群题极值点偏移

1、(1)故只需证实,ln(x+m)x=0,1、(2021合肥二模)ln(x+m)_mx=0,(m1)有两个根x1,x2,求证：x2：0分析：几何感受明显,但有两个地方带m,常用的对称函数方法失效,但注意以下图：1t2x2H：/上的两根t1+t20,即可.J/下面证实：*ln(x1+m)mx1=0,/ln(t1m)-t|=0：ln(t1m)-mt1,(t1,x10得xx1；同理t2:x1+x2cti+t2J.只要证实ln(x+m)x=0的两根,即exx=m的两根t1+t20)h(x)=ex+e20,二h(x)在(0,十七)单调递;j-增二h(x)h(0)=0,即f(x)f(x),f(t2)f(12

2、)又f(t1)=f(t2),f(t1)f(-t2),且G,-t20t1十t20,x1+x20,得证.方法二：证实：mx=ln(x1+m),mx2=ln(x2+m)1xi_x2(x1m)-(x2+m)mln(x1m)-ln(x2m)ln(x1m)ln(x2m)11(x1m)(x2+m),(x1m)(x2+m)2再由KX2ln(x1m)ln(x2m)x1x2ln(x1m)ln(x2m)x1一x2ln(x1m)-ln(x2m)得：x1x2-ln(x1m)ln(x2m)ln(4m)(x2+m)ln1-2mmclnm-2i)mx1x2二0lnx一一2、函数f(x)=,如果x10,当xw(e,g)时,f,

3、(x)一,又易知一1c(0,e)x2x2所以只要证2ef(x2)=f(x1)f(一)即可x22e构造函数F(x)=f(x)-f(一),x=(e,收)x2lne_lnxx_lnxx(2-lnx)一一一一2xe_xexF,(x)=22(e2x2)(1lnx)F(x)在(e,y)单调递增,F(x)F(e)=0一一一一e一一eX2即f(x)f(),从而f(X2)f(),即原结论成立,证毕.(方法2)(引入参数、设而不求,利用齐次式将双变量降为单变量)由于f(x1)=f(x2),所以可设比=mX1x2(1)+(2)得1nxi+Inx2=m(x1+x2)|11(3)(1)-(2)得Inxi-Inx2=m(

4、xi一x2)Inx1-Inx2,m=-12,带入(3)得x1-x2Inx1Inx2=Inx1_1nx2(x-%)=x1x2(Inx1Inx2)x1-x2X-x21=In%xx2x2、xt1设t=1,t=(0,1),那么1nxi+Inx2=Intx2t72要证x,-x2e,只要Inx1Inx22t1)r2(t-1)r(此处很重要,指对骞别离)只要Int2即可,即只要Int0,所以g(t)在(0,1)单调递增所以g(t)g(1)=0,即Int-2(t-1)0,即Inte23、f(x)=xe;假设f(x)=xe.且,f(x,)=f(x2)124、函数f(x)=-x十(1a)xalnx,awR,有两个

5、不同的零点x1,x2求证：x1x22证实：f(x)的定义域为(0,y)x显然aE0时,不符合题意(x1)(x-a)f(x)=-,a0时当xw(0,a)f(x)0,f(x)单调递增f(x)有极小值f(a),且0x10a)二F(x)在(a,2a)单调递减二F(x)F(a)=0f(x):f(2a-x)f(x2):f(2a-x2)又f(x)1=f(x2).f(x1)f(2a-x2)又Kw(0,a)2a-x2w(0,a)且f(x)在(0,a)单调递减x12a-x2x1x22a一,、12,.、._又f(a)=-a(1-a)a-alna:二021lnaa-1021,设g(a)=lna2a-1易知g(a)在(

6、0,)单调递增,且g(1)0二由g(a)0易知a1二x1+x?a2aA2a匚5、函数f(x)=xlnx-x(awR),假设函数g(x)=f(x)x有两根极值点2xi,x2,(xi求证:11+1nxilnx22aeao证实：g(x)=x1nxx-x,(x0)2g(x)=Inx-ax1-ax设h(x)=1nx-ax,(x0)h(x)=x当aE0时,h(x)0,h(x)在(0,收)单调x递增,不符合题意,._,41.1当a:0时,假设xw(0,),h(x)0,h(x)在(0,-)上单倜递增aa1.1右xw(一,+),h(x)0h(x)在(一,收)单倜递减aa11,h(x)一h(-)=In1aa依题意

