二受体到第一受体信号比率（其次是第三到第二，等等）。然后，不考虑反射面积，假定我们的技术假定任何路径的第一受体从对光完全反射的区域导出。实现连续的结果大于1.0表明序列应该重新开始，这个新的、更高反射率应该接下来假定为完全反射。随着路径的变动，当遇到比之前反射率更高的区域时，路径则有一点开始连续变化。注意到，前面的证明使用的是比率，用乘积的对数转换比率的对数，在Retinex的重置化中，那些由部分到整体的路径平均化Lx;yk必须是负数。j=1,nk-1,

12、tk=jnklogI(xtk)I(xtk+1)0 (4)像素点Retinex重置的解决方案是依靠对每个单路径的记忆，这实际上排除了为重置Retinex的任何人类视觉系统形式。如Land和McCann之前证明的得出，重置机制的主要目标是确保从x点出发的任何路径到图像的极值点yk结束。这个目标不是由重置Retinex完成的，重置的机制仅仅是沿着路径悬着比初始值更大的像素点。这个观察定义了一个“极值Retinex”，即一种变化形式，所有的路径仅仅由图像的极值开始，极值Retinex的简易应用是定义1。定义2：（极值Retinex）在一个给定颜色通道x像素点的亮度值L（x）是x像素点到图像的任意极值的

13、所有路径的亮度平均值，这条路径是到达yk之前没有其他极值。因此，我们有Lx=k=1NLx；yk/N。接下来，我们将分析比较这两种定义，即初始Retinex和极值Retinex。不知为何，重置Retinex应该介于未重置Retinex和极值Retinex之间，如前面所证明的，Land和McCann提出的极值Retinex被当成生物学而被摒弃，原因是不可信。在近几篇论文中，McCann精确地称反射率最大的点或者区域为“局部最大值”区域。同样，为了观察是否有严重的差异，我们认为与初始Retinex比较是有必要的。三、 发展现状Retinex算法的许多解释、实现和改进都有在文献中介绍，通常的分类有如下

14、几种1117，基于路径的算法、递归算法、中心环绕算法和物理模型的演变(Horn提出的18)。现在我们就简要的回顾下这些类别。(一)、基于路径的算法在这种算法中，每个像素点的亮度依靠随机路径比率的乘积。Land最初的研究就是属于这一类别，与最近的实现相联系，如19和12。基于路径算法的主要缺点是依赖路径的几何形状、计算复杂度和很多自由参数,如：路径的数量及其长度。在文献19中，作者用布朗运动近似Retinex算法中的每条路径，实现了最初的Retinex算法，这种方法大大改善了算法的有效性和运算速度，但是新方法还是存在两种缺陷。然而，我们遵循作者的思想，并且采用布朗运动作为路径集的最可能解释，这种

15、解释是Land和McCann所没有给出的。在文献12中，Provenzi等人提出了一个详细的最初Retinex算法的数学分析方法，并进一步提出了描述该算法的分析公式。他们假定Retinex不变性相对于不同参数变化，可以通过数学公式预测出来。然而，他们的证明是没有阈值的Retinex算法。在他们的最后工作13是用二维像素代替原来的路径，这种方法的速度超过基于一个路径的方法。(二)、递归算法递归算法是由Frankle和McCann提出的，他们通过递归矩阵取代路径的计算。这些算法在像素之间进行长距离的迭代计算，并且逐步移动到短距离的交互，像素间距在顺时针的每步上逐渐减小，在每个空间上实现比率、产生、

16、复位和平均操作。这种算法在计算量上比之前的更有效。主要缺点是它取决于一个关键参数，即像素相邻点被访问的次数。命名这个参数为迭代次数，这个参数的最优值是不确定的，并且能影响最终的结果（具体的讨论见文献23）。(三)、中心环绕算法这些年来，Land在Retinex的观点改进后的最后形式是中心环绕算法。新技术在相互作用的像素点之间引入重量的概念，重量与两像素点间的距离成反比。通过这些新方法的实现，一些作者认为明度值可以通过从原始图像输入模糊图像来计算获得。因此，Rahman等人使用高斯模糊图像并在单一通道上进行色彩校正。他们后来在多通道下也实现了这种算法。中心环绕算法速度超过基于路径的算法，并且参数

