条件概率和事件的相互独立性

1、一、条件概率和乘法公式一、条件概率和乘法公式三、事件的相互独立性三、事件的相互独立性二、全概率公式和贝叶斯公式二、全概率公式和贝叶斯公式四、小结四、小结第三节条件概率和事件的相互独第三节条件概率和事件的相互独立性立性 将一枚硬币抛掷两次将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现正反观察其出现正反两面的情况两面的情况,设事件设事件 A为为 “至少有一次为正面至少有一次为正面”,事件事件B为为“两次掷出同一面两次掷出同一面”. 现在来求已知事现在来求已知事件件A 已经发生的条件下事件已经发生的条件下事件 B 发生的概率发生的概率.分析分析. , , , TTTHHTHH.2142)( BP事件事件A 已经发

2、生的条件下事件已经发生的条件下事件B 发生的概率发生的概率,记为记为),(ABP31)( ABP则则).(BP 4341 )()(APABP . , 为反面为正面设TH1. 引例引例一、条件概率和乘法公式一、条件概率和乘法公式,TTHHBTHHTHHA )()()(BPABPBAP 同理可得同理可得为事件为事件 B 发生的条件下事件发生的条件下事件 A 发生的条件概率发生的条件概率.)()()(, 0)(,条件概率条件概率发生的发生的发生的条件下事件发生的条件下事件为在事件为在事件称称且且是两个事件是两个事件设设BAAPABPABPAPBA 2. 定义定义例例1 一盒子装有一盒子装有4 只产品

3、只产品, 其中有其中有3 只一等品、只一等品、1只只二等品二等品. 从中取产品两次从中取产品两次, 每次任取一只每次任取一只, 作不放回抽作不放回抽样样. 设事件设事件A为为“第一次取到的是一等品第一次取到的是一等品” 、事件、事件B 为为“第二次取到的是一等品第二次取到的是一等品”试求条件概率试求条件概率 P(B|A).解解由条件概率的公式得由条件概率的公式得24243 2()()( )3 3AP ABP B AP AA.32 例例2 某种动物由出生算起活某种动物由出生算起活20岁以上的概率为岁以上的概率为0.8, 活到活到25岁以上的概率为岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个如果现在有一

4、个20岁的这种动物岁的这种动物, 问它能活到问它能活到25岁以上的概率是岁以上的概率是多少多少? 设设 A 表示表示“ 能活能活 20 岁以上岁以上 ” 的事件，的事件，B 表示表示 “ 能活能活 25 岁以上岁以上”的事件的事件,则有则有, 8 . 0)( AP因因为为.)()()(APABPABP , 4 . 0)( BP),()(BPABP .218 . 04 . 0 )()()(APABPABP 所所以以解解);()()()( ) 3(212121BAAPBAPBAPBAAP ).(1)( )4(BAPBAP ;)(,)(: )(012BPBP规范性则有事件是两两互不相容的设可列可加性

5、, , ,: )(215BB. )(11iiiiABPABP3. 性质性质; 0)(: )1( ABP非非负负性性).()()()()(112221112121APAAPAAAAPAAAAPAAAPnnnnn 则有则有且且, 0)(121 nAAAP, 2,21 nnAAAn个个事事件件为为设设推推广广则有则有且且为事件为事件设设, 0)(, ABPCBA).()()()(APABPABCPABCP ).()()(, 0)(APABPABPAP 则则有有设设4. 4. 乘法公式乘法公式摸球试验摸球试验.,.到白球的概率到白球的概率球且第三、四次取球且第三、四次取试求第一、二次取到红试求第一、二

6、次取到红四次四次若在袋中连续取球若在袋中连续取球的球的球与所取出的那只球同色与所取出的那只球同色只只并再放入并再放入观察其颜色然后放回观察其颜色然后放回任取一只球任取一只球每次自袋中每次自袋中只白球只白球只红球、只红球、设袋中装有设袋中装有atr 解解次取到红球”次取到红球”“第“第为事件为事件设设iiAi)4 , 3 , 2 , 1( .43四次取到白球四次取到白球为事件第三为事件第三则则、A、A例例4因此所求概率为因此所求概率为)(4321AAAAP)()()()(1122133214APAAPAAAPAAAAP atrat3此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型此模型被波利亚用来作为

