第二型曲线积分与曲面积分的计算方法

1、第二型曲线积分与曲面积分的计算方法摘要：本文主要利用化为参数的定积分法,格林公式,积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分的联系,分面投影法,合一投影法,高斯公式解答第二型曲面积分的题目.关键词：曲面积分；曲线积分1引言第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节,是整本教材的重点和难点.掌握其根本的计算方法具有很大的难度,给不少学习者带来了困难.本文通过针对近年来考研试题中常见的第二型曲线积分与曲面积分的计算题目进行了认真分析,并结合具体实例以及教材总结出其特点,得出具体的计算方法.对广阔学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义.2第二型曲线积分例

2、1求I=J(exsiny-b(x+y)x+ex(cosy-ax)dy,其中a,b为正的常数,L为从点A(2a,0)沿曲线y=J2axx2至U点o(0,0)的弧.方法一：利用格林公式法JLPdx+Qdy=JJ-dxdy,P(x,y),Q(x,y)以及它们的一阶偏导数d'Ia凶)在D上连续,L是域D的边界曲线,L是按正向取定的.解：添加从点o(0,0)沿y=0到点A(2a,0)的有向直线段L1,I=LLiexsiny-bxydx、excosy-axdy-Liexsiny.bxy)dxexcosy.axdy记为I=I1T2,那么由格林公式得：I1=Hdxdy=口|excosya(excosy

3、b)dxdydd-=b-adxdy=ab-ad2其中D为LiUl所围成的半圆域,直接计算I2,由于在Li时,y=0,所以dy=0因而：I2=J(_bxpx=-2a2b,从而+2a2b-a32222(I=11-12=ab-a?：'i12ab=22方法二：应用积分与路径无关化为参数的定积分法求解(D假设'P=K与路径无关的条件,那么Ax1,y1PdxQdy二Bxo,yoxixo二y二xyiPx,yodxQxi,ydyyo(2)x=t,y=：tABPdxQdy=Pt,t'tQt,t'tdta是起点P是终点解：I=lexsiny-bxyiidxexcosy-axdy=f

4、Lexsinydx+excosydy-b(x+y)dx+axdy记为I=I1-12,对于I1,积分与路径无关,所以Jexsinydx+excosydy=exsiny$：)=0Ix=aasint对于I2,取L的参数方程S,t从0到冗,得y=asintb(x+y)dx+axdy-a2bsint-a2bsintcost-a2bsin21a3cos21a3costdt21213-2a2b-a2二a32223从而I=-2a2b-a322对于空间第二曲线一般的解题过程为：Pdx+Qdy+Rdz假设L闭合,P,Q,R对各元偏导数连续dydzdzdxdxdyeex力zzPQRlPdxQdyRdz=L假设L非闭

5、,其参数方程为：.'MPxt,yt,ztx'tQxt,yt,zty'tRxt,yt,ztz'tdtx=xt其中：1y=yta,P分别为L的起点,终点参数值.产=中例2计算空间曲线积分1=巾y-zdx+zxdy+xydz,其中曲线L为圆柱面x2+y2=a2与平面-+-=1的交线a>0,h>0,从X轴正向看,ah曲线是逆时针方向.方法一：化为参数的定积分计算,对于这种封闭的曲线要充分利用10,2上三角函数的正交性.=h1-cost解：令x=acost,y=asint,那么z=h11-a于是I=“asinth1costI：.asint|h1-cost-ac

6、ostacostacost-asinthsint'dt=-2二aah方法二：解：dydzT色dzdxy-zdxdycz.x-y-211dydzdzdxdxdyZ:h=-2i1,1,1,0,1dxdy=Daxyh-21dxdy-2二ahaDa3第二型曲面积分.2.例3计算曲面积分z十xdydzzdxdy,其中工为旋转抛物面£z=1x2+y2介于平面z=0及z=1之间的局部的下侧.方法一：利用两类曲面积分的联系iiPdydzQdzdxRdxdycosPco-sQcosRdsi其中cos/cosp,cos¥是有向曲面工上点x,y,z处的法向量的方向余弦.解：n-：x,y,