17、的数量显著减少。然而，它们任然存在很多难以形式化的参数。此外，Rahman等人算法是基于灰度空间的假定。一般而言，世界是灰度的，并且在灰度空间的彩色图像是非自然的。更多的兴趣在Retinex变形上，它是局部对比度增强，因此，改善了视觉质量。Bertalmio等人27最近针对Land的Retinex理论提出了一个新颖的解释，基于内核的Retinex依赖一个内核功能的随机变量期望的计算。作者证明了Retinex和KBR拥有相同的内在属性，除了输入图像拥有最好的图像质量时的参数之外，该方法计算效率很高。这项工作建立并与之前的两项工作(文献4和28)相比较，在变化技术的框架下设计的颜色校正算法是由人类

18、视觉色彩的基本现象激发的，最近，Bertalmio和Cowan已经实现了将Wilson-Cowan方程作核心的Retinex算法。（四）、基于物理模型的算法在这一类算法的提出是用更多的物理模型解释Retinex概念，该方法的目的是形成方程组或者优化问题。在一系列文献30-32中，Horn是首先提出分解图像亮度I为反射率R和入射光强L，即：I=R·L。Horn通过图像亮度的对数分解为反射率和入射光强，logI=logR+logL。像在Retinex算法中，主要假定图像亮度缓慢连续变化，只有在反射率变化时才会出现尖锐剧烈的变化。应用拉普拉斯算子logI=logR+logL。这是第一部分l

19、ogR几乎在任何地方都为零，仅仅在反射率边缘时最大。第二部分logL有界且值很小，因为L变化缓慢。因此，Horn提出了应用一个阈值运算器T去除第二部分。这时T(logI)logR。这种关系能被看成logR到I的泊松方程，即：logR=TlogI （5）泊松方程的解是最终求幂运算产生的反射率的估值。Horn通过假定图像上一点反射了所有的亮度而得出的结果，因此，假定该点像素是白色的。Horn模型的泊松方程通常是用迭代求解的，显然，当邻域是矩形时这不是最优模型，实际上相同的方程被称为泊松方程的Retinex算法，它涉及到Kimmel等人17的Retinex变化模型。这种模型类似于Horn模型，它还假

20、定光照的区域是平滑的，并且已有限的反射动态范围作为约束插入到连续模型中。作者还提出了用快速多分辨率解决变化问题。四、 Retinex理论的偏微分模型我们的目的是提出一种Land和McCann描述的亮度感知的最初Retinex理论的可能形式，并且在某种程度上它的复原形式，这种形式的主要结果将是一个泊松方程。（一）、随机路径模型首先，给出Land等人使用路径的一个正式定义。这些作者对使用过的路径没有给出一个明确的定义，因此，为了减少计算量，大多数实现都是减少容许路径的数目。然而，没有任何规范，却又恰恰相反，即考虑图像集合随机路径的一般类。像这些路径是通过在图像网格中标准对称离散随机路径获得的。这些

21、路径开始于像素点x结束于图像网格的任意像素点y。像这种路径是可以循环的。特别是没有排除他们在到达y点前经过多少次x点。注意的是，当网格趋向于零，这些随机路径趋于各向同性的布朗运动。在文献19中提出了渐进形式布朗运动的解释。由于这种各向同性的限制，随机路径的各向异性采用离散随机路径是不排斥的，与这个一致的，我们应当看到，当图像网格趋于零时，底层PDE也趋于各向同性。为了达到这个目的，图像上的矩形网格定义为：R:=0,M-1*0,N-1首先是通过其边界反射到一个矩形图像0,2M-1*0,2N-1。例如，通过满足垂直图像的反射，u(M-1+I,j):=u(M-I,j),1<i<M，这意味

