弹性力学概述

1、弹塑性力学与有限元（高等工程力学）（高等工程力学） 李德源李德源机电工程学院机械设计系机电工程学院机械设计系课程组成（模块）课程组成（模块）力学部分力学部分 弹性力学弹性力学塑性力学塑性力学多体动力学多体动力学有限元部分有限元部分 弹性弹性有限元有限元 塑性塑性有限元有限元其他其他 结构优化结构优化 疲劳与断裂疲劳与断裂弹塑性力学及有限元（高等工程力学）弹塑性力学及有限元（高等工程力学）周周 内容内容 学时学时 教材教材 备注备注 8 8 弹性力学弹性力学16 16 13 13 （弹性）有限元（弹性）有限元16 16 1616 塑性力学及有限元塑性力学及有限元4 4 17 17 动力学动力学分

2、析动力学动力学分析3 3 18 18 结构优化结构优化3 3 19 19 疲劳与断裂疲劳与断裂3 3 2020 考试（开卷）考试（开卷）3 34848 开尔文男爵（威廉开尔文男爵（威廉汤姆逊）在赞美汤姆逊）在赞美1919世世纪物理学成就的同时指出：纪物理学成就的同时指出：“动力学理论断言，动力学理论断言，热和光都是运动的方式。但现在这一理论的优热和光都是运动的方式。但现在这一理论的优美性和明晰性却被两朵乌云遮蔽而显得黯然失美性和明晰性却被两朵乌云遮蔽而显得黯然失色了。色了。”（The beauty and clearness of the dynamical theory， which ass

3、erts heat and light to be modes of motion， is at present obscured by two clouds.） 。 “ “在物理学晴朗的天空的远处，还有两朵小在物理学晴朗的天空的远处，还有两朵小小的的乌云。小的的乌云。”这两朵乌云，指的是当时物理这两朵乌云，指的是当时物理学无法解释的两个实验，一个是黑体辐射实验，学无法解释的两个实验，一个是黑体辐射实验，另一个是迈克耳孙莫雷实验。正是这两朵乌另一个是迈克耳孙莫雷实验。正是这两朵乌云导致了量子论与相对论的诞生。云导致了量子论与相对论的诞生。 0.1 0.1 力学力学 力学（曾）是物理学的一个分支

4、。力学（曾）是物理学的一个分支。 在物理科学中，人们曾用纯粹力学理论来在物理科学中，人们曾用纯粹力学理论来解释解释机械运动以外的各种形式的运动机械运动以外的各种形式的运动, ,如热、电如热、电磁、光、分子和原子内的运动等。磁、光、分子和原子内的运动等。 当物理学摆脱了这种机械当物理学摆脱了这种机械( (力学力学) )的自然观的自然观而获得健康发展时，力学则在工程技术的推动而获得健康发展时，力学则在工程技术的推动下，按自身逻辑进一步演化，逐渐从物理学中下，按自身逻辑进一步演化，逐渐从物理学中分离出来，成为一个独立的学科。分离出来，成为一个独立的学科。 0 0 弹性力学简述弹性力学简述力学（粗分）

5、力学（粗分）静力学：研究力的平衡或物体的静止问题；静力学：研究力的平衡或物体的静止问题；运动学：研究物体运动问题；运动学：研究物体运动问题；动力学：研究论物体运动和所受力的关系。动力学：研究论物体运动和所受力的关系。 力学（研究对象）力学（研究对象）固体力学固体力学流体力学流体力学一般力学：质点、质点系、刚体、刚体系、一般力学：质点、质点系、刚体、刚体系、动力学系统为研究对象的力学动力学系统为研究对象的力学 固体力学固体力学：材料力学、结构力学，弹性力：材料力学、结构力学，弹性力学、塑性力学、断裂力学等；学、塑性力学、断裂力学等；流体力学流体力学：多相流、渗流力学、非牛顿流：多相流、渗流力学、

6、非牛顿流体力学等；体力学等；一般力学一般力学：理论力学（狭义的）、分析力：理论力学（狭义的）、分析力学、外弹道学、振动理论、刚体动力学、学、外弹道学、振动理论、刚体动力学、陀螺力学、运动稳定性等。陀螺力学、运动稳定性等。各分支学科的交叉各分支学科的交叉：粘弹性理论、流变：粘弹性理论、流变学、气动弹性力学等。学、气动弹性力学等。力学（研究手段）力学（研究手段）理论分析、实验研究和数值计算。理论分析、实验研究和数值计算。实验力学实验力学：实验应力分析、水动力学实验和：实验应力分析、水动力学实验和空气动力实验等。空气动力实验等。计算力学计算力学：计算结构力学、计算流体力学。：计算结构力学、计算流体力

7、学。 对一个具体的力学研究，往往需要理论、对一个具体的力学研究，往往需要理论、实验和计算三方面的相互配合。实验和计算三方面的相互配合。 力学（在工程技术方面的应用）力学（在工程技术方面的应用） 土力学、岩石力学、爆炸力学、复合材土力学、岩石力学、爆炸力学、复合材料力学、工业空气动力学、环境空气动力料力学、工业空气动力学、环境空气动力学等。学等。力学和其他基础科学的结合力学和其他基础科学的结合 天文学结合产生的天体力学。物理力学、天文学结合产生的天体力学。物理力学、 物理化学流体动力学、等离子体动力学、物理化学流体动力学、等离子体动力学、电流体动力学、磁流体力学、热弹性力电流体动力学、磁流体力学

