2006-2007学年度4月北京市朝阳区高三第一次模拟（文）答案

1、2007年4月北京市朝阳区高三统一考试数学（文科）参考答案一、选择题1D2B3B4A5C6B7A8D二、填空题963， 82，5510±2 112121613，（4，6）或（4，6）140，2三、解答题15解：（）因为f ( x ) = 2a·b + 1 = 2 ( cos x , sin x ) · ( cos x , cos x ) + 1 = 2 ( cos2x + sinx cosx ) + 1 2分 =1 2cos2 x + 2sin x cosx = sin2x cos2x 4分 = 6分所以f ( x )的最小正周期是T = 7分（）依条件得2k+2

2、x2k+( kZ ) 9分解得k+xk+( kZ ) 11分又x0，2，所以x,x即当x0，2时，f ( x )的单调减区间是， 13分16解：（）甲队以二比一获胜，即前两场中甲胜1场，第三场甲获胜，其概率为P1=×0.6×0.4×0.6 = 0.288 4分（）乙队以2 ：0获胜的概率为P2 = 0.4×0.4 = 0.16 ;乙队以2 ：1获胜的概率为P2 =×0.6×0.4 = 0.192乙队获胜的概率为P2=0.42+×0.4×0.6×0.4=0.16+0.192=0.352 13分17方法一：（

3、）因为E、F分别是棱AD、CD的中点，所以EFAC所以BCA是EF与BC所成角。 2分因为正四面体ABC为正三角形，所以BCA = 60°即EF与BC所成角的大小是60° 3分（）解法1： 如图，连结AO，AF，因为F是CD的中点，且ACD，BCD均为正三角形，所以BFCD，AFCD因为BFAF = F，所以CD面AFB。4分因为CD面ACD所以面AFB面ACD。 5分因为ABCD是正四面体，且O是点A在面BCD内的射影，所以点O必在正三角形BCD的中线BF上。在面ABF中，过O作OGAF，垂足为G，所以OG面ACD。即OG的长为点O到面ACD的距离。 6分因为正四面体AB

4、CD的棱长为1，在ABF中，容易求出AF= BF =，OF =，AO =，因为AOFOGF，故由相似比易求出OG =。所以点O到平面ACD的距离是 8分解法2 ：如图，连结AO，CO，DO， 所以点O到平面ACD的距离就是三棱锥OACD底面ACD上的高h，与解法1同理容易求出OF=，AO= 4分所以VACOD =·（··1）=。因为VOCOD = VACOD 5分所以= VOACD = · h · (··1)6分解得h = 8分（）（文科）连结OD，设OD的中点为K，连结EK，则EKAO。因为AO面BCD。所以EKBCD。在

5、面BCD内，过点K作KNCD，KN交BF于M，交AB于N，因为BECD，所以KNBF，连结EM，所以EMBF。所以NME是所求二面角的平面角。 10分。因为EK=AO =·=，MK =FD =CD =， 所以tanEMK =。 12分所以tanNME = tan (EMK ) =。所以所求二面角的大小为 arctan 13分方法二：如图，以点A在面BCD的射影O为坐标原点，有向直线OA为z轴，有向直线BF为y轴，x轴为过点O与DC平行的有向直线。因为正四面体ABCD的棱长为1，所以可以求出各点的坐标依次为：O ( 0 , 0 , 0 ) , A ( 0 , 0 , ) , B ( 0

6、 , , 0 )C (, 0 ) , D (, 0 )E ( ,) , F ( 0 , , 0)（）因为= (,),= (,0 )又·=×+××0 =，且| =| = 1所以cos所以EF与BC所成角的大小是60°分（）因为= (,) , = (,),设平面ACD的一个法向量为= ( x1 , y1 , z1 )由· = 0， · = 0，解得 = ( 0 , 2 ,).因为，· =，| | =，所以点O到平面ACD的距离等于d = 8分（）因为= (, ) , (0,0),设平面BEF的一个法向量为FBEF =

7、( x2 , y2 , z2 )由可得BEF的一个法向量FBEF =。 10分容易得到平面BCF的一个法向量FBCF =（0，0，1）因为FBEF·FBCF = 3 ， |FBEF| =， |FBCF| = 1所以cos=. 12分所以二面角CBFE的大小为arccos=arccos 13分18解：（1）由f (x) =x3+ax2+ bx +c，得f(x) = 3x2 + 2ax + b 2分x = 1 时f ( x )有极值，f( 1 ) = 3 + 2a + b = 0f ( x )在x = 2处的切线l的倾斜角为，f(2) = 12+4a+b =tan=1由可解得a = 4

8、, b = 5 4分设切线l的方程为y =x+m，由坐标原点（0，0）到切线l的距离为，可得m =±1，又切线不过第四象限，所以m = 1 ，切线方程为y = x + 1 6分切点坐标为（2，3），f ( 2 ) = 8 16 + 10 + c = 3 ，所以 c = 1故a = 4 , b = 5 , c = 1 7分（）由（）知f (x) =x34x2+5x+1 , f(x)= 3x2 8x + 5 = (x 1) (3x5)x1, , 函数f (x)在区间1，1上递增，在上递减 9分又f ( 1 ) = 9 ， f ( 1 ) = 3 ， 12分f ( x )在区间上的最大值为

9、3，最小为 9 13分19解：（）由题意，得，即Sn =+故当n2时，an =SnSn1= (+) = n + 5 2分注意到n = 1时，a1 = S1 = 6，而当n =1时，n + 5 = 6 3分所以，an = n + 5 (nN*) 4分 又bn+2 2bn+1 +bn = 0 ,即bn+2 bn+1 bn (nN*)所以bn为等差数列。 5分于是而b3 = 11，故b7 = 23 , d =, 7分因此，bn = b3 + 3 ( n 3 ) = 3n + 2 .即bn = 3n + 2 ( nN*) 8分（）cn = = 10分所以，Tn = c1 + c2 + cn = = 12分由于Tn+1 Tn =0，因此Tn单调递增，故( Tn )min =. 13分令，得k19，所以kmax = 18 14分解： 20（）设所求的双曲线的方程为 ( a0，b0)则|OF|×=，c = 1分b2 = c2 a2 = 2 a2 2分由点P ( 2, )在双曲线上，解得a2 = 1 5分离心率e = 6分（）设所求的双曲线的方程为 ( a0，b0)，P (x1，y1)则 = (x1 c, y1 ) 7分OFP的面积为 ，| y1 | = . | y1