抽象函数的奇偶性单调性问题

1、例例1已知已知y=f(x), 是定义为是定义为R单调增函数单调增函数. y=g(x),是定义为是定义为R单调减函数单调减函数.求证求证y=fg(x)在其定域义上的减函数在其定域义上的减函数证明：设，证明：设，x1,x2R且且x1g(x2)，同理：，同理：y=f(x)是上的增函数是上的增函数即即g(x1)g(x2) fg(x1)fg(x2) 故函数故函数y=fg(x)是减函数是减函数同理可得复合函数的同理可得复合函数的同增异减法则同增异减法则，单调性相同原函数是增函数，单调性相同原函数是增函数，单调性相异原函数是减函数，单调性相异原函数是减函数例例2已知已知y=f(x)是定义在是定义在R上的不恒

2、为零的上的不恒为零的函数，且对任意的函数，且对任意的a、bR都满足：都满足：f(ab)=af(b)+bf(a)求求f(0)及及f(1)的的值值判断判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论的奇偶性，并证明你的结论抽象函数：无函数具体表达形式，仅知道一些函抽象函数：无函数具体表达形式，仅知道一些函 数性质去解决相关的问题数性质去解决相关的问题(4)若若f(x).f(2x)1求求x的取值范围的取值范围;例例3：定义：定义在实数集合上的函数在实数集合上的函数y=f(x),f(0) 0，当当x0时时.f(x)1,对对任意实数任意实数a,b,有有f(a+b)=f(a)f(b)(1)求证求证:f（0）=1(2)

3、求证求证:定义在实数集合上的函数定义在实数集合上的函数y=f(x)恒有恒有 f(x)0(3)求证求证:函数函数y=f(x)是是R上的增函数。上的增函数。解解:(1)令令a=b=0,f(0)=f2(0), f(0)0f(0)=1 (2)xR,f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=1, f(x)0( )()( ) ( )02222( )0( )02xxxxf xfffxff x (4) f(x)f(2x)=f(x+2x)f(0), 3x0解解:(3)设任意实数设任意实数x1,x2,且且x10有已知有已知f(x2-x1)1 ,f(x2)=f(x2-x1)+x1=f(x2-x1)f(x1) f(

4、x)0有有f(x1)0(4)若若f(x) f(2x)1求求x的取值范围的取值范围;例例3.定义定义在实数集合上的函数在实数集合上的函数y=f(x),f(0) 0，当当x0时时.f(x)1对任意实数对任意实数a,b,有有f(a+b)=f(a)f(b)(3)求证求证:是是R上的增函数。上的增函数。f(x2)f(x1),所以函数是上的增函数所以函数是上的增函数00时时,f(x)0且且f(x-y)=f(x)-f(y), 求证求证:y=f(x)是增函数是增函数练习练习1 :已知已知y=f(x)当当x0时时f(x)1且且.f(x+y)=f(x)+f(y)-1求证求证y=f(x)是是R上的增函数。上的增函数

5、。练习练习2:已知已知y=f(x) 定义域是定义域是R+,且且y=f(x)是增是增函数函数,f(xy)=f(x)+f(y)(1)求证求证:f(xy)=f(x)-f(y);(2)当当f(3)=1时时f(a)f(a-1)+2.求求a取值范围取值范围;( )()( )( )( )( )( )xxf xf yf yfyyxff xf yy( )(1)2()(9)191010918f af aaffaaaaaa 证明证明（）（）（）由已知得（）由已知得练习练习3： 已知函数已知函数f(x),当当x,yR时，恒有时，恒有 f(x+y)=f(x)+f(y)(1) 求证求证:f(x)是奇函数是奇函数（2） 如

6、果如果xR+时，时，f(x)0，并且，并且 f(1)=-0.5,求求f(x)在区间在区间-2，6上的上的最值最值)(xf21,xx)(21xxf)()(21xfxf21xx )()(21xfxf)0(f0)(xf)()()(2121xfxfxxf练习练习4：是定义在是定义在R 上的函数，对任意的上的函数，对任意的，满足，满足，又对任意的，又对任意的，有，有（）求证：对任意）求证：对任意x ，都有，都有；（）证明：）证明：（）求）求 的的值值 ；练习5：设函数设函数y=f(x)的定义域为，当的定义域为，当x0时时,f(x)1;对任意的对任意的x,yR有有f(x+y)=f(x)f(y)成成立，解不等式立，解不等式1()(1)fxfx证明：证明：f(0)=0,x+y=0f(x)+f(-x)=0-1x1x21,x1-x20(x2-1)(x1+1)0 x1x2-1x1-x2f(x2)练习练习6：定义在定义在(-1,1)上的函数上的函数f(x),满足满足,对任意对任意x(-1,0