8、、热弹性力 学、学、理性力学、生物力学、生物流变学、地质力理性力学、生物力学、生物流变学、地质力学、地球动力学、地球构造动力学、学、地球动力学、地球构造动力学、 地球地球流体力学等。流体力学等。 力学同物理学、数学等学科一样，是力学同物理学、数学等学科一样，是一门基础学科，它所阐明的规律带有普遍一门基础学科，它所阐明的规律带有普遍性质。性质。力学又是一门技术科学，它是许多工力学又是一门技术科学，它是许多工程技术的理论基础，又在广泛的应用工程程技术的理论基础，又在广泛的应用工程中不断得到发展。中不断得到发展。力学有既是基础科学又是技术科学这力学有既是基础科学又是技术科学这种二重性。种二重性。 0

9、.2 0.2 弹性力学弹性力学 弹性力学是固体力学学科的一个弹性力学是固体力学学科的一个分支。研究由于载荷或者温度改变，分支。研究由于载荷或者温度改变，弹性体内部所产生的位移、变形和应弹性体内部所产生的位移、变形和应力分布等。力分布等。 为解决一般工程结构的强度，刚为解决一般工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备。度和稳定性问题作准备。 内容内容任务任务材料力学材料力学 杆件在外力或温度作用下的应杆件在外力或温度作用下的应力、变形、材料的宏观力学性质、力、变形、材料的宏观力学性质、破坏准则等。破坏准则等。 解决杆件的强度、刚度、稳定解决杆件的强度、刚度、稳定性问题。性问题。 内容内容任务任务弹

10、性力学与材料力学课程的区别弹性力学与材料力学课程的区别材料力学：材料力学：（1 1）研究对象）研究对象杆件（直杆、小曲率杆）。杆件（直杆、小曲率杆）。弹性力学：弹性力学： 一般弹性实体结构，一般弹性实体结构，三维弹性固体、板状结构、杆三维弹性固体、板状结构、杆件等。件等。（2 2）研究方法）研究方法材料力学：材料力学： 借助于直观和实验现象作一些假定，借助于直观和实验现象作一些假定，如平面假设等，然后由静力学、几如平面假设等，然后由静力学、几何关系、物理方程三方面进行分析。何关系、物理方程三方面进行分析。得出近似的结果得出近似的结果弹性力学：弹性力学：仅由静力平衡、几何方程、物理方仅由静力平衡

11、、几何方程、物理方程三方面分析，放弃了材料力学中程三方面分析，放弃了材料力学中的大部分假定。得出较精确的结果。的大部分假定。得出较精确的结果。如：梁的弯曲问题如：梁的弯曲问题弹性力学弹性力学结果结果材料力学材料力学结果结果当当 l h 时，两者误差很小时，两者误差很小如：变截面杆受拉伸如：变截面杆受拉伸 弹性力弹性力学以微元体为学以微元体为研究对象，建研究对象，建立方程求解，立方程求解，得到弹性体变得到弹性体变形的一般规律。形的一般规律。所得结果更符所得结果更符合实际。合实际。弹性力学理论结弹性力学理论结果，与实际情况果，与实际情况一致。一致。材料力学理论结果，材料力学理论结果，与实际情况不符

12、。与实际情况不符。（应力集中）（应力集中）（3 3）数学理论基础）数学理论基础材料力学材料力学 常微分方程（常微分方程（4 4阶，一个变量阶，一个变量 ），大部分可以获得解析解。），大部分可以获得解析解。弹性力学弹性力学 偏微分方程（高阶，二、三个偏微分方程（高阶，二、三个 变量），很难获得解析解。变量），很难获得解析解。数值解法：能量法（变分数值解法：能量法（变分法）、差分法、有限单元法法）、差分法、有限单元法等。等。与其他力学课程的关系与其他力学课程的关系 弹性力学是塑性力学、断裂力学、岩石弹性力学是塑性力学、断裂力学、岩石力学、振动理论、有限单元法等课程的基力学、振动理论、有限单元法等课

13、程的基础。础。弹性力学弹性力学数学弹性力学；数学弹性力学；应用弹性力学。应用弹性力学。弹性弹性弹性力学中的弹性力学中的“弹性弹性”弹性是变形固体的基本属性。弹性是变形固体的基本属性。物体承受载荷后发生变形，在卸除载荷完全恢物体承受载荷后发生变形，在卸除载荷完全恢复原有尺寸及形状复原有尺寸及形状“完全弹性完全弹性”此时的变形此时的变形弹性变形。弹性变形。这样的属性这样的属性弹性。弹性。“完全弹性完全弹性”是对弹性体变形的抽象。是对弹性体变形的抽象。完全弹性使得物体变形成为一种理想模型。完全弹性使得物体变形成为一种理想模型。完全弹性是指在一定温度条件下，材料的应力完全弹性是指在一定温度条件下，材料

14、的应力和应变之间一一对应的关系。和应变之间一一对应的关系。这种关系与时间无关，也与变形历史无关。这种关系与时间无关，也与变形历史无关。材料的应力和应变关系通常称为本构关系材料的应力和应变关系通常称为本构关系( (物理物理关系或者物理方程关系或者物理方程) )弹性体分为线性弹性体和非线性弹性体弹性体分为线性弹性体和非线性弹性体图图1 低碳钢的标称应力低碳钢的标称应力-应变曲线应变曲线图图2 铝合金的标称应力铝合金的标称应力-应变曲线应变曲线常微分方程，数学求解没有困难。常微分方程，数学求解没有困难。偏微分方程边值问题，在数学上求解困难重重，除了偏微分方程边值问题，在数学上求解困难重重，除了少数特

15、殊问题，一般弹性体问题很难得到解析解。少数特殊问题，一般弹性体问题很难得到解析解。这里并不是说弹性力学分析不再需要假设，事实上对这里并不是说弹性力学分析不再需要假设，事实上对于任何学科，如果不对研究对象作必要的抽象和简化，于任何学科，如果不对研究对象作必要的抽象和简化，研究工作都是寸步难行的。研究工作都是寸步难行的。 研究方法的差别造成弹性力学与材料力学问题的最研究方法的差别造成弹性力学与材料力学问题的最大不同。大不同。力学研究工程问题的一般思路力学研究工程问题的一般思路工程问题工程问题力学模型力学模型数学模型数学模型数学解答数学解答观察观察总结总结归纳归纳概念概念假设等假设等数学数学描述描述