7、描述传染病的数学模型.trratraratrt2例例5 设某光学仪器厂制造的透镜设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时第一次落下时打破的概率为打破的概率为1/2,若第一次落下未打破若第一次落下未打破, 第二次落第二次落下打破的概率为下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破若前两次落下未打破, 第三第三次落下打破的概率为次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未试求透镜落下三次而未打破的概率打破的概率.解解以以B 表示事件表示事件“透镜落下三次而未打破透镜落下三次而未打破”.,321AAAB 因因为为)()(321AAAPBP 所所以以)()()(112213APAAPAAAP )

8、211)(1071)(1091( .2003 ,)3 , 2 , 1(次次落落下下打打破破透透镜镜第第表表示示事事件件以以iiAi 例例3 五个阄五个阄, 其中两个阄内写着其中两个阄内写着“有有”字，字， 三个阄内不写字三个阄内不写字 ，五人依次抓取，五人依次抓取,问各人抓到问各人抓到“有有”字阄的概率是否相同字阄的概率是否相同?解解. 5 , 4 , 3 , 2 , 1 i则有则有,52)(1 AP)()(22APAP)(112AAAP 抓阄是否与次序有关抓阄是否与次序有关? ,人抓到有字阄”的事件人抓到有字阄”的事件表示“第表示“第设设iAi)(2121AAAAP )()(2121AAPA

9、AP 42534152 ,52 )()()()(121121AAPAPAAPAP 依此类推依此类推.52)()()(543 APAPAP故抓阄与次序无关故抓阄与次序无关.,.)ii(;,) i (,的一个划分为样本空间则称若的一组事件为的样本空间为试验设定义nnjinBBBBBBnjijiBBEBBBE212121211. 样本空间的划分样本空间的划分1B2B3B1 nBnB二、全概率公式和贝叶斯公式二、全概率公式和贝叶斯公式2. 全概率公式全概率公式全概率公式全概率公式)()()()()()()(),()(,nninBPBAPBPBAPBPBAPAPniBPBBBEAE221121210则且

10、的一个划分为的事件为的样本空间为设试验定理 jiBB由由 )(jiABAB)()()()(21nABPABPABPAP 图示图示证明证明)(nBBBAAA21.21nABABAB ).()()()()()(2211nnBPBAPBPBAPBPBAP 化整为零化整为零各个击破各个击破A1B2B3B1 nBnB说明说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题分解为若干个简单事件复杂事件的概率计算问题分解为若干个简单事件的概率计算问题的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终最后应用概率的可加性求出最终结果结果.A1B2B3B1 nBnB例例

11、6 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占生产的占 30% ，二厂生产的占，二厂生产的占 50% ，三厂生，三厂生产的占产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别，又知这三个厂的产品次品率分别为为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少是次品的概率是多少?设事件设事件 A 为为“任取一件为次品任取一件为次品”,. 3, 2, 1,”“ iiBi厂厂的的产产品品任任取取一一件件为为为为事事件件,321BBB解解. 3 , 2 , 1, jiBBji由全概率公式得由全概率公式得, 2 . 0)(, 5 . 0

12、)(, 3 . 0)(321 BPBPBP30%20%50%2%1%1%.013. 02 . 001. 05 . 001. 03 . 002. 0 ,01. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321 BAPBAPBAP)()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP 因为因为称此为称此为贝叶斯公式贝叶斯公式.,)()()()()(),(,)(,)(,.niBPBAPBPBAPABPniBPAPBBBEAEnjjjiiiin212100121则且的一个划分为的事件为的样本空间为设试验定理 3. 贝叶斯公式贝叶斯公式贝叶斯资料贝叶斯资料;,)1(.,05. 080.

13、015. 003. 001. 002. 0321:.概率概率求它是次品的求它是次品的元件元件在仓库中随机地取一只在仓库中随机地取一只无区别的标志无区别的标志且且仓库中是均匀混合的仓库中是均匀混合的设这三家工厂的产品在设这三家工厂的产品在提供元件的份额提供元件的份额次品率次品率元件制造厂元件制造厂的数据的数据根据以往的记录有以下根据以往的记录有以下件制造厂提供的件制造厂提供的的元件是由三家元的元件是由三家元某电子设备制造厂所用某电子设备制造厂所用例例7.,)2(试求这些概率试求这些概率是多少是多少家工厂生产的概率分别家工厂生产的概率分别需求出此次品由三需求出此次品由三为分析此次品出自何厂为分析此

