1006014248高洁线性方程组的极小残余算法

1、学校代码10722分类号学号1006014248密级公开咸阳师范学院本科毕业论文线性方程组的广义极小残余算法（中、英文）TheGeneralizedMinimalResidualAlgorithminsystemoflinearequations作者姓名高洁数学与应用数学专业名称学科门类指导教师提交论文日期成绩评定理学马欣荣2014年4月线性方程组的广义极小残余算法（即GMRES算法）高洁（咸阳师范学院数学与信息科学学院陕西咸阳712000）摘要伴随科学技术的进步与快速发展，大规模稀疏线性方程组的求解成为很多问题的解决方法之一，然而一种求解大型非对称线性方程组有效的迭代方法之一就是广义极小残余

2、算法。本文章就是通过对线性方程组的学习及相应矩阵理论知识的了解，探究Krylov子空间上广义极小残余算法的基本理论。首先，介绍线性方程的一些基本概念，定理和问题；下来为研究做一些准备工作，了解投影法的基本思想和Krylov子空间；文章的最后给出了在Galerkin原理之下的广义极小残余算法和在其他方面的一些应用。关键词：线性方程组；广义极小残余算法；Krylov子空间法；投影法；正交；矩阵。TheGeneralizedMinimalResidualAlgorithmInSystemOfLinearEquations(asGMRESalgorithm)GaoJie(SchoolofMathema

3、ticsandInformationScience,XianYangNormalUniversity,ShanXiXianYang712000)AbstractWiththerapiddevelopmentofscienceandtechnology,moreandmoreproblemstosolvinglarge-scalesparselinearequations,however,generalizedminimalresidualalgorithmisakindofnonsymmetriclinearequationiterativemethod.Inthispaper,through

4、studyoflinearequationsandthecorrespondingmatrixtheoryknowledgeunderstanding,studyKrylovsubspaceonthebasictheoryofgeneralizedminimalresidualalgorithm.Firstofall,introducessomebasicconceptsoflinearequations,theoremsandproblems;Downanddosomepreparationworkforstudy,understandthebasicideasandKrylovsubspa

5、ceprojection;FinallyundertheGalerkinprincipleofgeneralizedminimalresidualalgorithmanditsapplicationinotheraspects.KeyWords:linearequations;GMRESalgorithm;Krylovsubspacemethods;projectionmethod;Orthogonality;matrix.摘要IAbstractn目录田1引言12线性方程组12.1 线性方程组的定义12.2 线性方程组的三种表示形式12.3 线性方程组的求解问题23基本理论31.1 投影方法的

6、基本思想31.2 Krylov子空间的简介54 GMRES算法的理论64.1 Galerkin原理64.2 Arnoldi算法74.3 GMRES算法105 GMRES(m)算法在其他方面的应用145.1 在离散不适定问题中的应用145.2 求解三维第一类Fredholm积分方程15总结17参考文献18谢辞191引言数学研究的主要对象之一是线性方程的研究，它有着严谨的理论，和独特的解决问题的方法，也可以应用于各个领域的多种实际问题的处理，并且在这快速发展信息的社会中，尤其是工程计算技术和科学水平的发展，有着越来越多的复杂的大型的问题，在需要解决的这些诸多问题的同时更重要的是需要求解一些大规模离

7、散不适定的线性方程组，并且例如有：有限差分，有限元素值的求解，数理方程的反问题等等，快速高效的求解这几类方程成为数学研究之中矩阵与数值代数研究的主要热点之一。在1986年，由M.H.Schltz和Y.Saad两位著名数学家提出的关于基于Galerkin原理的GMRES(m)算法，并且此算法是一种求解非对称线性适定方程组的Krylov子空间投影法，而且是采用正交投影或斜投影之一在子空间上产生迭代向量进行的计算。因为广义极小残余算法是关于基于Krylov向量的完全化正交化，所以在于对应的Krylov子空间有且只能求出一个近似解或着拟最小残值。在且加上以该算法计算的所需要的内存量和计算量较少等优势，