16、微分方程的微分方程的定解问题定解问题解析解解析解近似解近似解数值解数值解力学力学解释解释物理意义物理意义工程解释工程解释验证验证指导工指导工程实践程实践0.3 0.3 力学的研究方法力学的研究方法力学模型的建立力学模型的建立 基本原则基本原则科学性：尽可能地近似表示原型科学性：尽可能地近似表示原型实用性：能方便地应用实用性：能方便地应用 模型的建立模型的建立近似近似材料近似材料近似结构近似结构近似载荷近似载荷近似 模型的表述模型的表述假设假设概念概念所有的力学模型均是实际问题所有的力学模型均是实际问题的某种程度上的近似，受限于的某种程度上的近似，受限于科技发展水平，受限于人类对科技发展水平，受

17、限于人类对该问题科学本质的认识，也受该问题科学本质的认识，也受限于工程需求。限于工程需求。 在建立数学模型的过程中，通常要注意分清问题的性质进行简化：线性化 对高阶小量进行处理，能进行线性化的，进行线性化。 模型建立以后，对计算的结果进行分析整理，返回实际问题进行验证，一般通过实验验证：直接实验验证 直接实验比较简单时可以直接进行，但有时十分困难。相似模型实验 相似实验的模型一般应与实际问题的边界条件和形态是几何相似的。 工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不分主次考虑所有因素，则问题的复杂，如果不分主次考虑所有因素，则问题的复杂，数学推导的困难，将

18、使得问题无法求解。数学推导的困难，将使得问题无法求解。 根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提出一些基本假设。使问题的研究限定在素，提出一些基本假设。使问题的研究限定在一个可行的范围。一个可行的范围。 基本假设是学科的研究基础。基本假设是学科的研究基础。 超出基本假设的研究领域是固体力学其它学超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研究。科的研究。0.4 0.4 弹性力学基本假设弹性力学基本假设连续性假设连续性假设均匀性假设均匀性假设各向同性假设各向同性假设完全弹性假设完全弹性假设 小变形假设小变形假设无初始应力假设无初始应力假设弹性力学基本假设弹

19、性力学基本假设1. 1. 连续性假设连续性假设 假设所研究的整个弹性体内部完全由组成假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满，各个质点之间不存在任何物体的介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙，而且变形后仍然保持连续性。空隙，而且变形后仍然保持连续性。 根据这一假设，物体所有物理量，例如位根据这一假设，物体所有物理量，例如位移、应变和应力等均为物体空间的连续函数。移、应变和应力等均为物体空间的连续函数。 微观上这个假设不可能成立微观上这个假设不可能成立 宏观假设。宏观假设。2. 2. 均匀性假设均匀性假设 假设弹性物体是由同一类型的均匀材料假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。

20、因此物体各个部分的物理性质都是组成的。因此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。即物相同的，不随坐标位置的变化而改变。即物体的弹性性质处处都是相同的。体的弹性性质处处都是相同的。 工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的几何形状，并且在物体内部均匀分布，体的几何形状，并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为均匀材料。从宏观意义上讲，也可以视为均匀材料。 对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料。处理为均匀材料。3. 3. 各向同性假设各向同性假设 假定物体在各个不同的方向上具有相同假定物体

21、在各个不同的方向上具有相同的物理性质，这就是说物体的弹性常数将不的物理性质，这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。随坐标方向的改变而变化。 宏观假设，材料性能是显示各向同性。宏观假设，材料性能是显示各向同性。 当然，像木材，竹子以及纤维增强材料当然，像木材，竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性材料。等，属于各向异性材料。 这些材料的研究属于复合材料力学研究这些材料的研究属于复合材料力学研究的对象。的对象。图1 低碳钢的标称应力-应变曲线图2 铝合金的标称应力-应变曲线力学性能指标力学性能指标 疲劳强度：疲劳强度：s s-1 比例极限强度：比例极限强度：s sp 弹性强度：弹性强度：

22、s se 屈服强度：屈服强度：s ss( s s0.2 ) 拉伸极限强度：拉伸极限强度：s sb 断裂强度：断裂强度：s sf spsssbesfs-1se4. 4. 完全弹性假设完全弹性假设 对应一定的温度，如果应力和应变之对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对应关系，而且这个关系和时间存在一一对应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全弹间无关，也和变形历史无关，称为完全弹性材料。性材料。 完全弹性分为线性和非线性弹性，弹完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线性的应力与应变关系。性力学研究限于线性的应力与应变关系。 研究对象的材料弹性常数不随应力或研究对象的

23、材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。应变的变化而改变。服从胡克定律服从胡克定律5. 5. 小变形假设小变形假设 假设在外力或者其他外界因素（如温度假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下，物体的变形与物体自身几何等）的影响下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。尺寸相比属于高阶小量。 在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所引起的尺寸变化。考虑因变形所引起的尺寸变化。 忽略位移、应变和应力等分量的高阶小忽略位移、应变和应力等分量的高阶小量，使基本方程成为线性的偏微分方程组。量，使基本方程成为线性的偏微分方程组。 假设物体处于自然状态，

24、即在外界因素作假设物体处于自然状态，即在外界因素作用之前，物体内部没有应力。用之前，物体内部没有应力。 弹性力学求解的应力仅仅是外力或温度改弹性力学求解的应力仅仅是外力或温度改变而产生的。变而产生的。 线弹性范围可以处理初始应力（应变）问线弹性范围可以处理初始应力（应变）问题，通过转化为等效载荷。题，通过转化为等效载荷。6. 6. 无初始应力假设无初始应力假设 弹性力学的基本假设，主要包括弹性体的连弹性力学的基本假设，主要包括弹性体的连续性、均匀性、各向同性、完全弹性和小变形续性、均匀性、各向同性、完全弹性和小变形假设等。假设等。 这些假设都是关于材料变形的宏观假设。这些假设都是关于材料变形的