22、着u(2M-1,j)=u(0,j)，所以，在一幅新图像上右侧边界和左侧边界是相等的（见图2左）。对称图像通过周期2M*2N延展至整个平面Z2。通过对称和周期获得的性质，我们称之为（M,N）。（这个设置是通过使用离散余弦变换表示的）。如果两个像素点是通过反射和周期性从最初的图像上获得的相同的像素点，那么我们成为该平面上得两个像素点相同。考虑平面Z2上的随机路径Xt，通过原始图像上得Xt近似Xt。我们可以与原始图像上得随机路径相联系（见图2右）。另外一种方式，当Xt到达图像边缘时则被反射，确切地说，考虑一个一般像素点（i,j）到达垂直图像的右边界。这时，如果像素点（i,j）的随机路径的下一个位置X

23、t+1向上、下、左、右移动的几率都是1/4。当到下一个位置意味着穿过图像边界（i+1,j），这是Xt到达边界的半个像素点（i+1/2,j）。反弹回来，因此停留在另外一个位置Xt+1=（i,j）。我们能够直接定义反射随机路径Xt，但是两个的设置是相等的，优势都能被采用。事实上，当Xt是个具有有限状态的马尔科夫链时，平面上随机路径的标准理论应用Xt。在图像上的影响是相同的，因为IXt=I(Xt)。图二，左：对称域； 中：平面上的随机路径； 右：图像域的相同随机路径如第一个Retinex理论中指出，结束的像素点y是图像矩形中的均匀分布随机像素。平面上的随机路径Xt到达y，即为Xt通过任意路径到达y点

24、。引理1：对于随机路径上的任何截止像素点在限定时间截止，截止时间的期望是有限并且一致有界的。证明：的确，我们可以从一个像素到达另一个像素，Xt是一个具有有限状态的马尔科夫链，具有标准属性34。因此，我们把随机路径的截止时间选在y点，相关的截止对称随机路径定义为：Xty=:Xt , tn(y)y , tn(y)我们用n(Xty)表示随机路径的长度，Retinex的“平均路径”除了在随机路径模型的期望E其他都没有。因此，Land的最初定义是简单的翻译。定义3：假设1I（x）C是一个有界对称图像，从图像的边界从像素点x到像素点y的有界随机路径Xty，相对应的亮度L(x，y)为：一个给定的彩色通道像素

25、点x的亮度L（x）即是图像边缘从x到y的随机路径对应的x像素点的亮度。换句话说：对于极值Retinex，我们规定图像的最大值Y，称亮度为：与Land最初的定义唯一不同的是这个Retinex路径规定为标准的随机路径。最初的定义有局限性，的确一致有界，根据引理1，截止点得数学期望En（y）是有界的。边界拉普拉斯算子定义为：正常的矩形域边界算子有局限性，例如，右侧垂直边界: 引理2：一个彩色通道的相对亮度L（x，y）比作定义3，离散泊松方程中的（M,N）具有对称和周期性。 （9）xL表示为从x到fx=(log(x)，在（3）中已经定义，x-0=i-1,0,x0-=i,j-1,x+0=i+1,0,x0

26、+=i,j+1。证明：开始点x到结束点y间的随机路径Xty，如果x=y，则L（x，y）=0，从而，xy,则LXty=0。这条路径可能移动1/4，即x邻域中的一种，x-0、x0-、x+0、x0+。我们用V（x）表示这种邻域，Xty移动一步，这个短的路径Xty=:Xt+1y，实际上，这是一个双射，1）x到y的随机路径的第一步x,x'，2）从x'开始，到y'结束的一系列随机路径。因此：备注1：引理2的结论能解释为在初试离散图像模型上得一个离散方程。R:L(x,y)是泊松方程在诺依曼边界状态上得唯一解决方案。定理1：在定义3中一个彩色通道的亮度值L(x)是定义（10）中F的唯一