8、所以在社会上目前广泛应用于各种工程应用领域的各种问题。本文章在矩阵论与数值代数的基础上主要研究线性方程组的一个迭代方法，即广义极小残余算法的理论与应用。2线性方程组2.1 线性方程组的定义2.1.1 线性方程组指各个方程关于未知量均为一次的方程组。2.1.2 齐次线性方程组指对于一般线性方程组来说，常数项均为零。2.1.3 非齐次线性方程组指对于一般线性方程组来说，常数项不全为零。2.2 线性方程组的三种表示形式2.2.1 一般形式的表示一般线性方程组是指形如即为312X2ainXn'b32lXl+322X2+32nXn=b?(2.1)I3m1X1am2X23mnXn=bm的方程组，其

9、中Xi,X2,，是指n个未知量，m是指该方程组所包含的方程的个数,aj(i=1,2,，m;j=1,2,，n)是方程组的系数，bj(j=1,2,，m)是常数项。并且由(2.1)式可以看出，一个线性方程组的确定是完全由方程组的系数和常数项所确定，且在下方程组的常数项写在方程等式的右边。2.2.2 向量形式的表示可以表示为：X1al1II比1.其中1-|：尸2j3m1_2.2.3矩阵形式的表示可以表示为：其中A=(1,2,:于此特别的，如果方程组中1X22Xn3123n1IIII322.an,n：,i3m2_j3mn_AX=b(),X=(X1,X2,Xrb=0,则可以把AX=bn=b(2.2)b1b

10、b2屋I-bm.(2.3)T卡作为齐次线性方程组，而如果方程组中b¥o,则可以把AX=b称作非齐次线性方程组。2.3 线性方程组的求解问题2.3.1 一般方程组一般的小型的线性方程组可以利用解的性质与Cr3mer法则求解，解决一些相关问题。2.3.2 特殊系数方程组对于方程AX=b的系数矩阵具有某些特殊的性质，例如：系数矩阵A对称正定；1D1H有性质即存在交换矩阵P,使得PAP=rD1其中D和D2为两个对称矩阵；H矩阵，则可以根据这些加在系数矩阵A上的条件，采用SOR和SSOR迭代，最速下降法等方法求解。2.3.3大型一般条件方程组对于求解大型线性方程组且方程的系数矩阵不在具有某些特

11、殊性质，即力图在最一般的条件下，讨论AX=b的求解问题，这就是本文章主要研究的线性方程组的求解问题，我们只假定方程中的系数矩阵是一个非奇异矩阵。3基本理论3.1投影方法的基本思想假设需要求解如（2.3）式方程组，其中的系数矩阵A是大型非对称矩阵，并且还是非奇异的矩阵。假定A和b都是实矩阵，且令Vm=v1,v2，vml是n维空间中一组m个线性无关的向量，Km=span（Vi,V2,，Vm）是Vi,V2,，Vm所张成的子空间。则其的基本思想就是找一个（2.3）式的近似解X（m）且使得：X（m）-Km（AX（m）-b）-LVjj-1,2,ml.（3.1.1）令X（m）=Vm#m）,其Y（m）是一个m

12、维向量，则（3.1.1）式可以改写为VnTAVmY（m）=VnTb（3.1.2）假设（3.1.2）有唯一解，则可通过求解一个m个未知数的方程，得到Y（m）,从而得到X的一个近似解X(m)。例1.11-1101A=110,V2=01,b=2231一-00一-31根据以上可直接计算得到对应的（3.1.2）式为I 11II i22（3.1.3）可以得到，转化为（3.1.3）式的方程组无解。所以为了避免出现这一算法上的困难，不得不假设所取Vm使得（3.1.2）式有唯一解c例2.如何选Vm,使得算法在计算机上可非常有效的实现？答：令Um表示在子空间Km上的正交投影算子，且假设bWKm,将可以在下面的推论

13、中看出，所假设的不难实现。用正交投影算子的符号，方程（3.1.1）可改写为XfKm1（m）（3.1.4）二m（AX（m）-b）=0为方便理论分析，再引入算子儿,其代表口mA并限制在定义域只在Km之上，这样找近似解X（m）就变为求解AmX-b0（3.1.5）的问题，其中因为假设bWKm,所以可得nbb=b。由以上可得到的近似解与（2.3）式的精确解（X"）之间存在着误差值，具体有多大的误差？我们先看以下引理：引理1令路=gmA（I-0m）巴则方程（3.1.4）式满足-b-Am-mX二工1-（-二m）X-（3.1.6）证明：b-AmX：=b-mA-mX"=b-mAX-C-mX=