25、宏观假设。 弹性力学问题的讨论中，如果没有特别的提弹性力学问题的讨论中，如果没有特别的提示，均采用基本假设。示，均采用基本假设。 这些基本假设被广泛的实验和工程实践证实这些基本假设被广泛的实验和工程实践证实是可行的。是可行的。解弹塑性力学问题采用微元体分析方法，即以弹性体内无限小的体积元素解弹塑性力学问题采用微元体分析方法，即以弹性体内无限小的体积元素为研究对象。其一般步骤为：为研究对象。其一般步骤为：将弹性体设想成由许多微小六面体和表面上的四面体组成将弹性体设想成由许多微小六面体和表面上的四面体组成，如图；，如图；考虑六面体的平衡，得到一组含单元体上未知力的方程式考虑六面体的平衡，得到一组含

26、单元体上未知力的方程式，称为平衡方程；，称为平衡方程；考虑表面四面体的平衡，得到一组关于内应力和边界上外考虑表面四面体的平衡，得到一组关于内应力和边界上外力之间的关系式，称为边界条件；力之间的关系式，称为边界条件；考虑物体的连续性，由各单元体的变形必须协调一致，又考虑物体的连续性，由各单元体的变形必须协调一致，又可得到一组方程，称为变形协调方程；可得到一组方程，称为变形协调方程；利用应力与应变之间的线性关系可建立物性方程。利用应力与应变之间的线性关系可建立物性方程。0.6 0.6 弹（塑）性力学的解题方法弹（塑）性力学的解题方法这样，我们就有足够的关系式去求解应力和位移。由于以单元体为研究对这

27、样，我们就有足够的关系式去求解应力和位移。由于以单元体为研究对象，方程具有微分性质，解弹塑性问题归结为求解一系列偏微分方程组。象，方程具有微分性质，解弹塑性问题归结为求解一系列偏微分方程组。应当注意，单元体的尺度要比所研究的固体的尺度小，但并不是数学上的应当注意，单元体的尺度要比所研究的固体的尺度小，但并不是数学上的无穷小（几何学中的点），而应该远大于固体的微观尺寸。因此，以后我无穷小（几何学中的点），而应该远大于固体的微观尺寸。因此，以后我们所说的某点物理量都是指以上微分单元体中的统计平均值。们所说的某点物理量都是指以上微分单元体中的统计平均值。第一阶段：启蒙时代第一阶段：启蒙时代(1600

28、1700)(16001700) 唯象实验唯象实验 弹性力学根植于早期的数学和物理研究，自牛顿弹性力学根植于早期的数学和物理研究，自牛顿时代以来才逐渐从其中分离出来。最初的动机是时代以来才逐渐从其中分离出来。最初的动机是为了能够理解断裂行为并进行有效的控制。为了能够理解断裂行为并进行有效的控制。 Leonardo da VinciLeonardo da Vinci曾在他的笔记中记载了测试曾在他的笔记中记载了测试绳索拉伸强度的一种实验，这或许对悬挂他的画绳索拉伸强度的一种实验，这或许对悬挂他的画至关重要。由于绳索中缺陷的统计分布，他认识至关重要。由于绳索中缺陷的统计分布，他认识到强度对长度可能的依

29、赖关系。到强度对长度可能的依赖关系。 0.5 0.5 弹性力学的发展和研究方法弹性力学的发展和研究方法伽利略：伽利略：两种新科学的对话两种新科学的对话 惯性原理惯性原理 固体的变形和强度固体的变形和强度研究了杆受单向拉伸断裂时的载荷，得出断裂载荷与研究了杆受单向拉伸断裂时的载荷，得出断裂载荷与杆长无关的结论，这与达芬奇基于缺陷沿长度统计分杆长无关的结论，这与达芬奇基于缺陷沿长度统计分布的认识不同。在一个科学即是天文学的时代，伽利布的认识不同。在一个科学即是天文学的时代，伽利略在材料强度方面的探索是非同寻常的略在材料强度方面的探索是非同寻常的历史上首次把梁作为变形体来进行研究。分析结果正历史上首

30、次把梁作为变形体来进行研究。分析结果正确地给出了梁的强度与几何尺寸的依赖关系，例如长确地给出了梁的强度与几何尺寸的依赖关系，例如长度和截面抗弯刚度。然而伽利略并未正确给出轴向应度和截面抗弯刚度。然而伽利略并未正确给出轴向应力沿高度方向的分布。他认为轴向应力在下底面处为力沿高度方向的分布。他认为轴向应力在下底面处为零，而并非后来所确证的中性面处零，而并非后来所确证的中性面处 罗伯特罗伯特胡克：弹性关系胡克：弹性关系 胡克定律发现于胡克定律发现于16601660年，发表时已经是年，发表时已经是16781678年年。在他的论文在他的论文论弹簧论弹簧中，原始形式的弹性关系中，原始形式的弹性关系写为拉丁

31、文的字谜形式写为拉丁文的字谜形式“ceiiiosssttuu”ceiiiosssttuu”，重新，重新排列后为排列后为“ut tensio sic vis”ut tensio sic vis”，也就是现在所，也就是现在所谓的谓的胡克定律胡克定律，中文意思是，中文意思是“拉力与伸长成正比拉力与伸长成正比”。 胡克定律建立了线弹性的概念，但尚未表达为应胡克定律建立了线弹性的概念，但尚未表达为应力和应变的形式。力和应变的形式。 16871687年，牛顿建立运动三大定律。年，牛顿建立运动三大定律。 这一时期的研究工作主要是通过实验方法这一时期的研究工作主要是通过实验方法探索物体的受力与变形之间的关系。