14、次品出自何厂次品次品若已知取到的是若已知取到的是元件元件在仓库中随机地取一只在仓库中随机地取一只解解,“取取到到的的是是一一只只次次品品”表表示示设设 A.家工厂提供的”家工厂提供的”“所取到的产品是由第“所取到的产品是由第表示表示i)3 , 2 , 1( iBi,的一个划分是样本空间则321BBB,05. 0)(,80. 0)(,15. 0)(321 BPBPBP且且.03. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321 BAPBAPBAP(1) 由由全概率公式得全概率公式得)()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP .0125. 0 (2) 由由贝叶斯公式得

15、贝叶斯公式得)()()()(111APBPBAPABP 0125. 015. 002. 0 .24. 0 ,64. 0)()()()(222 APBPBAPABP.12. 0)()()()(333 APBPBAPABP.2 家家工工厂厂的的可可能能性性最最大大故故这这只只次次品品来来自自第第?,.%95,.%55,%98,概概率率是是多多少少机机器器调调整整得得良良好好的的品品时时早早上上第第一一件件产产品品是是合合格格试试求求已已知知某某日日机机器器调调整整良良好好的的概概率率为为时时每每天天早早上上机机器器开开动动其其合合格格率率为为种种故故障障时时而而当当机机器器发发生生某某产产品品的的

16、合合格格率率为为良良好好时时当当机机器器调调整整得得明明对对以以往往数数据据分分析析结结果果表表解解,“产产品品合合格格”为为事事件件设设 A.“机器调整良好”“机器调整良好”为事件为事件B则有则有,55. 0)(,98. 0)( BAPBAP例例8,05. 0)(,95. 0)( BPBP 由由贝叶斯公式得所求概率为贝叶斯公式得所求概率为)()()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAPABP 05. 055. 095. 098. 095. 098. 0 .97. 0 .97. 0,整良好的概率为整良好的概率为此时机器调此时机器调是合格品时是合格品时即当生产出第一件产品即当生产出第一

17、件产品上题中概率上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的是由以往的数据分析得到的, 叫叫做做先验概率先验概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做叫做后验概率后验概率.先验概率与后验概率先验概率与后验概率).(,005. 0)(,005. 0,.95. 0)(,95. 0)(,:,ACPCPCAPCAPCA试试求求即即的的概概率率为为设设被被试试验验的的人人患患有有癌癌症症进进行行普普查查现现在在对对自自然然人人群群有有则则有有癌癌症症”表表示示事事件件“被被诊诊断断者者患患以以为为阳阳性性”表表示示事事件件“试试验验反反应应若若以以验验

18、具具有有如如下下的的效效果果某某种种诊诊断断癌癌症症的的试试根根据据以以往往的的临临床床记记录录 解解,95. 0)( CAP因因为为,995. 0)(,005. 0)( CPCP例例9,05. 0)(1)( CAPCAP由由贝叶斯公式得所求概率为贝叶斯公式得所求概率为)()()()()()()(CPCAPCPCAPCPCAPACP .087. 0 即平均即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有个具有阳性反应的人中大约只有87人人患有癌症患有癌症.三、事件的相互独立性三、事件的相互独立性,.,),(取到绿球第二次抽取取到绿球第一次抽取记地取两次有放回每次取出一个红绿个球盒中有BA235则有则

19、有),()(BPABP .发发生生的的可可能能性性大大小小的的发发生生并并不不影影响响它它表表示示BA)()(BPABP )()()(BPAPABP 1.引例引例.,)()()(,独立独立简称简称相互独立相互独立则称事件则称事件如果满足等式如果满足等式是两事件是两事件设设BABABPAPABPBA 事件事件 A 与与 事件事件 B 相互独立相互独立,是指事件是指事件 A 的的发生与事件发生与事件 B 发生的概率无关发生的概率无关.说明说明 2.定义定义两事件相互独立两事件相互独立)()()(BPAPABP 两事件互斥两事件互斥 ABAB,21)(,21)( BPAP若若AB).()()(BPA