14、-mA（'-m）X又因I-Rm是一个投影算子，所以-b-Am-mX-=-mA(-m)(-m)X-三rm二(-二m)X一引理证完。为推导误差结果，所以在假设Am是可逆的，且<=gAm1g下，有如下定理：定理1gX”-X(m)-3+41g(I-口m)X*g成立。证明：因为Am是可逆的，且X(m)满足(3.1.5)式，所以X(m)-mX-=Amb-Am-mX")又因X(m)wKm,所以nmX(m)=X(m)。则根据(3.1.6)式，有grim(X*-X(m)gWKmm*1-小/%(3.1.7)又X*-X(m)=(i-nm)X*+nmX*-Xm)并且上式右端两个向量彼此正交，于

15、是X-X(m)一2=-(-.-m)X-2-m(X"-X(m)-2在由(3.1.7)可以得到：gX*-X(m)g</十席g(I-口m)Xr(3.1.8)定理证完。但是根据(3.1.8)式，不能完全说明X(m)是某种意义下的近似解。3.2Krylov子空间的简介对(2.3)式大型线性方程组，可取X0wRn为任意向量，且令X=X0+z,则(2.3)式可化为Az=ro(3.2.1)其r0=b-AX。对一个固定整数m>0,令左右空间分别为Lm=AKm,Km=Span(r0,Ar0,，A%(3.2.2)在子空间Km中找(3.2.1)的近似解Zm,并且使得(3.2.3)zm=VmYm&

16、#39;Kmrm=b-AXm=ro-Azm_LmVm=m,V2,，Vm是在学习了Arnoldi算法后利用Arnoldi过程（下面讲到）的方法构造出来的右空间Km的正交基矩阵。4GMRES算法的理论4.1Galerkin原理给定任意X。wRn,令X=X0+z,则方程组（2.3）等价于Az=0（4.1.1）其r。=b-AX。则需要求解的线性方程组（4.1.1）的Galerkin原理如下所述（在以下文章中规定所有的向量的范数为2,AWRnxn,bwRn）:设Rn中有两个m维子空间0和Lm的基分别为V:和叫普，找方程组（4.1.1）的近似解Zm-Km,使得（ro-AZm）lLm,即（r。AZm）1Wi

17、（i=1,2,m）（4.1.2）构造矩阵Vm=（V1,V2,，）和Wm=（W,W2,，Wm）,由Zm可得Zm=1V1-2V2''-mVm=VmYm其中ym=（2,Jm）TWRm。则（4.1.2）式可写为WT（r。-AZm）=。即WT（。AVy=。（i=1,2，,m）或W；（。-AVY）=。TT也是（WmAVm）ym=Wmr。（4.1.3）如果WAVm可逆，则有T.1TYm=（W>Vm）r。从而有Zm=Vm(MAVm),Mr0(4.1.4)根据以上原理，可以建立求解方程组(2.3)的迭代格式。任给定Xwr1记X0=X(0),过程如下：对k=0,1,2，(1)r0=bAX0,

18、由方程组(4.1.3)解出Ym,计算V(k1)k(1X=XVmym(4.1.5)(2) X0=X(k相继续(1)。对于以上所述，如果对于其中某个k出现W】AVm不可逆的情况，则称此算法的计算发生中断，所以在这种情况下一般需要更换X(0)进行重新计算。4.2Arnoldi算法适当的选取m和X(0),使得r0,A不力畿性无关。一般选取Lm=Km=Sparfr。Ar0，Amr。,胺照下面Arnoldi过程构造它的标准正交基vj,在这组正交基下，方程组(4.1.3)的系数矩阵和右端项有比较简单的形状。m1Arnoldi过程设r0,ArO,，Ar0线性无关，构造：0(1) V1=,V1=0-1。-(2)