32、探索物体的受力与变形之间的关系。 第二阶段：理论基础建立阶段（第二阶段：理论基础建立阶段（17001880） 大师耕耘 瑞士数学与力学家雅各布（第一）瑞士数学与力学家雅各布（第一）伯伯努利在努利在1717世纪末提出关于弹性杆的挠度曲线世纪末提出关于弹性杆的挠度曲线的概念；的概念； 17051705年，雅克比年，雅克比柏努利在他生平的最柏努利在他生平的最后一篇论文中指出，要正确描述材料纤维在拉后一篇论文中指出，要正确描述材料纤维在拉伸下的变形，就必须给出单位面积的作用力，伸下的变形，就必须给出单位面积的作用力，即应力，与单位长度的伸长，即应变，之间的即应力，与单位长度的伸长，即应变，之间的函数关

33、系。函数关系。 丹尼尔丹尼尔伯努利于伯努利于1818世纪中期，首先导世纪中期，首先导出棱柱杆侧向振动的微分方程。出棱柱杆侧向振动的微分方程。 17271727年，莱奥哈尔德年，莱奥哈尔德欧拉（瑞欧拉（瑞士数学与力学家，雅克比的弟弟约翰士数学与力学家，雅克比的弟弟约翰那那柏努利的学生）给出应力、应变之柏努利的学生）给出应力、应变之间的线性关系，即间的线性关系，即 =E=E ； 欧拉于欧拉于17441744年建立了受压柱体失年建立了受压柱体失稳临界值的公式，又于稳临界值的公式，又于17571757年建立了柱年建立了柱体受压的微分方程，从而成为第一个研体受压的微分方程，从而成为第一个研究稳定性问题的

34、学者。究稳定性问题的学者。 欧拉对压杆失稳问题的分析触发了两个欧拉对压杆失稳问题的分析触发了两个重要的数学概念：重要的数学概念：变分原理：欧拉正是用这种方法导出变分原理：欧拉正是用这种方法导出控制方程；控制方程；分岔的概念，它是非线性分析的中心分岔的概念，它是非线性分析的中心内容内容 。 法国的库仑法国的库仑在在17731773年提出了材料强度理论，年提出了材料强度理论，他还在他还在17841784年研究了扭转问题并提出剪切的年研究了扭转问题并提出剪切的概念。这些研究成果为深入研究弹性固体的概念。这些研究成果为深入研究弹性固体的力学理论奠定了基础。力学理论奠定了基础。 法国的纳维法国的纳维于于

35、18201820年研究了薄板弯曲问题，年研究了薄板弯曲问题，并于次年发表了弹性力学的基本方程。并于次年发表了弹性力学的基本方程。 18211821年年，克劳德，克劳德路易斯路易斯玛丽玛丽亨利亨利纳维尔纳维尔(17851836)(17851836)发表了题为发表了题为“弹性弹性体平衡和运动方程体平衡和运动方程”的论文，文中首次写出了的论文，文中首次写出了弹性体的控制方程。弹性体的控制方程。 18291829年，法国科学家年，法国科学家西蒙西蒙丹尼斯丹尼斯泊松泊松(1781(17811840)1840)考虑了单向拉伸时的横向考虑了单向拉伸时的横向收缩问题。为纪念他的贡献，横向收缩与纵收缩问题。为纪

36、念他的贡献，横向收缩与纵向伸长比值的负值被命名为泊松比。另外，向伸长比值的负值被命名为泊松比。另外，泊松发现了横波和纵波，开创了弹性动力学泊松发现了横波和纵波，开创了弹性动力学分析分析 。 近代弹性力学的研究近代弹性力学的研究是从是从1919世纪开始的。世纪开始的。 柯西的工作是近代柯西的工作是近代弹性力学的一个起点，使弹性力学的一个起点，使得弹性力学成为一门独立得弹性力学成为一门独立的固体力学分支学科。的固体力学分支学科。 奥古斯丁路易斯柯西A.L.Cauchy A.L.Cauchy (17891857) 1822-18231822-1823年年，在三维情况下规范了应力的，在三维情况下规范了

37、应力的概念，揭示了应力具有三阶对称张量的性质；概念，揭示了应力具有三阶对称张量的性质； 提出将面力矢量和应力张量联系起来的柯西提出将面力矢量和应力张量联系起来的柯西原理，提出主应力和主应变的概念，推广胡克定原理，提出主应力和主应变的概念，推广胡克定律，建立了用应力分量表示的律，建立了用应力分量表示的连续体运动方程连续体运动方程和和边界条件，边界条件，给出了给出了几何方程几何方程，即当位移对坐标的，即当位移对坐标的导数远小于导数远小于1 1时，六个应变分量时，六个应变分量( (三个拉伸分量和三个拉伸分量和三个剪切分量三个剪切分量) )可以表示为位移的导数；可以表示为位移的导数； 从原子论的观点讨

38、论了物体的弹性，利用对从原子论的观点讨论了物体的弹性，利用对势导出了所谓的弹性张量的柯西关系，指出弹性势导出了所谓的弹性张量的柯西关系，指出弹性张量具有完全对称性。张量具有完全对称性。第三阶段：发展阶段第三阶段：发展阶段弹性力学基本解及应用 在十九世纪的中后期，世界各国的在十九世纪的中后期，世界各国的一批学者相继进入弹性力学研究领域，一批学者相继进入弹性力学研究领域，使弹性力学进入发展阶段，得到了大量使弹性力学进入发展阶段，得到了大量的弹性力学基本解，并应用于工程实践的弹性力学基本解，并应用于工程实践或者解释自然现象或者解释自然现象纳维尔的学生圣纳维尔的学生圣维南维南（A.J.Saint-Ve

