第十一章 傅里叶级数

1、1. 二元函数在某点处连续，偏导数存在的判定；二元函数在某点处连续，偏导数存在的判定；2. 多元数值函数的梯度；多元数值函数的梯度；3. 二元函数的极值；二元函数的极值；4. 多元函数隐函数求偏导；多元函数隐函数求偏导；5. 二重积分的比较；二重积分的比较；6. 交换二重积分累次积分次序；交换二重积分累次积分次序；7. 二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在直角坐标系下的计算8. 三重积分的计算；三重积分的计算；9. 求立体体积；求立体体积；10.重积分对称性；重积分对称性；2013-2014高等数学第二学期期末高等数学第二学期期末考试考点考试考点11.第一类曲线积分的计算；第一类曲线积分的计

2、算；12.第二类曲线积分的计算；第二类曲线积分的计算；13.第一类曲面积分的计算；第一类曲面积分的计算；14.第二类曲面积分计算；第二类曲面积分计算；15.高斯公式，向量函数的散度；高斯公式，向量函数的散度；16.斯托克斯公式；斯托克斯公式；17.数项级数敛散性判断（含绝对收敛和条件收敛）数项级数敛散性判断（含绝对收敛和条件收敛） ；18.幂级数的收敛半径，收敛域及和函数；幂级数的收敛半径，收敛域及和函数；19.函数的幂级数展开；函数的幂级数展开；20.将函数展成以将函数展成以 为周期的傅里叶级数；为周期的傅里叶级数；21.周期周期2l的傅里叶级数的和函数。的傅里叶级数的和函数。2情况一：设情

3、况一：设 f (x) 是周期为是周期为2 的的周期函数周期函数21. 将函数展成以将函数展成以 为周期的傅里叶级数；为周期的傅里叶级数；2情况二：情况二：设设 f (x) 是是定义在定义在 , 上的函数上的函数情况三：情况三：设设 f (x) 是是定义定义在在0, 上的函数上的函数(可展成正弦或余弦级数可展成正弦或余弦级数)情况一：设情况一：设 f (x) 是周期为是周期为2 的的周期函数周期函数 f (x) 的傅的傅里里叶级数在叶级数在 收敛收敛 , 且有且有01( )cossin2nnnas xanxbnx, )(xf(0)(0),2f xf x x 为间断点为间断点其中其中nnba ,为

4、为 f (x) 的傅的傅里里叶系数叶系数 . x 为连续点为连续点(,) 2( )f x以为周期函数的傅的傅里里叶展开式为叶展开式为01( )cossin2nnnaf xanxbnx |,( )( )xxxf xs x 即：即：的间断点的间断点连续的点以及连续的点以及满足满足(0)(0)( )2f xf xf x结论：结论：例例. 设的表达式为 f (x)x ,将 f (x) 展成傅里里叶级数.是周期为2 的周期函数,它在上),)(xf解解: 满足收敛定理的条件满足收敛定理的条件.0dsin)(2xnxxfbn),3,2,1(n0dsin2xnxx02sincos2nnxnnxxnncos21

5、) 1(2nn( )fx 是(-, )的奇函数, ),2,1,0(0nan因此根据收敛定理可得 f (x) 的傅傅里里叶展开式为叶展开式为:11( 1)2( )sinnnf xnxn(21),)xRxkk且yxo(21)() ( ),xkkf x又当时连续=(21) xk当时( +0)(0)0( )2f xf xf x 11( 1)2sinnnnxn故f (x) 的傅傅里里叶级数为叶级数为:, )(xxf周期延拓)(xF收敛定理( ),)f xx , )2(kxf其它01( )cossin2nnnas xanxbnx( ),F x(0)(0),2F xF x x 间断 x 为连续点注：有相同的

6、注：有相同的傅里叶级数傅里叶级数( )s x, )(xf(0)(0),2f xf xx 为 间断点 x 为 连续点(0)(0),2ffx ( )(,)2- , S x 即在上有定义且以为周期，且其在上的表达式为(, ) (, ) 情况二：情况二：设设 f (x) 是是定义在定义在 , 上的函数上的函数,( )f x 上的函数傅傅里里叶展开式为：叶展开式为：01( )cossin2nnnaf xanxbnx |,( )( )xxxf xs x即：即：(, ) (, ) 的间断点以及的间断点以及中连续的点以及中连续的点以及中满足中满足(0)(0)( )2f xf xf x(0)(0)( ) ()2

7、ffff或的使等号成立的端点的使等号成立的端点例例. 将函数,04( ) ,04xf xx展成傅里里叶级数 .11( 1).21nnn并求解解: 先求傅里里叶系数xnxxfandcos)(1),2,1,0(0nxnxxfbndsin)(102sind4nx x1 ( 1)2nn 11 cos2nn根据收敛定理可得根据收敛定理可得 f (x) 的傅的傅里里叶展开式为叶展开式为:11( )sin(21) ,21nf xnxn(0+0)(00)0(0)24fff11 ( 1)sin2nnnxn 故故f (x) 的傅的傅里里叶级数为叶级数为:(,0)(0, ) ( ),xf x 当时连续=0 x当时(