19、 v2=Av1-h11Vl要求V2-LV1,可得1=AV),V1。V2#0,否则r0,Ar0线性相关。1h2广-v2-,V2hV21;2(3) v3;Av2-h22V2一hl2V1要求V3-LVi,可得hi2=Av2,Vi(i=1,2).%,0,否则r0,Ar0,A2r0线性相关。一二h32=-V3-',V3hVJ23m.1(m)vm=AvmJ-hi,mJvii1要求vm1vi,可得hi,m=Avm,，vi(i=1,2，,m-1).心#0,否则0,人石，人心r0线性无关。1hv-v=hvj1 'm,m-1Vm,vm1'mm,-vr1i;m(m+1)vm1=Avm一him

20、viiJ要求vm书,vi,可得him=Avm,vi(i=1,2，,m-1)1hm1,m-&vm卡k0时，vmHhm书,mvm书.于是可以得到Km的一组标准正交基vlM，以及vm41，Km在看其中的误差分析：定理2对于m>0,若ym为方程组（4.2.3）的唯一解，则Zm=Vmym(4.2.1)满足在0Az|二h1,mT扁ym证明：根据之前介绍的Arnoldi过程，在此利用Arnoldi过程的矩阵表示形式可以得到0-AZm=r0-AVmHm：eT、.，二_r0-(VmHmhm-1,mvmem)Hm-e1_(r0-Vme1)-hm1,mvm1(emHmel)Thm1,mvm1(emym

21、)当v：”0时，|vm|=1,上面式子两端取范数既得（4.2.4）式；当vm4!=0时，hm+m=0,上式成为r。-AZm=0,两端取范数也可以得到（4.2.4）式。该定理表明，对某m,如Hm可逆，则h4=0,即Jm书=0时，Zm=Z*成立。m1,m原理型Arnoldi算法在此需要通过增大其中的m来确定Zm,并且使得舐A。g6(名0为其所指定的误差界)。算法的计算步骤如下：(1)给定XowRn,计算ro=bAXo.(2)对相应的m=l,由以上所述的Arnoldi过程求出V。及心中(1=1,2,)。Hm不可逆时，算法产生中断，更换X(0)继续(1)。Hm可逆时，求解Hmy=Pe得到ym,并计算Z

22、m=VmYm.(3) Vm书=0时，X*=X0+Zm停止。Vm书00时，若g0AZmg<名，取X*%X0+Zm停止。若甑-Azm金W，用l+1代替l继续(2)。该算法用于求解大型方程组(n喧1)时，但对于一般m也需要相当大，从而计算量相当大，为了克服这一缺点，其中一个办法就是固定m,只对Zm进行修正的迭代方法，即下面的循环型算法。循环型Arnoldi算法在此需要通过固定m来迭代计算Zm,并且使得打°-Azm名。计算步骤如下：(1)给定mgn,选取X(0)正Rn,计算r(0)=bAX(0),记r。=r(0)。(2)用原理型Arnoldi算法求出Zm=Vmym.形成迭代X(k由)=

23、X(k)十zm或着严)=r(k)Azm(k=0,1,2,)(3) gr(k*g<a时，X*X(k*)停止。gr(k+)g=时,r0=r(k+1)继续(2)。在该算法中，由于mgn,所以计算Zm的工作量不是很大，但当k21时，如果原理型Arnoldi算法产生中断，则所有计算全部白做。虽然循环型Arnoldi算法有效，但其收敛速度有时会超过共腕梯度方法。4.3GMRES算法因为在之前所讲到的Arnoldi算法中有中断的一些问题难以解决，并且在此理论上也很难分析其收敛性，所以有了其解决其缺点的方法，其中之一就是有效的GMRES算法。选取m及X。使得0,AU，次俄性无关，因为A可逆，所以2mKm