39、nantA.J.Saint-Venant）在）在其中做出了卓越的贡献。其中做出了卓越的贡献。 18531853年年，提出了，提出了半逆半逆解法解法，并得到了梁的弯曲和，并得到了梁的弯曲和非圆截面杆扭转问题的精确非圆截面杆扭转问题的精确解，从而检验了材料力学中解，从而检验了材料力学中在一定假设简化下得到的近在一定假设简化下得到的近似解的准确程度；似解的准确程度； 18561856年年，建立了柱体，建立了柱体扭转和弯曲的基本理论；扭转和弯曲的基本理论； 提出了著名的提出了著名的圣圣维南维南原理原理，为数学家和工程师创，为数学家和工程师创造了无数机遇和挑战造了无数机遇和挑战 。圣维南圣维南（A.J.

40、Saint-VenantA.J.Saint-Venant） 1862 1862年，艾瑞年，艾瑞（G.B.AiryG.B.Airy）发表了关于弹）发表了关于弹性力学的平面理论；性力学的平面理论； 18811881年，赫兹建立了接年，赫兹建立了接触应力理论；触应力理论；赫兹赫兹（H.HertzH.Hertz） 十九世纪末，由于德国科学家的突出贡献，十九世纪末，由于德国科学家的突出贡献，使得德国取代法国成为世界的研究中心。使得德国取代法国成为世界的研究中心。 电磁学的奠基人之一，普鲁士物理学家古斯电磁学的奠基人之一，普鲁士物理学家古斯塔夫塔夫罗伯特罗伯特基尔霍夫基尔霍夫(18241887)(1824

41、1887)多才多才多艺，在弹性力学领域也颇有建树。多艺，在弹性力学领域也颇有建树。18761876年，年，他出版了著作他出版了著作“力学力学”，将弹性力学的应用领域扩，将弹性力学的应用领域扩展到一种新的几何构形展到一种新的几何构形板，在直法线假设的板，在直法线假设的前提下，他运用虚功原理和变分法导出了控制方前提下，他运用虚功原理和变分法导出了控制方程。在一维情况下，基尔霍夫板退化为欧拉程。在一维情况下，基尔霍夫板退化为欧拉柏努利梁。柏努利梁。 电磁学的另一奠基人，赫尔曼电磁学的另一奠基人，赫尔曼路德维路德维希希费迪南德费迪南德冯冯亥姆霍兹亥姆霍兹(1821(18211894)1894)在弹性力

42、学领域同样功勋卓著。在弹性力学领域同样功勋卓著。 他建立了弹性自由能的概念，以他的名他建立了弹性自由能的概念，以他的名字命名为亥姆霍兹自由能。另外，他还利用字命名为亥姆霍兹自由能。另外，他还利用亥姆霍兹变换得到无限大弹性体中的应力波亥姆霍兹变换得到无限大弹性体中的应力波解。解。 英国的麦克斯韦在英国的麦克斯韦在1919世纪世纪5050年代，发展年代，发展了光测弹性的应力分析技术后，又于了光测弹性的应力分析技术后，又于18641864年年对只有两个力的简单情况提出了功的互等定理，对只有两个力的简单情况提出了功的互等定理， 意大利的贝蒂于意大利的贝蒂于18721872年对该定理加以普年对该定理加以

43、普遍证明；遍证明； 意大利的卡斯蒂利亚诺于意大利的卡斯蒂利亚诺于18731873年提出了年提出了卡氏第一和卡氏第二定理；卡氏第一和卡氏第二定理； 德国的普朗特于德国的普朗特于19031903年提出了解扭转问年提出了解扭转问题的薄膜比拟法。题的薄膜比拟法。第四阶段：第四阶段：体系形成体系形成(18801950)(18801950) 在这一时期，弹性力学的知识如百川逐渐汇集大在这一时期，弹性力学的知识如百川逐渐汇集大海，形成了一套完整的体系海，形成了一套完整的体系 代表性著作是勒夫的代表性著作是勒夫的“关于弹性力学数学理论的关于弹性力学数学理论的论述论述”(18921893)(18921893)。

44、该部著作的问世同时标。该部著作的问世同时标志着十九世纪整个数学物理的研究中心是弹性力志着十九世纪整个数学物理的研究中心是弹性力学。除此之外，勒夫本人还在点源解和勒夫波等学。除此之外，勒夫本人还在点源解和勒夫波等方面对弹性力学做出贡献方面对弹性力学做出贡献 卡门首先建立了弹性平板非线性的基本微卡门首先建立了弹性平板非线性的基本微分方程，为以后研究非线性问题开辟了道路。分方程，为以后研究非线性问题开辟了道路。 苏联的穆斯赫利什维利于苏联的穆斯赫利什维利于19331933年发表了弹年发表了弹性力学复变函数方法；性力学复变函数方法；铁木辛柯铁木辛柯（1878-19721878-1972） 弹性力学在工

45、程领域的广泛应用应归功于铁木辛柯的巨弹性力学在工程领域的广泛应用应归功于铁木辛柯的巨大热情。铁木辛柯出身于前俄罗斯贵族，师从空气动力学之大热情。铁木辛柯出身于前俄罗斯贵族，师从空气动力学之父普朗特。他尤其热心于弹性力学的工程应用，在弹性地基父普朗特。他尤其热心于弹性力学的工程应用，在弹性地基梁、铁木辛柯梁、板壳力学和弹性振动等方面都做出了巨大梁、铁木辛柯梁、板壳力学和弹性振动等方面都做出了巨大的贡献。铁木辛柯不仅是一位科学家、工程师，同时也是一的贡献。铁木辛柯不仅是一位科学家、工程师，同时也是一名伟大的教育家。由他编写的教材几十年来一直在美国工学名伟大的教育家。由他编写的教材几十年来一直在美国