8、+0)(0)0()2fff= x当时(,0)(0, )x 11( 1)()().21224nnSfn注：正弦级数和余弦级数 对奇函数 f (x) , 其傅里里叶级数为 对偶函数 f (x) , 其傅里里叶级数为余弦级数 ,),2,1,0( dcos)(20nxnxxfan),3,2,1( 0nbn),2,1,0( 0nan0),3,2,1(dsin)(2nxnxxfbn它的傅里里叶系数为正弦级数,它的傅里里叶系数为,0),(xxf)(xF傅里叶级数 f (x) 在 0 , 上展成傅里叶级数余弦级数奇延拓偶延拓xoy正弦级数 f (x) 在 0 , 上展成xoy, 0(),(xxf0, 0 x(

9、),0)fxx ( )F x ( ),0,f xx(), 0)fxx 情况三：情况三：设设 f (x) 是是定义定义在在0, 上的函数上的函数x1y将将)(xf则有则有o0a0d) 1(2xxna0dcos) 1(2xnxx0222xx222( 1)1nn作偶延拓作偶延拓 ,例例. 将函数将函数)0(1)(xxxf分别展成正弦级分别展成正弦级数与余弦级数数与余弦级数 . 解解: 先求先求余余弦级数弦级数.( )F x 1,0,xx1, 0)xx 根据收敛定理可得根据收敛定理可得 f (x) 的傅的傅里里叶展开式为叶展开式为:21141( )cos(21)2(21)nf xnxn0, )( )

10、( ),xF xf x又当时连续= x当时(+0)(0)1( )2FFf 2112( 1)1 cos2nnnxn故故f (x) 的的傅傅里里叶级数为叶级数为:x1yo0, x1xyo将将 f (x) 作奇延拓作奇延拓,0dsin)(xnxxf2nb0dsin) 1(2xnxx21 ( 1) (1)nn 再求再求正正弦级数弦级数.)(xF1,(0,xx0, 0 x1, 0)xx 根据收敛定理可根据收敛定理可得得 f (x) 的傅的傅里里叶展开式为叶展开式为:11 ( 1) (1)2( )sinnnf xnxn (0, )( ) ( ),xF xf x又当时连续= x当时(+0)(0)0( )12

11、FFf121 ( 1) (1) sinnnnxn 故故f (x) 的傅的傅里里叶级数为叶级数为:(0, )x1xyo=0 x当时(0+0)(00)0(0)12FFf注：注： 一定要分清三个概念一定要分清三个概念:傅傅里里叶级数、和函数、叶级数、和函数、傅傅里里叶展开式叶展开式 若若f(x)是奇偶函数，求傅是奇偶函数，求傅里里叶系数一定要利叶系数一定要利用定积分的对称性结论简化计算用定积分的对称性结论简化计算 求求s(x)是通过是通过f(x)的表达式来求的的表达式来求的 将将 f (x) 展成傅展成傅里里叶级数叶级数,一定要注意一定要注意x的取的取值范围：值范围： （1）要属于）要属于f (x)

12、 的定义域的定义域 （2）包含定义域中除端点外所有连续的点）包含定义域中除端点外所有连续的点 （3）包含满足）包含满足“等式等式”的间断点和端点的间断点和端点21. 周期周期2l的傅里叶级数的和函数的傅里叶级数的和函数情况一：设情况一：设 f (x) 是周期为是周期为2l的的周期函数周期函数01( )cossin,(,)2nnnanns xaxbxxll , )(xf(0)(0),2f xf x x 为间断点为间断点 x 为连续点为连续点( )s x, )(xf(0)(0),2f xf xx 为 间断点 x 为 连续点(0)(0),2flf l xl (, )l l(, )l l情况二：情况二

13、：设设 f (x) 是是定义在定义在l ,l上的函数上的函数( )s x例：设例：设 )(xf2,1 0,x2, 01,xx的傅里叶级数在的傅里叶级数在( )f x答案答案: B是以是以2为周期的函数为周期的函数,在在 （）31. 1 . . . 222ABCD( 1,1上上则则( )f x1x 处收敛于处收敛于( 1+0)(1 0)2 13 222ff解：(8)?S再问呢(0+0)(00)02(8)(0)122ffSS1. 二元函数在某点处连续，偏导数存在二元函数在某点处连续，偏导数存在的的判定判定1) 函数函数00( , )(,):f x yxy在连续0000( , )(,)lim( ,