20、PABP 则则例如例如由此可见由此可见两事件两事件相互独立，相互独立，但两事件但两事件不互斥不互斥.两事件相互独立与两事件互斥的关系两事件相互独立与两事件互斥的关系.请同学们思考请同学们思考二者之间没二者之间没有必然联系有必然联系AB21)(,21)( BPAP若若. )()()(BPAPABP 故故由此可见由此可见两事件两事件互斥互斥但但不独立不独立., 0)( ABP则则,41)()( BPAP3.三事件两两相互独立的概念三事件两两相互独立的概念.,),()()(),()()(),()()(,两两相互独立两两相互独立则称事件则称事件如果满足等式如果满足等式是三个事件是三个事件设设定义定义C

21、BACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 注意注意三个事件相互独立三个事件相互独立三个事件两两相互独立三个事件两两相互独立4.三事件相互独立的概念三事件相互独立的概念.,),()()()(),()()(),()()(),()()(,相互独立相互独立则称事件则称事件如果满足等式如果满足等式是三个事件是三个事件设设定义定义CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 伯恩斯坦反例伯恩斯坦反例例例3 一个均匀的正四面体一个均匀的正四面体， 其第一面染成红色其第一面染成红色，第二面染成白色第二面染成白色 ， 第三面染成黑色第三面染成黑色，而第四面同而第四面同时

22、染上红、白、黑三种颜色时染上红、白、黑三种颜色.现以现以 A ， B，C 分别分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件， 问问 A，B，C是否相互独立是否相互独立?解解由于在四面体中红、由于在四面体中红、 白、黑分别出现两面，白、黑分别出现两面， 因此因此,21)()()( CPBPAP又由题意知又由题意知,41)()()( ACPBCPABP故有故有因此因此 A，B，C 不相互独立不相互独立. ,41)()()(,41)()()(,41)()()(CPAPACPCPBPBCPBPAPABP则三事件则三事件 A, B, C 两两独立两两独立.由

23、于由于41)( ABCP),()()(81CPBPAP ),()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP .,21为为相相互互独独立立的的事事件件则则称称nAAAn 个事件相互独立个事件相互独立n个事件两两相互独立个事件两两相互独立具具有有等等式式任任意意如如果果对对于于任任意意个个事事件件是是设设,1),1(,2121niiinkknAAAkn 推广推广证明证明)()()(APABPABP )()()()(BPAPBPAP ).()(BPABP .).()(,. 0)(,反反之之亦亦然然则则互互独独立立相相若若且且是是两两事事件件设设BPABPBAAPBA 5. 几个重要定理几

24、个重要定理定理一定理一证明证明.独独立立与与先先证证BA,)( BAABBAABA且且因因为为),()()(BAPABPAP 所所以以). ()()(ABPAPBAP 即即.,也也相相互互独独立立与与与与与与则则下下列列各各对对事事件件相相互互独独立立若若BABABABA定理二定理二)()()()(BPAPAPBAP 因因而而)(1)(BPAP ).()(BPAP . 相互独立相互独立与与从而从而BA又因为又因为 A、B 相互独立相互独立, 所以有所以有),()()(BPAPABP 两个结论两个结论.)2(,)2(,. 121个事件也是相互独立个事件也是相互独立其中任意其中任意则则相互独立相互

25、独立若事件若事件nkknAAAn . ,)2(,. 22121个个事事件件仍仍相相互互独独立立所所得得的的立立事事件件们们的的对对中中任任意意多多个个事事件件换换成成它它则则将将相相互互独独立立个个事事件件若若nAAAnAAAnnn 例例1 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若若10名机枪射击手同时向一架飞机射击名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞问击落飞机的概率是多少机的概率是多少?射击问题射击问题解解,名射手击落飞机”名射手击落飞机”为“第为“第设事件设事件iAi事件事件 B 为为“击落飞机击落飞机”, ,1021AAAB 则则6.例题讲解

26、例题讲解.10, 2 , 1 i)()(1021AAAPBP )(11021AAAP )()()(11021APAPAP .893. 0)8 . 0(110 )(11021AAAP 例例2 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人三人击中的概率分别为击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中飞机被一人击中而被击落的概率为而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概被两人击中而被击落的概率为率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机求飞机被击落的概率被击落的概率.解解 ,个个人人击击中中飞飞机机表表示示

