曲线积分与曲面积分ppt课件

1、兰州交通大学数理与软件工程学院第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分第二节第二节 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分第三节第三节 格林公式格林公式第四节第四节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分第六节第六节 高斯公式高斯公式 通量与散度通量与散度第七节第七节 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度兰州交通大学数理与软件工程学院第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的

2、计算法三、小结三、小结兰州交通大学数理与软件工程学院实例实例: : 曲线形构件的质量曲线形构件的质量oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L. sM 匀质之质量匀质之质量分割分割,121insMMM ,),(iiis 取取.),(iiiisM 求和求和.),(1 niiiisM 取极限取极限.),(lim10 niiiisM 近似值近似值准确值准确值一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质兰州交通大学数理与软件工程学院,),(,),(,),(,.,.),(,1121 niiiiiiiiiinsfsfisinLMMMLLyxfxoyL 并作和并作和作乘积作乘积

3、点点个小段上任意取定的一个小段上任意取定的一为第为第又又个小段的长度为个小段的长度为设第设第个小段个小段分成分成把把上的点上的点用用上有界上有界在在函数函数面内一条光滑曲线弧面内一条光滑曲线弧为为设设1. 1. 定义定义oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L兰州交通大学数理与软件工程学院.),(lim),(,),(,),(,010 niiiiLLsfdsyxfdsyxfLyxf即即记作记作线积分线积分第一类曲第一类曲上对弧长的曲线积分或上对弧长的曲线积分或在曲线弧在曲线弧则称此极限为函数则称此极限为函数这和的极限存在这和的极限存在时时长度的最大值长度的最大值如果当各小弧段的如果当

4、各小弧段的被积函数被积函数积分弧段积分弧段积分和式积分和式曲线形构件的质量曲线形构件的质量.),( LdsyxM 兰州交通大学数理与软件工程学院2.2.存在条件：存在条件：.),(,),(存存在在对对弧弧长长的的曲曲线线积积分分上上连连续续时时在在光光滑滑曲曲线线弧弧当当 LdsyxfLyxf3.3.推行推行: :上对弧长的曲线积分为上对弧长的曲线积分为在空间曲线弧在空间曲线弧函数函数 ),(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 兰州交通大学数理与软件工程学院留意：留意：)(,)(. 121LLLL 是分段光滑的是分段光滑的或或若若.),(),(),(2121 LLLL

5、dsyxfdsyxfdsyxf.),(),(. 2 LdsyxfLyxf为为上上对对弧弧长长的的曲曲线线积积分分记记在在闭闭曲曲线线函函数数兰州交通大学数理与软件工程学院4.4.性质性质 .),(),(),(),()1( LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(为为常常数数kdsyxfkdsyxkfLL .),(),(),()3(21 LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL 兰州交通大学数理与软件工程学院定理定理)()()()(),(),(,)(),()(),(),(,),(22 dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL且且具有一阶连续导数具有

6、一阶连续导数上上在在其中其中方程为方程为的参数的参数上有定义且连续上有定义且连续在曲线弧在曲线弧设设二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法兰州交通大学数理与软件工程学院留意留意: :;. 1 一一定定要要小小于于上上限限定定积积分分的的下下限限.,),(. 2而而是是相相互互有有关关的的不不彼彼此此独独立立中中yxyxf特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba 兰州交通大学数理与软件工程学院推行推行:)().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyx

7、f.)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc 兰州交通大学数理与软件工程学院例例1 计算计算,dsyL L2xy )0 , 0(O)1 , 1(B其中其中是抛物线是抛物线上点上点与点与点之间的一段弧。之间的一段弧。解解由于由于 由方程由方程L2xy )10( x给出，因此给出，因此dxxxdxxxdsyL 1022210241)(1)155(121 兰州交通大学数理与软件工程学院例例2 2).(,sin,cos:,求象限象限第第椭圆椭圆 tbytaxLxydsIL解解dttbtatbtaI2220)cos()sin(sincos dttbtatta

8、b222220cossincossin abduubaab222)cossin(2222tbtau 令令.)(3)(22bababaab 兰州交通大学数理与软件工程学院例例3 3.)2, 1()2 , 1(,4:,2一段一段到到从从其中其中求求 xyLydsIL解解dyyyI222)2(1 . 0 例例4 4)20(.,sin,cos:, 的一段的一段其中其中求求kzayaxxyzdsI解解.21222kaka xy42 dkaka222sincos 20I兰州交通大学数理与软件工程学院例例5 5计算半径为计算半径为、R中心角为中心角为a2的圆弧的圆弧L对于它的对于它的对称轴的转动惯量对称轴的

9、转动惯量I(设线密度设线密度).1 解解取坐标系，那么取坐标系，那么dsyIL 2利用利用 的参数方程的参数方程L)(sin,cos RyRx于是于是 dRRRdsyIL22222)cos()sin(sin 22sin23R).cossin(3 R兰州交通大学数理与软件工程学院,),()1(的的线线密密度度时时表表示示当当Lyx ;),( LdsyxM ;,1),()2( LdsLyxf弧弧长长时时当当,),(),()3(处处的的高高时时柱柱面面在在点点上上的的表表示示立立于于当当yxLyxf.),( LdsyxfS柱柱面面面面积积sL),(yxfz 几何意义几何意义兰州交通大学数理与软件工程学院,)4(轴轴的的转转动动惯惯量量轴轴及及曲曲线线弧弧对对yx.,22 LyLxds