14、)(,)x yxyf x yf xy或有的极限不存在.证明函数极限不存在: 以不同方式函数趋于不同值(常用的趋近方式为直线式)证明函数极限存在: 换元或夹逼准则 先代后求先代后求: 先求后代先求后代: 利用定义利用定义:xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(00000000000(,)(,) ( , )|xxxyfxyfx y0),(dd0 xxyxfx00(,)xfxy例如：分段函数分段点例如：分段函数分段点例如：初等函数定义区域的内点例如：初等函数定义区域的内点例如：上述两种例子情况均可、函数式复杂例如：上述两种例子情况均可、函数式复杂2)2)某点处偏导数存在的判定某点处偏导数

15、存在的判定: : 应该用法一和法三0,00,)(),(2222232222yxyxyxyxyxf提示提示: 利用 ,222yxyx2122)(41),(yxyxf)0,0(0),(lim00fyxfyx故f 在 (0,0) 连续;知在点(0,0) 处连续性及偏导数存在性 .例例. 讨论讨论法一:偏导存在性偏导存在性: :d(0, 0)( , 0)0dxff xxxd(0, 0)(0,)0dyffyyy000(,0)(0,0) (0,0)limxxfxffx 000lim=0 xx 0(0,)(0,0) (0,0)limyyfyffy 000lim=0yy 法二:( ,0)(0, )0,f xf

16、y因故（A A）连续连续, ,偏导数存在偏导数存在, ,2222225,0( , )0,0 xyxyxyf x yxy例：二元函数例：二元函数在点在点(0 , 0)处（处（ ）（B B）连续连续, ,偏导数不存在偏导数不存在, ,（C C）不）不连续连续, ,偏导数存在偏导数存在, ,（D D）不）不连续连续, ,偏导数不存在偏导数不存在, ,答案：答案：C2. 多元多元数值数值函数的梯度函数的梯度 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP 二元函数 ),(yxf在点),(yxPzfyfxff,grad梯度为:梯度为:grad,fffxy例例. 函数)ln(222zyxu在点)2,2, 1

17、(M处的梯度Mugrad)2, 2, 1 (,gradzuyuxuuM解解:,222zyxr令则xu21rx2注意 x , y , z 具有轮换对称性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92(92考研考研)15. 向量场的向量场的散度散度设, ),(RQPA zRyQxPAdiv散度散度:则例例: 设矢量场设矢量场22( , , )ln(1) ,zu x y zxy iye jxzk(1,1,0) Pdivu 则该矢量场在点处的散度22: , (1, 1,2)( )=( )uxy zdiv grad u例 设则在点处 A (0,4,0) B

18、(0,0,0) C 4 D 0.22 =( )grad uy zxyzxy解：，2，( )=2xzdiv grad uC3.3.二元函数的极值二元函数的极值（1）具体二元函数求极值）具体二元函数求极值（2）实际问题求二元函数的条件极值）实际问题求二元函数的条件极值可以结合变力做功等第二类的曲线积分综合考察可以结合变力做功等第二类的曲线积分综合考察（1）具体二元函数求极值）具体二元函数求极值第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.第二步 利用充分条件判别驻点是否为极值点 .( , )0( , )0 xyfx yfx y时, 具有极值定理定理 (充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且令则

19、: 1) 当A0 时取极小值.2) 当3) 当时, 没有极值.时, 不能确定 , 需另行讨论.若函数的在点),(),(00yxyxfz 00(,)0,xfxy000000(,),(,),(,)xxxyyyAfxyBfxyCfxy20BAC20BAC20BAC00(,)0,yfxy例例. 求 222,xyf x yxe的极值。解：先求函数的驻点.2222222,(1)0,0 xyxyxyfx yx efx yxye 解得函数为驻点为 1,01,0或222222322222(3 ),(1),(1)xyxxxyxyxyyyAfxx eBfy xeCfx ye20,0BACA121,0fe在1,0 点

20、：取极大值20,0BACA12( 1,0)fe 在1,0点：取极小值（2012考研题）考研题）例例. 求 的极值。（2013考研题）考研题）3,()3x yxf x yye答案答案:134 (1,).3fe 有极小值（2）实际问题求二元函数的条件极值）实际问题求二元函数的条件极值(a) 简单问题用代入法转化为无条件极值问题条件极值问题.(b) 一般问题用拉格朗日乘数法求一元函数的无条件极值问题)(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz引入辅助函数( , )( , )( , )0 xxxL x yfx yx y( , )( , )( , )0yyyLx yfx yx y( , )0 x y( , )( , )( , )L x yf x yx y 一定要合理转换目标函数一定要合理转换目标函数:非负可平方、可取倒数等非负可平方、可取倒数等 要注意解方程组的技巧要注意解方程组的技巧 ：一般先得出自变量的关系：一般先得出自变量的关系再代入约束条件再代入约束条件 隐函数求导方法：隐函数求导方法：方法方法1. 利用复合函数求导法则