7、h(x)有两根不同的零点x1,x2,不妨设0x12即可,1nxi1nx2卜面证实：由上可知:11nxi1nx2=ax1=ax211111()1nx11nx2ax1x2且1nx1-1nx2=a(K-x2)1_x1-x2a1nx1-1nx211=XW1nxi1nx21nxi-1nx21)x1x21/Xx2、(一)1n区x2x1x2设1=*1三0,1故只要*211nt1(t-t)22即2t1ntt+10即可令m(t)=2tlnt-t21,t(0,1)m(t)=2(lnt-t1)易知m(t)在(0,1)单调递增,m(t)m(1)=0即2tlnt-t210所以原结论得证.6、awR,函数f(x)=xae

8、x+1有两个零点x1,x2,(x1cx2).(1)求实数a的取值范围.(2)证实：ex1+e2解析：设t=ex,x=lnt那么原函数有两个零点可转化为lnt-at+1=0有两个根t1,t2(t12只要t1+t2a2即可2(万法一)：对数均值不等式可证t1+t2(2)a(方法二)：构造函数先设g(t)=lnt-at+1(t0)一.,11可得g(t)在(0,)单倜递增,在(一,收)单调递减aa1可得0:二x1:二一：二x2a2一一要证t1+t22只要t2-x1即可a2只要g(t2)g(X)即可,又g(t1)=g)2)a2构詹函数h(x)=g(t)_g(-x)a1.7、f(x)=x-xlnx2(1)

9、求f(x)的单调区间求证:Xix2(2)假设f(x)=2有两个不等实根x1,x28、函数f(x)=exax有两个零点2?2(为x2)那么以下说法正确的选项是()Ax1+x22B.a1D.有极小值点解析：(1)f(x)=exa有极值点=1na而且f(1na)=a-a1na：0aex1X2-ax1=0-ax2=0x1=Ina+1nxix2=Ina1nx2-(2)得x1一x2=1nx=1nx2xx2x1-x二1x1x221nxi-1nx2xix2(3) 为x2：1(4) x1x2=2lna1nxix2二2lna=2x0卜面另证x1x22ex1-ax1=0xe-ax2=0.1ex1设t=上(t1)x1

10、(t-4)x1.e1=tInt.x1二t-1Int.Xx2=(t1)-t-12(要证)只要1nt_2(t7)A0即可t11nt此处不宜直接令g(t)=(t+1)丁7也不要转化为g(t)=(t+1)1nt2(t1)睡0原那么是指对哥别离设g(t)=1nt_2tti1)g(t)1_4J(t1)22(t-1)2cA0-0t(t1)2,g(t)在(1,)单调递增g(t)g(i)=o所以x1x22x1x2=tx；=t那么-1(要证)t-1只要1ntt-1rM0即可t设h(t)=lntt-1t二h(x)=；1t21-tt2：二0,h(t)在(0,)上单调递减,h(t)二h(1)=0.X1X2：11.9、f

11、(x)=x-xlnx,假设f(x)=2有两个不等实根X2,X22求证:11十xx2、r1证实：设t=,t0x那么g(t)=:Int2t2lnt2t,(t0)那么g(t)=a有两不等实根t1,t2(不妨设t1一即可e又g(t)=-2(1lnt)4t21._j.tw(0,)时,g(t)0,g(t)单调递增e1 ._tw,一)时g(t)0,g(t)单调递减e1、 eg(t)max=g(一)=e2e12万程g(t)=a要有两个不等实根,那么a得证a、,2(万法2):要证t1+t2-一2一一.2,只要12AT只要g(t2)g(T)ee2.又g(ti)=g(t2)所以只要证g(ti)g(L)e2构造函数h

12、(t)=g(t)-g(-t)e以下略10、(2021年新课标i)f(x)=(x2)ex+a(x1)2有两个零点(i)求a的取值范围(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证实：x1+x22lnx11、(2021年中国科技大学自主招生测试)函数f(x)=3x求函数f(x)的单调区间和最大值(2)设02e,其中e为自然对数的底数1 -xV12、(2021年湖南卷)函数f(x)=ex2 x(1)求f(x)的单调区间(2)证实：当f(x1)=f(x2)(x1#x2)时,为+x2e15、f(x)=xlnx的图像上有两点,其横坐标为0cxix21,且f(x1)=f(x2)证实：2cxi+x21e2(2)证实：1亚十jxr1,求t的取值范围1解析：(1)f(x)=1+lnx,令f(x)=0得x=e一,1一11所以0cxicx2以下略e要证实x1+x21只要x21-x1即可111111、(由于x11一一:一且,x2-)eeeee1而f(x)在(,收)单调递增e所以只要证实f(x2)f(1-x1)只要f(x1)0e一1一一故必存在x0u(0,),使得g(%)=0e1故g(x)在(0,%)上单调递减,在(x0,2)上单调递增1又