27、解决方案。证明：由（7）知：通过引理2，我们知道首项的值，只需计算第二项的值，使用格林公式，得通过（11）我们得出：因此：最后，代入公式（13），我们得到：通过对称性，很容易检查yRF（y）=0(N,M)的存在和唯一性，是第四节第三部分计算获得。图3、中央部分的泊松内核图4、Adelson的检验员阴影幻觉和应用t=3的Retinex算法相似图5、对比度错觉。左图是原始图像，右图是t=3时的Retinex结果。通过Retinex背景消除尖锐，使对比度增强。左右图圆形的亮度灰阶相同，但是人眼视觉方面右图显得更加明亮。图6、在左图，两个X有相同的颜色。右图通过Retinex算法模拟错觉，左图的X获得

28、和背景颜色相似的色度，并且，右图X获得一个左边背景黄色的颜色。图7、左图：原始图像。第二个：t=0的Retinex。第三个：t=10的Retinex。第四个：t=15的Retinex。观察到颜色略有增强，背景色渐渐减少。引理2证明的简单变形就是在极值情况下的Retinex方程。推论1：使Y成为图像的最大值，在通道L上的极值Retinex亮度是对称离散泊松方程的唯一解（M,N）。备注2：如果s=s，Retinex没有阈值，这时，式（12）变成前面方程的一个渐进式是很容易演变的，为简单起见，使M=N，离散值R是连续邻域0,12的取样值，I被假定为任意的分辨率。同时假定vxlog(I(x)是C2的函

29、数。在理想的环境下，我们使N求得式（15）的渐进解L=LN,上式依赖于N，设h=1/N的图像网格。然后通过二阶泰勒展开这里的是拉普拉斯算子，通过一个典型的渐进参数使用分布理论，式（15）的解LN是诺依曼问题唯一解的分布这个方程式和Horn的方程式很相似，确定了Retinex模型的各向同性。备注3：和定理1获得方程相同，泊松编辑方程是Perez等人最近提出的。然而本文提出的参数需要简略交代，作者指出一个图像域的向量场V不一定是一个梯度场，不是一个必须的函数，如：u=V。但是，公式化导致求解函数u，泊松方程的解是V的渐变值。这些作者还提出了一个压缩纹理的应用程序，其目的是找出纹理，保留边缘，求解所

30、得：一个低的阈值平滑小梯度，保留边缘。这个方程实际上和Blake方程相同。（二）、Retinex的局限性我们的评比者之一建议，Retinex偏微分局限性能够通过计算路径平均长度估计出。然而，布朗运动的平均长度在一维中如O(N2)，在二维中会更高。因此这个长度并不能真正估计出泊松方程的邻域，原因是随机路径是扭曲的，Retinex偏微分的偏差能够通过泊松方程的标准差测得。实际上，Retinex方程是非线性且无内核的，除非我们式(3)中t的值取为0.在这种情况下，方程变得线性，因此，求解相当于内核K与第二部分卷积。这个方程的内核K由傅里叶变换定义相当于求解泊松方程的第二个因子f，对于N=M=1024

31、时K的标准偏差=342.66。内核的形状和位置在图3中给出，Retinex内核的影响扩展至图像的1/3。由图7知，当阈值增加时，Retinex变化很小。（三）、FFT的实现式（12）是很容易使用傅里叶变换求解，离散傅里叶变换的二维函数f(n,m)是由N*M的网格定义的，其中k,l0,M-1*0,N-1离散傅里叶反变换的f(m,n)，其中m,n0,M-1*0,N-1离散傅里叶变换有如下性质：使用式（21）取代（12）中的傅里叶反变换此时k,l0由式（20），我们得到边界点的L的值，最后将L值标准化到0,255区间，前面所有的计算在图像F上扩展边缘值2N*2M，F是对称的，它的傅里叶系数是F，式（