7、-1,0.一,n=tcos：,cos：,cos:二；LX.T,下z1 x2y21x2y21x2y22 _.2x-11.“(z+xdydz-zdxdy=H(z+x)-=-z',-dsZZL,1+x2+y2V1+x2+y2z2xx2zx2z二zXxz=x一zds.1x2y21x2y2x2-x2y2=2d_1x2y2,1x2y2dxdy0dn2!o方法二：分面投影法如果工由z=zx,y怡合出,那么IlRx,y,zdxdy:-11R|x,y,zx,ydxdy、Dxy-如果z由x=x(y,z)给出,那么Px,y,zdydz=Ppy,z,y,zdydz3'、Dyz-如果工由y=yz,x给出

8、,那么iiQx,y.zdzdx：:11Q|x,yz,x,zdzdx4-Dzx一等式右端的符号这样规定：如果积分曲面Z是由方程x=xz,yy=yx,z,z=zx,y所给出的曲面上前,右侧,应取“+,否那么取“-解：zxdydz-zdxdy=zxdydz11zdxdyzzz222=zxdydz=zxdydz,11izxdydziiiz2,2z-y2dydziiiz2-_2z-y2dydzDyzDyz22-2ii2z-ydydz=4°dyy22z-ydz=4'Dyz万1oo12-2.zdxdy=-xydxdy=0cT0rdr=-4二'2Dxy22所以zxdydz-zdxdy

9、=8-Z方法三：合一投影法前面我们看到,按分面投影发计算曲面积分时,对不同类型的积分项必须将曲面用不同的方程表示,然后转化为不同坐标面上的二重积分,这种方式形式上虽然简单但计算比拟繁琐.事实上,如果上的方程z=zx,y,x,y"Dxy,Dxy是Z在xoy面上的投影区域,函数P,Q,R在工上连续时,那么单位法向量为e=icos：,cos：,cosJ:二,=Zx2,=Zy2,12Zxy1ZxZy1.ZxZy1由于投影元素dydz=cosads,dzdx=cosdds,dxdy=cos尸ds,于是得到所以dydz=cos：ds=dzdx=cos:ds=cos：,cos：cosds:cosc

10、oscos:,cos:cosds=dxdy=-Zxdxdycoscosdxdy-Zydxdy11Px,y,zdydzQx,y,zdzdxRx,y,zdxdyZ=-.'P|x,y,zx,y)：Zxx,yQ|x,y,zx,y)：卜Zyx,yR|x,y,zx,yZdxdyDxy=.P-ZxQ-ZyRdxdyDxy等式右端的符号这样确定：如果工是由方程所给出的曲面上侧,取“+,当Z可用显示方程y=y(z,x)或x=x(y,z)表示时,只需注意到此时Z的法向-yx,i-y,-yx1,-xy,-xz,可得相应公式.上述方法将上式中的三种类型积分转化为同一坐标面上的二重积分,故名为合一投影法解：z=

11、1x22又Z的下侧,+y2),Z在xoy面上的投影区域：DXy=(x,y)x2+y2<4),Zx=x,故由上式可得:21OO219iHzxdydz-zdxdyxyx-xx'、Dxy.-42!x2=x2y2dxdydIL2xyy2dxdyIdZ22rcos-方法四：高斯公式创Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=一,工cl改勾解：曲面不是封闭曲面,不能直接利用高斯公式,应补面£仔=2的上侧,那么用图斯公式z2xdydz-zdxdy=0dv=0二J所以z2xdydz-zdxdy-z2xdydz-zdxdy匚,二1又z2xdydz-zdxdy=011zdxdy-211dxdy=

12、-8二%i'iDxy2所以zxdydz-zdxdy=8Z4小结从以上对试题的分析,发现不同年份的命题,屡次考到相同的知识点,并且吻合于通用教材教学中的难点重点,虽然测试题目千变万化,但教材的内容相对稳定,因此只有吃透教材,抓住重点难点,克服盲点复习,到达以静制动.过本文的分析,希望对大家有一定的指导作用.指导教师：吕国亮参考文献1 华东师大数学系.数学分析下M,第三版.高等教育出版社,2001,224-231.2 刘玉琏,傅沛彳！等.数学分析讲义下M,第四版.高等教育出版社,2003,375-388.3 林源渠,方企勤.数学分析解题指南M.北京大学出版社,2001,338-362.4 陈文灯.数学复习指南M.世界图书出版社,2000,276-287.