46、工学院使用。他同冯院使用。他同冯卡门一起促进了应用力学在美国的繁荣。卡门一起促进了应用力学在美国的繁荣。经典教材：经典教材：材料力学材料力学、高等材料力学高等材料力学、结构力学结构力学、工程力学工程力学、高等动力学高等动力学、弹性力学弹性力学、弹性稳定性理论弹性稳定性理论、工程中的振动问题工程中的振动问题、板壳理论板壳理论和和材料力学史材料力学史等等 分支发展分支发展(1950(1950至今至今) ) 19501950年荷兰力学家和工程师年荷兰力学家和工程师K. T. K. T. KoiterKoiter提出弹性稳定性的概念，随后有关静提出弹性稳定性的概念，随后有关静力稳定性、运动稳定性和动力

47、稳定性和缺陷力稳定性、运动稳定性和动力稳定性和缺陷敏感性的问题也被提出，并充分地加以研究敏感性的问题也被提出，并充分地加以研究。 断裂力学的先驱是英国航空工程师断裂力学的先驱是英国航空工程师A. A. GriffithA. A. Griffith提出了脆断准则：如果裂纹扩展释放的弹性应变能等于产生新表面所做的功提出了脆断准则：如果裂纹扩展释放的弹性应变能等于产生新表面所做的功，则裂纹处于临界扩展状态。，则裂纹处于临界扩展状态。 从二十世纪中叶以来断裂力学一直处于固体力学研究的中心地位，从二十世纪中叶以来断裂力学一直处于固体力学研究的中心地位，主要推动力是对第二次世界大战期间造成美国海军舰队重大

48、损失的原因的研主要推动力是对第二次世界大战期间造成美国海军舰队重大损失的原因的研究以及美国物理学家和工程师究以及美国物理学家和工程师George R. IrwinGeorge R. Irwin投入的巨大热情与精力。投入的巨大热情与精力。 19571957年年IrwinIrwin提出应力强度因子的概念，用来度量裂尖附近应力场的提出应力强度因子的概念，用来度量裂尖附近应力场的强度在强度在IrwinIrwin的大力推动下，从十九世纪的大力推动下，从十九世纪4040年代一直延续到二十一世纪，在裂年代一直延续到二十一世纪，在裂纹扩展和结构破坏方面出现了大量成果，包括疲劳裂纹和应力腐蚀导致裂纹纹扩展和结构

49、破坏方面出现了大量成果，包括疲劳裂纹和应力腐蚀导致裂纹。 19681968年，美国力学家和地学家年，美国力学家和地学家J. R. RiceJ. R. Rice奠定了非线性断裂力学的奠定了非线性断裂力学的基础。断裂力学中的关键参量，能量释放率基础。断裂力学中的关键参量，能量释放率 G G ，应力强度因子，应力强度因子 K K 和和 J J 积积分分别用来纪念分分别用来纪念Griffith, Irwin Griffith, Irwin 和和RiceRice的对这一领域的贡献。的对这一领域的贡献。 A. Griffith (18931963)有限元方法有限元方法(Finite Element Met

50、hod)(Finite Element Method)19431943年数学家年数学家Richard CourantRichard Courant描述了有限元的理论框架描述了有限元的理论框架5050到到6060年代，这一理论在几个国家独立的发展，并编制年代，这一理论在几个国家独立的发展，并编制了可用于工程计算的计算机程序。代表学者有美国航空工程师了可用于工程计算的计算机程序。代表学者有美国航空工程师M. J. TaylorM. J. Taylor和和Ray W. CloughRay W. Clough，英国土木工程师，英国土木工程师J. H. J. H. ArgyrisArgyris和和O.

51、C. ZienkiewiczO. C. Zienkiewicz，以及中国数学家冯康。，以及中国数学家冯康。有限元方法源于求解弹性力学问题，它的发展超出这一有限元方法源于求解弹性力学问题，它的发展超出这一领域，成为计算力学的基本组成部分，目前又被进一步应用到领域，成为计算力学的基本组成部分，目前又被进一步应用到材料微结构、生物力学和医学领域。材料微结构、生物力学和医学领域。有限元方法有限元方法(FEM)(FEM)的发明为工程领域提供了基本的计算工的发明为工程领域提供了基本的计算工具。具。最新进展：大变形弹性理论最新进展：大变形弹性理论大变形弹性大变形弹性是经典弹性力学未开发的处女地。是经典弹性力

52、学未开发的处女地。橡胶之类的高分子材料的广泛应用使得建立弹性大变形橡胶之类的高分子材料的广泛应用使得建立弹性大变形理论成为必需。理论成为必需。19601960年，英国应用数学家和工程师年，英国应用数学家和工程师Ronald S. RivlinRonald S. Rivlin给出了拉伸、扭转、弯曲和翻转在弹性大变形下的解。他还给出了拉伸、扭转、弯曲和翻转在弹性大变形下的解。他还致力于各向同性弹性的张量表示理论，提出著名的致力于各向同性弹性的张量表示理论，提出著名的Rivlin-Rivlin-EricksenEricksen定理。他的其他贡献还包括提出定理。他的其他贡献还包括提出Mooney-Ri

53、vlinMooney-Rivlin理理论，精确地描述了橡胶弹性论，精确地描述了橡胶弹性 。各向异性弹性力学各向异性弹性力学使这一领域发生深刻变革的工作是在使这一领域发生深刻变革的工作是在19591959年到年到19621962年期间由三位科学家完成的，他们分别是年期间由三位科学家完成的，他们分别是J. J. D. Eshelby, S. G. LehnitskiiD. Eshelby, S. G. Lehnitskii和和A. N. StrohA. N. Stroh值得一提的是值得一提的是A. N. StrohA. N. Stroh的一生非常短暂，的一生非常短暂，然而他短暂的然而他短暂的101