27、有有设设iAiA, B, C 分别表示甲、乙、丙击中飞机分别表示甲、乙、丙击中飞机 , ,1CBACBACBAA 由由于于, 7 . 0)(, 5 . 0)(, 4 . 0)( CPBPAP则则)()()()()()()()()()(1CPBPAPCPBPAPCPBPAPAP 故故得得7 . 05 . 06 . 03 . 05 . 06 . 03 . 05 . 04 . 0 .36. 0 ,2BCACBACABA 因因为为)()()()()()()()()(CPBPAPCPBPAPCPBPAP .41. 0 )()(2BCACBACABPAP 得得, 3ABCA 由由)()( 3ABCPAP

28、得得)()()(CPBPAP 7 . 05 . 04 . 0 因而因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为由全概率公式得飞机被击落的概率为14. 0141. 06 . 036. 02 . 0 P.458. 0 .14. 0 例例4 同时抛掷一对骰子同时抛掷一对骰子,共抛两次共抛两次,求两次所得点求两次所得点数分别为数分别为7与与11的概率的概率.解解事件事件 A 为两次所得点数分别为为两次所得点数分别为 7 与与 11.则有则有)()(2121ABBAPAP )()(2121ABPBAP )()()()(2121APBPBPAP 366362362366 .541 . 2 , 17 iiAi点点

29、”次次得得为为“第第设设事事件件. 2 , 111 iiBi点点”次次得得为为“第第设设事事件件. . )4, 3, 2, 1(, )(4, 3, 2, 14,.)()(试求系统的可靠性试求系统的可靠性个元件的可靠性为个元件的可靠性为设第设第称为串并联系统称为串并联系统联结联结按先串联再并联的方式按先串联再并联的方式工作的元件工作的元件个独立个独立设有设有如图所示如图所示的可靠性的可靠性或系统或系统元件元件能正常工作的概率称为能正常工作的概率称为或系统或系统一个元件一个元件 ipii1234 解解,)4 , 3 , 2 , 1(个个元元件件正正常常工工作作表表示示事事件件第第以以iiAi 例例

30、5. 表示系统正常工作表示系统正常工作以以 A.4321AAAAA 则则有有:,得得系系统统的的可可靠靠性性由由事事件件的的独独立立性性)()()()(43214321AAAAPAAPAAPAP )()()()()()()()(43214321APAPAPAPAPAPAPAP .43214321pppppppp 例例6 要验收一批要验收一批(100件件)乐器乐器.验收方案如下验收方案如下:自该自该批乐器中随机地取批乐器中随机地取3件测试件测试(设设3件乐器的测试是相件乐器的测试是相互独立的互独立的),如果如果3件中至少有一件在测试中被认为件中至少有一件在测试中被认为音色不纯音色不纯,则这批乐器

31、就被拒绝接收则这批乐器就被拒绝接收.设一件音色不设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95;而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为为0.01.如果已知这如果已知这100件乐器中恰有件乐器中恰有4件是音色不件是音色不纯的纯的.试问这批乐器被接收的概率是多少试问这批乐器被接收的概率是多少?解解 , 3 )3 , 2 , 1 , 0( 件件乐乐器器随随机机地地取取出出“件件表表示示事事设设以以 iHi, 件音色不纯”件音色不纯”其中恰有其中恰有 i.接收”接收”表示事件“这批乐器被表示事件“这批乐器

32、被以以A纯的乐器纯的乐器 , 经测试被认为音色纯的概率为经测试被认为音色纯的概率为 0.99 ,已知一件音色已知一件音色而一件音色不纯的乐器而一件音色不纯的乐器,经测试被认为音色纯的经测试被认为音色纯的概率为概率为0.05, 并且三件乐器的测试是相互独立的并且三件乐器的测试是相互独立的,于是有于是有,)99. 0()(30 HAP,05. 0)99. 0(2 ,)05. 0(99. 02 ,)05. 0(3 ,的一个划分是 3210HHHH)(1HAP)(2HAP)(3HAP,310019624)(2 HP.310034)(3 HP)()()( 30iiiHPHAPAP 故故000055. 08574. 0 .8629. 0 ,3100396)(0 HP而而,310029614)(1 HP., )21(,7互互独独立立设设各各局局胜胜负负相相利利还还是是采采用用五五局局三三胜胜制制有有有有利利采采用用三三局局二二胜胜制制问问对对甲甲而而言言概概率率为为每每局局甲甲胜胜的的比比赛赛甲甲、乙乙两两人人进进行行乒乒乓乓球球