32、22）中L(k,l)的系数也存在，L也是对称的，另外，离散傅里叶变换（2N,2M）的L和F暗示周期性存在，注意到，在定理1中提及，我们已经找到类（N,M）对称和周期性的唯一解决方案。注意到，对于极值Retinex，我们不能使用快速变换来实现，在本例中，我们使用较慢的迭代方法求解相应的线性系统，推论1中已经证明存在性和唯一性，它是最小二次方程的最小值。表1基于路径Retinex算法的比较算法参数计算成本Land16N=路径的数量，nk=每条路径的像素点数，t=阈值ONnkHMcCann21n=一个相邻像素点的迭代次数O(H2n)Frankle等人20n=一个相邻像素点的迭代次数O(Hnlog2(

33、H)Provenzi等人12N=路径的数量，nk=每条路径的像素点数，=阈值ONnkHProvenzi等人13R=半径，f为密度，N为散射的数量，n为散射的像素数ONnHPDE实现t=阈值O(Hlog2(H)（四）、PDE模型的优势初始Retinex的新的实现相比于之前的有三个优势：假设路径上得随机曲线，Land-McCann最初的思想并不完善。由于只有一个参数，它在阈值的初始甚至是非常快速的。表格1 与第三部分的初期实现比较了计算耗时。表格中图像的像素数H=MN。尽管初期实现都考虑的更少的像素点和路，但仍很耗时。一些计算所耗的时间取决于参数值，例如，在式13中，作者将参数值减少为n=20,N

34、=400。表格1与初始实现比较了参数的数量，式20和21两个实现仅仅限制了一个参数。但是，正如我们前面提到的，McCann和Frankle等人提出的唯一参数对结果产生的影响是：这个参数能够改变输出的动态范围。Retinex参数的变化仅仅改变部分结果，我们将在下一部分介绍。因为这部分Retinex PDE实现的提出与Horn和Blake模型相似，表二比较了这些模型的计算耗时。显然，FFT实现的速度远远超过任何迭代方案，实际上适合所有的泊松方程。（五）、实验结果在本节中，我们给出了一些PDE实现的结果，并讨论了它们的阈值。Retinex PDE的提出能够在下面网站上找到http:/mw.cmla.

35、ens-cachan.fr/megawave/demo/retinex_pde/阈值的选择是留给用户的，我们在这里还讨论了极值Retinex的实现。表二PDE实现半径的比较算法半径计算成本Rahman等人26N=高斯数量，Cn为高斯规模，n为相互间的重量O(Hn=1NCn2)使用FFTO(3(N+1)Hlog(H)Horn18e=阈值O(H2)Blake30=阈值O(H2)Kimmel等人17，为函数点间的重量，Tk为每个分辨率层的迭代，为伽马校正O(99H)Bertalmio27(x)为核心，f(x)为函数规模O(Hlog(H)FFT实现t=阈值O(6Hlog2(H)（1） 伽马校正模型Re

36、tinex理论的实现需要使用泊松方程和FFT（第四节第3部分）。原则上，Retinex应用于原始图像，然而，伽马校正最经典测试图像是JPEG格式，因此，我们必须掌握如何处理它们。对原始图像进行凹函数的伽马校正，实际是一个对数或者一个s的比率，其中，0<<1。假设伽马校正是不受限制的对数，s和log对大多数图像的处理是相似的。这种假设的结果是我们可以使用伽马校正对图像进行不同强度的校正，而取代想Retinex这样对数之间的差异。因此我们可以直接写作fx=(x)，而不用写fx=(log(x)，这是F被定义如下：然后，伪代码应用到不同图像获取的结果显示在这部分：对每个颜色通道I作，计算式