24、=spn,r0Ar,mA）rAr。，Ar。,，Ar。也线性无关。构造2mLm=spanoAr井r,。玛r找方程组（4.1.1）的近似解心WKm,使彳#（r。-A。）1Lm,可转化为如下最小二乘问题定理3对于m。，ZmWKm满足（r。-AZm）-LLm的充要条件是r。一Azm=mknaz证明：必要性若ZmKm满足（r。-AZm），Lm,则对任意的ZKm22r。-Az=（r。-AZm）-A（Z-Zm）有22=r。-AZm-2r。-AZm,A（z-Zm）A（z-Zm）|因为ZmWKm,Z-Km,所以（Z-。尸（，即有数组ki,卜2,，km,使得z-zm=kir。k2Ar。kmAm'r。A（z

25、-Zm）=kiAr。k2A2r。kmAmrg从而A（z-Zm）=Lm。于是由（r。-AZm）-LLm可得r。_AZm,A（z-Zm）=。2222因此r。-Az|r。-Azm|A（z-加|；|r。Azm22充分性若卜。-AZm|=mnr。-Az|,则对任意的v£Km和口亡R有z-km22f（二）=r。-A（Zm=v）=（r。-Azm）-:Avr。-AZm-2ar。-AZm,Av+a1|Av|22fG）.r°-AZm=f（。）一'_由此可以得到£（。）=。，即r。Az,AvQ对任意的w-Lm,存在数组G,C2,，”,使得w=CiAr。C2A2r。CmAmr。:

26、ACr。C2Ar。7Am7。）m1特别的，取v=qr0-cAr0CmArKm则有r0-AZm,w=r0-AZm,Av=0因此(0-AZm)_LLm。根据定理3,可以建立确定Zm的极小化方法。就是利用之前所讲到的Arnoldi过程并m利用其来构造Km的标准正父基V。1及Vm+1,在引进对应的矩阵Hm.Thm-1,memHmh彳eTm-1,m5Hm则(4.2.1)可以写为A%=(4Vm1)其中Vm.1=(Vm4.i).设ZWKm,则有唯一的列向量yWRm,使得Z=Vmy。由于10-Az|=|r0-AVmy|=/。-4日丫|=|Vm由(P0-HmH=|P0-Hmy|(0日於卡)所以k0-AZmll=

27、琼*0-Az|=屋"%rHmy|(4.3.1)由矩阵的广义逆及其应用中定理可以得到(4.3.1)式的极小范数解为ym=Hm(Pe),或者Zm=VmH；(Pe),因此，GMRES算法不会产生中断。原理型GMRES算法在此需要通过增大其中的m来确定对应的使得射0-AZmg<名。计算步骤如下：(1)给定X。wRn,计算r0=b-AX。及P=卜。|o(2)在此对于m=l,则可以由Arnoldi过程求出&及Hm(I=1,2，)(3)求解minpei-Hmy|得到ym。yR(4)计算Zm=Vmymogr0A#g<名，取X*忠Xo+Zm停止groAzmg至e,用+1代替l继续(

28、2)。当m=n时，由(ro-Azm)1Lm=Rm可得r°-AZm=0,即原理型GMRES算法可以给出方程组(4.1.1)的精确解Z”，从而可以得到方程组(2.3)的精确值X*。但对于大型方程组(n>1),m很大时，计算量增大，为了解决这一缺点，有下面的循环型GMRES算法。循环型GMRES算法在此需要通过固定其中的m来迭代计算Zm,使得go-A。名。计算步骤如下：(1)给定mgn,选取x(0)wRn,计算r(o)=bAX(0),记r。=r(o)。(2)由Arnoldi过程求出(vj及Hm。(3)求解哂IPe-Hmy得到ym,并计算Zm=VmYm。y二R(4)形成迭代过程X(k*

29、)=X(k)+Zm,或者(k-1)k()r=r-AZm(k=0,1,2,)(5) gr(k41)g<'时，XlX(k41)停止。(k1)(k1)，g(时，ro-r继续(2)。在循环型GMRES算法中，选择m和求解mirj|pe-Hmy|是计算的两个重要问题，y-R用GMRES(m)代表循环型GMRES算法。011例3设A=|,b=|，用GMRES(m)求解方程组AX=b。-10一1,记ro=r(),求出解：取x(0)=P，计算r(0)=b-AX(0)oHlJ-,?二、/21_2因为|Pg-H1y|=2+y,所以极小点为y=0。于是4=My=从而x(1)=X(0)/=X(由该例题可