54、0年的学者生涯却异常辉煌，在年的学者生涯却异常辉煌，在T. T. C. T. TingC. T. Ting的著作的著作“各向异性弹性力学理论及其应各向异性弹性力学理论及其应用用”第五章最后一节专门讲述了第五章最后一节专门讲述了A. N. StrohA. N. Stroh的一的一生。生。钱伟长钱伟长钱学森钱学森胡海昌胡海昌 中国科学家钱伟长，钱学森，胡海昌等在中国科学家钱伟长，钱学森，胡海昌等在弹性力学的发展，特别是在中国的推广应用做弹性力学的发展，特别是在中国的推广应用做出了重要贡献。出了重要贡献。 钱伟长：用摄动法求解薄板大挠度问题钱伟长：用摄动法求解薄板大挠度问题 钱学森：与卡门一起解决了

55、薄壳的非线性钱学森：与卡门一起解决了薄壳的非线性稳定问题；稳定问题； 胡海昌：建立三类变量的广义势能、余能胡海昌：建立三类变量的广义势能、余能原理（胡海昌原理（胡海昌- -鹫津久一郎变分原理）鹫津久一郎变分原理）67670.70.7 弹性力学的应用弹性力学的应用6868基本建设基本建设 弹性力学在土木工程领域有着广泛的应用。弹性力学在土木工程领域有着广泛的应用。20002000年吴有生年吴有生、李国豪编辑的、李国豪编辑的“力学与工程力学与工程”一书中对此有着精彩的描述一书中对此有着精彩的描述 三峡大坝的整体强度、发电机组的临界转速、上海东方明三峡大坝的整体强度、发电机组的临界转速、上海东方明珠

56、电视塔顶端的晃动控制珠电视塔顶端的晃动控制 弹性力学在西部大开发的四大工程中应用弹性力学在西部大开发的四大工程中应用西气东运工程涉及两个关键问题，其一是沙丘蠕动引起管道高应力西气东运工程涉及两个关键问题，其一是沙丘蠕动引起管道高应力导致的动态断裂，另一是特大储气罐的结构可靠性问题导致的动态断裂，另一是特大储气罐的结构可靠性问题青藏铁路工程中，由于大部分铁路位于海拔青藏铁路工程中，由于大部分铁路位于海拔50005000米以上，永冻土层米以上，永冻土层的力学行为是一个主要问题。这里弹性力学问题与水冰混合体界的力学行为是一个主要问题。这里弹性力学问题与水冰混合体界面的毛细流动交织在一起面的毛细流动交

57、织在一起西电东输工程，涉及的弹性力学问题包括高压电线的舞动和发电机西电东输工程，涉及的弹性力学问题包括高压电线的舞动和发电机组的临界转动问题组的临界转动问题西部高速公路网工程，利用应力波检测手段可以保证路面的质量西部高速公路网工程，利用应力波检测手段可以保证路面的质量 6969地震地震利用弹性力学，土木工程师可以对地震及其对建筑物的作用进行量化。利用弹性力学，土木工程师可以对地震及其对建筑物的作用进行量化。地震波分为纵波和横波，利用波动理论可以计算出测震中位置和地震的地震波分为纵波和横波，利用波动理论可以计算出测震中位置和地震的强度强度弹性力学还可以用来研究断层动力学，弹性力学还可以用来研究断

58、层动力学，J. R. RiceJ. R. Rice在在ICTAM 2000ICTAM 2000的开幕的开幕式报告上对这一领域做了精彩的综述，式报告上对这一领域做了精彩的综述，20012001年年8 8月期月期“力学进展力学进展”刊登了郭刊登了郭高峰的翻译文章。大部分地震中地震波的传播是亚音速的，也有少速达高峰的翻译文章。大部分地震中地震波的传播是亚音速的，也有少速达到跨音速，如到跨音速，如19991999年土耳其地震，年土耳其地震，20012001年中国昆仑山的年中国昆仑山的8.18.1级地震。对于级地震。对于这类问题的研究促进了跨音速断裂力学的发展这类问题的研究促进了跨音速断裂力学的发展弹性

59、力学在地震预测方面也有重要应用，如地震有无确定前兆，如果有弹性力学在地震预测方面也有重要应用，如地震有无确定前兆，如果有确定前兆，那么在原理上是否可探测，都是目前弹性力学研究的课题。确定前兆，那么在原理上是否可探测，都是目前弹性力学研究的课题。几年前发现了和地震相关的缺陷波，它的传播具有弥散特性，这为地震几年前发现了和地震相关的缺陷波，它的传播具有弥散特性，这为地震的预测投下了一道曙光。的预测投下了一道曙光。在抗震方面弹性力学也发挥着巨大作用。例如日本京都的三十三间堂，在抗震方面弹性力学也发挥着巨大作用。例如日本京都的三十三间堂，地基是层状结构，用来吸收和反射地震波。虽然位于地震多发带，几百地

60、基是层状结构，用来吸收和反射地震波。虽然位于地震多发带，几百年来整个建筑却没有受到地震影响年来整个建筑却没有受到地震影响当代的主动控制方法为抑制地震危害提供了新的途径。一个闭环系统可当代的主动控制方法为抑制地震危害提供了新的途径。一个闭环系统可以首先感知到振动的大小和频率，并随之利用致动器的反相位运动来加以首先感知到振动的大小和频率，并随之利用致动器的反相位运动来加以遏制。以遏制。7070航空航天航空航天 在航空航天领域也广泛应用了振动控制技术，例如火箭能否在航空航天领域也广泛应用了振动控制技术，例如火箭能否成功发射的一个关键问题在于如何有效控制火箭及其运载的成功发射的一个关键问题在于如何有效