37、（24）的F值，使用选定的阈值t，应用FFT使FF，计算式（23）的L值，应用FFT使LL，转换L到区间0,255。结束计算。（2） 视觉错觉实验Land的Retinex理论被假想成一个视觉模型并且尝试解决人类视觉系统特，特别是人类颜色感知错觉方面。通过眼睛的光学视觉错觉信息的收据是通过大脑处理的，这并不符合物理的测量。对一个虚幻的图像应用Retinex算法，结果将是作为人类视觉系统一样的图像显示。作为第一个经典例子，图4显示了Adelson的人员的影子错觉。在左侧的绿色圆柱体前有黑色和白色棋盘穿过板后投影一个对角线。这个图像已经在阴影中构造了白色的正方形，投射出的“B”和阴影中黑色正方形投影

38、出的“A”有相同的灰度值。尽管它们有相同的灰度值，但却显示出了黑和白的不同。如果Retinex理论不适用与人类视觉，应该是B比A更亮。右侧图展示了应用偏微分Retinex算法的结果，A的灰度值是75，而B的灰度值是100，使得从我们的视觉上A比B更暗。Retinex最初的目标是模仿人类视觉系统，因此，这里的标准是知觉上的而不是任何图像上的改善。我们的下一个错觉是关于同步对比，即实际出现的颜色取决于周围的颜色。图5中显示了一个平滑变化的背景和相同灰度值的两次循环。它们分别置于图像的暗区域和亮区域。通常的感觉是暗区域比亮区域更明显。另外，这个错觉很强烈，以至于除了两个磁盘外，要屏蔽整个图像，以检查

39、它们实际共享亮度。如果使用比背景更大的阈值t，这里我们选取t=3，结果是具有不变背景的图像，左边给13灰度值，右边给245灰度值，但对于我们视觉是一致的。最后，图6成功显示了颜色差异的模型，左图的两个X具有不同背景的相同图形，一个是黄色，另一个是紫色。显著的变化是，左图的X似乎和拥有紫色背景的X有着相同的视觉感知，通过应用t=3的Retinex算法，X真正获得了一个视觉上的错觉颜色。图8、上左：原始图像。上右：对原始图像应用t=0的Retinex结果。左下：原始图像应用t=0.5的Retinex结果。右下：原始图像应用t=2的Retinex结果。图9、左图：图4的图像t=3时的极值Retine

40、x结果，A的灰阶是80,B的灰阶是120。右图：图5的图像t=3时的极值Retinex结果。背景变成常量，左边的圆形比右边的颜色要更亮，因此，极值Retinex显示的属性和拟物模型相似。（3） Retinex阈值定义在式（24）中的函数F，泊松公式的第二个成员作为一个边缘检测器，并且在亮边缘产生一个正脉冲，在暗边缘产生一个负脉冲。Land模型在伽马校正的优点是对于Retinex阈值t，能够产生更直观的判断。阈值允许清除更小的脉冲。现在，在伽马校正的图像里，当图像的边缘和细节的梯度超过大约10时，就能被感知。因此，为了避免图像上的挤压对比，通常阈值t都要小于10。在原始图像上确定一个阈值是很困难

41、的，在第5节第1部分的伽马校正选取的=0.85，并且颜色是在所有通道的简单拉伸，在值域0,255的范围内，对于Retinex的更深的讨论，见式22。图7中显示了一个原始噪音和增加阈值t=0,10,15的Retinex的结果，随着t的增加，背景噪声逐渐被滤去，但是主要的边缘被保留。然而，当t=15时，边缘开始丢失。（4） 原始图像与原始理论对应，一些实验已经直接应用到原始图像上了。通过对图像应用算法函数开始，用式10解决Retinex PDE，最终量化结果和JPEG图像相似。图8展示了阈值从t=0到t=0.5应用在原始图像上的例子，在右下图上，展示了直接对JPEG图像应用Retinex算法，结果