30、以看出，不是任意选取m都能使GMRES(m)收敛，但是，如果对方程组(2的系数矩阵A附加一定的条件，且取m适当大时，GMRES(m)可以是收敛。定理4在线性方程组中对于形如方程组(2.3)的线性方程组，如果系数矩阵A相似于一个对角矩阵，则存在一个充分大的m,并且使得GMRES(m)收敛。在来看观随舱-Hmy|的求解问题：由于。,Ar。,，Amr。线性无关，所以ym111rankVm=m。又A可逆，所以rank(AVm)=m。在由AW=%Hm可以得到ranknH=,怏而1的列向量组线性无关。根据矩阵的QR分解理论，可以存在一个m+1阶的正交矩阵Q(是有限个Givens矩阵的乘积或者是有限个Hou

31、seholder矩阵的乘积)，使得qH其中T为m阶可逆上三角矩阵。m0记Q(Pq)=(q；'-,Cm,cm+)T,根据Q的正交性，有一|2IBe-Hmy=怆'Hmy=：-Ty十扁|由此可以得到：mRn|Pei-Hmy|的解ym是方程组Ty=C,，Cm)T的唯一解，而且°自-Hmym-Cm由。5GMRES(m)算法在其他方面的应用5.1 在离散不适定问题中的应用1 .离散不适定问题就是指类似于上述线性方程组(2.3)的线性方程组的求解问题或着是最小二乘问题min|b-AX2,如果在下面的两个条件中任意成立其中的一个就被称为是离散不适定问题：(1)线性方程组中的系数矩阵A

32、的条件数很大，或者系数矩阵A的最大奇异值与最小奇异值的比值很大；(2)线性方程组中的系数矩阵A的奇异值逐渐下降趋于零。2 .求解该不适定问题的GMRES(m)算法对于方程(2.3),在矩阵A的条件数非常大时，为不适定方程，选取合适的正则参数，利用正则化方法把(2.3)式转化为(ATA+«I)x=ATb(5.1.1)且记A=ATA+a|h=ATb,其中AT是A的转置，则方程(5.1.1)变为Ax=b(5.1.2)利用GMRES(m)算法求解不适定问题(5.1.2),算法如下：(1)初始化输入相应的A,9,和其初始向量X0,通过最大迭代次数m以及精度要求*,则可以的迭代的初始值为0=X1

33、-A%B=卜0"=0Vi=Vi(2) Arnoldi过程1)正交化hj=vTA4i=1,2,，j司士=A1Vj£h”j=1,2；",mi1hj+,j=vj+|22)标准化如果hjHj<2,则继续步骤(5);否则Vj书=?j由/hj札j,j=j+1,继续步骤(2)中的正交化。3)求解新的Vj书和Hj-h1-八，tVj书=(VJ,Vj4l)Hj=|hj=(h1j,h2j,匚hij)-j出-(j书)Xj(3)解最小二乘问题|m|=哂|昵-Hmym|(5.1得ym，Xm=%+Hmym。(4)如果卜m|T|X-Abm|f则输出Xm。(5) 0=/J。=m，%=rm/|

34、m|，则转为步骤(2)。5.2三维第一类Fredholm积分方程的求解1.三维第一类Fredholm积分方程fdb例如：T(f)=K(s,u,v,x,y,z)f(x,y,z)dxdydz=g(s,u,v)eca(5.2.1)其中：x,y,zw以uR3,s,u,vwc2uR3,称为三维第一类Fredholm积分方程。根据数值积分公式可将式(5.2.1)写为如下矩阵形式：Af=g(5.2.2)2.三维第一类Fredholm积分方程求解的GMRES(m)算法在上述的线性方程组(5.2.2)中，设其中的系数矩阵A为n阶方阵，g,f亡Rn,对于定的初始向量f。，令r0=g-Af。，取Krylov子空间K

35、m=Spanfr。,Ar。,，Am'r。利用上面所叙述的GMRES(m)算法求解三维第一类Fredholm积分方程，算法如下：求gmWKm,使得，km卜卜0-Afm卜minIIr0-AfL(5.2.3)、m且将fm=f。+。作为式(5.2.2)的近似解，选取过程如下所述：对初始值f0wRn,第m步的问题是求解:(5.2.4)力(x)=u-Af2在m维的超平面fo+Km(A,ro)上极小值点为fm,且r°=u-Af0,则：fm=fo+A可作为式(5.2.2)的近似解。加上上面所诉述的三维第一类Fredholm积分方程的不适定性，所以可以把正则化方法与广义极小残余算法结合运用，使

36、得计算简单，先将(5.2.2)式转化为：(ATA+3)f=ATg(5.2.5)记为AJ=g1(其中Ai=ATA+aI,g=ATg),口>0为正则化参数。则转化为利用GMRES(m)算法求解该方程，计算步骤如下：(1)初始化在此输入相应的A和g然后在选择合适的力乏Rn,最后输入其最大迭代次数m和误差精度6,计算r0=g1-Af0,v1=r0/卜0;(2)Arnoldi过程(得到vi；和Hm)1)正交化hj=vTAvi-1,2,jvj1=AVj-'hjVij=1,2,mi=1hjfTlvj22)标准化如果hj41,j<6,则继续步骤(4);否则Vj书=?+/hjHj,j=j+1

37、,继续步骤(2)中的正交化。3)求解新的V书和Hj-HV书=M,Vj由)Hj=；一0(3)解最小二乘问题hjhj1,j,(j1)jhj=(h1j,h2j,hj)T|rmprniri|r0|ei-Hmym|,得到y和口=fo+vmymy二r(4)计算km|=|忖1一Alfm|,如果|rm|<5,停止，输出fm；否则，rm=%,f0=fm，V=1m/kl,继续步骤(2)。总结四年的大学生活马上就要结束了，想想刚刚还是学校的新生，忽然又成了学校的毕业生，时间过的真的很快，人生就是这般匆匆。在这期间有苦有甜，有泪有笑，丰富而充实的度过了美好的大学，刻苦努力和勤奋学习让我学会了很多，也为这最后的学

38、习成果一毕业论文奠定了基础，可以更好的完成。2013年12月，我的毕业论文准备开始了，从开始到现在，基本上完成了。从开始的盲目无措，毫无头绪，到找到论文的感兴趣方向，慢慢着手，最后通过各种文献的研究让自己有了论文的思路和框架，直到论文初稿完成。在这期间让我明白了有努力就有回报，几个多月的汗水换来了毕业设计的最终完成，并且对学术研究有了不一样的认识，学会了很多东西。刚开始拿到“线性方程组的广义极小残余算法”这个论文题目，心都凉了，根本不知道是什么知识，也不知道要看哪方面的书籍，不知如何下手。我将这一困难告诉了老师，老师很细心很详细的给我做了指导，告诉我这是哪方面的内容，哪些书籍对我的写作有帮助。

39、于是就立刻着手收集各种资料，使我对自己现在的研究方向和方法有了一点掌握。1月初到3月下旬，从开始搜集资料到写论文，每星期都去图书馆，不断查资料，有时候想要放弃，但在老师的指导和同学的帮助下还是坚持下来了，同时不断的整理资料，使我对这个题目从了解到深知。在之后的阶段中，写论文初稿，可是遇到一些公式编辑等的难题，一些软件不太熟悉，自己认真的一点点的摸索在请教老师和同学，也使自己对文章有了新的认识，并且发现了很多不足，最终顺利的完成了。当我终于完成了所有的论文任务后感觉整个人都很累，可是当自己看着电脑荧屏上的毕业论文时，心里是甜的是满足的，觉得所做的一切的努力都值了。这次毕业论文的完成过程更让我欣喜，它不仅是一次创新，更是让我熟悉了在大学里学到的知识，并且很好的运用到现实生活中。这几个月的论文写作是我在大学生活中的一个总结，也是一个开始，在我徜徉书海查找资料的日子里，面对无数书本，最难忘的就是每次找到资料时的激动和兴奋。在整个的论文写作过程中，让我学到了新的知识，增长了见识，并且在以后的学习和生活中，我也会坚持学习专业知识，做