42、非常相似。原因也很好解释：对JPEG图像应用伽马校正和应用对数是相似的。（5） 极值Retinex在本节中，我们给出一些Retinex极值的结果。正如我们所看到的，结果和原始Retinex很相似，然而，由于图像上的Dirichlet条件，偏微分形式能够通过快速傅里叶变换实现，经典的Gauss-Seidel迭代的使用，该算法都做图像上的第一个极值点并赋值为0。这时直线上该点的亮度与离散偏微分方程相联系。图9显示了在图像上得极值Retinex算法结果,图4和图5分别显示了t=3阈值的情况，结果很相似。图10显示了Retinex算法和极值Retinex算法的结果，结果同样很相似。图10、左图：原始图

43、像。中间：阈值t=3的Retinex结果。右图：阈值t=3的极值Retinex结果。它们不同，但极其相似。图11、左图：原始图像。第二个：四次迭代的McCann99的结果。第三个：四次迭代的Frankle-McCann结果。右图：PDE Retinex的结果。图12、上左：原始图像。上右：四次迭代的McCann99的结果。下左：四次迭代的Frankle-McCann结果。下右：PDE Retinex的结果。（6） 对比由于很多编码不能利用的事实，PDE Retinex和其他Retinex实现的比较是一件困难的工作。幸运的是，网址http:/www.cs.sfu.ca/colour/public

44、ations/IST-2000/给出了McCann和Frankle-McCann的Retinex的图像结果。图11和图12展示了这些结果与PDE Retinex的对比。第一个图是合成的图片，用PDE Retinex实现没有任何变化，图12是一个蓝色图像，这三个实现成功地去除了蓝色色调。或许是由于位置的缺乏，PDE Retinex的结果很不明显。然而，McCann和Frankle的结果创造位置光圈，例如在蓝色书上得信件。这是典型的中心围绕方法，总得来说，路径用的地方更多。（五）、探讨和结论本文的主要贡献是在原始Retinex的基础上证明数学等价性，理论中的路径和不确定性是一个简单的泊松方程。这个

45、方程的快速傅里叶变换求解允许安装一个演示，能够测试所有Retinex阈值的参数。但是这种分析也显示底层的方程已知其他范围，例如图像编辑，它非常类似于两个物理模型，即Horn和Blake方程模型。然而能证明它们的等价关系，它的解释是可疑的，下面是三个评论，我们决定复制原文，因为它反映了Retinex的主要讨论部分。第一个论点粗略的说明原始Retinex理论的基本假定是错误的。“主要思想是HVS和Retinex的目标是从反射里分离光照，并且近年来已经证明是错误的，这个思想是基于Retinex的中心围绕和物理模型的主要部分。”第二个论点是基于布朗运动路径的实现，“该方法的实现像是物理Retinex家

46、庭的实现。”作者称对于原始Retinex版本失败，然而没有足够的结论证明。事实上，该论文方法的实现对于基于路径和迭代的Retinex的不同是很容易证明的。这个评论实际上证实了如下结果：基于布朗运动的原始Retinex变成了一个泊松方程，和Horn、Blake的模型非常像。第三个论点是使用严格的路径比先前文章提到的对于Retinex算法更加成功。“关于位置的数学分析的证据应该与依靠图像内容最初Retinex事实相联系。”有限制的随机路径简单，并且和复位操作符相联系，根据图像的内容，改变Retinex的位置影响。这是不经常在中心围绕和物理模型Retinex实现的关键特征。例如，中心围绕方式的实现见

47、式37，缺乏各向异性能够导致相对的减少，事实上，我经常使用网络应用并且用颜色恢复补偿方法。因此，随机路径的假定对于原始Retinex不是完全失败。Retinex和极值Retinex的比较可以视为局部和整体的对比。这篇论文中提到的随机路径的假定将是讨论对象，因为，它似乎具有各向异性且不是局部的，在实验部分的最后实验实际上证明了这种方式更好，在两个不同的理论之间相互作用：色彩均衡和位置判断。这两个范围之间的关系将进行更深的研究，实验上证实，因为式15和38，最简单的具有布朗运动的Retinex提供了一个局部对比度的调整。致谢作者要感谢L.Ambrosio提出的非常有价值的指导。参考文献1 E. L

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