函数的导数与最值学习教案

1、会计学1函数函数(hnsh)的导数与最值的导数与最值第一页，共26页。2022-5-72aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)0复习复习:一、函数一、函数(hnsh)单调性与导数关系单调性与导数关系如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有 ,则则 为常数为常数.0)( xf)(xf设函数设函数y=f(x) 在在 某个某个(mu )区间区间 内可导内可导，f(x)为为增函数增函数f(x)为减函数为减函数(hnsh)第1页/共25页第二页，共26页。2022-5-73二、函数二、函数(hnsh)的极值定义的极值定义设函数设函数f(x)在点在点x0附近附近(fjn)有定义

2、，有定义，如果对如果对X0附近附近(fjn)的所有点，都有的所有点，都有f(x)f(x0), 则则f(x0) 是函数是函数f(x)的一个极小值，记作的一个极小值，记作y极小值极小值= f(x0)；oxyoxy0 x0 x函数的函数的极大值极大值与与极小值极小值统称统称为为极值极值. 使函数取得极值的点使函数取得极值的点x0称为称为极值点极值点第2页/共25页第三页，共26页。2022-5-74 (1) (1) 求导函数求导函数f (x)f (x)； (2) (2) 求解方程求解方程f (x)=0f (x)=0； (3) (3) 检查检查f (x)f (x)在方程在方程f (x)=0f (x)=

3、0的根的左右的根的左右 的符号的符号(fho)(fho)，并根据符号，并根据符号(fho)(fho)确确定极大值与极小定极大值与极小 值值. .口诀口诀(kuju)：左负右正为极小，左正右负为极大：左负右正为极小，左正右负为极大。 三、用导数法求解函数三、用导数法求解函数(hnsh)(hnsh)极值极值的步骤：的步骤：第3页/共25页第四页，共26页。2022-5-75求下列函数求下列函数(hnsh)(hnsh)的极的极值值: :（3 3）函数）函数(hnsh)(hnsh)的极值的极值(j zh)(j zh)点为点为x=0,x=0,对吗？对吗？结论：结论：导数值为导数值为0 0的点是该点为的点

4、是该点为极值点的极值点的 条件条件. .必要不充分必要不充分x xo oy y第4页/共25页第五页，共26页。2022-5-76 （1 1）确定函数）确定函数(hnsh)(hnsh)的定义域，求导的定义域，求导数数f/(x)f/(x)； （2 2）解方程）解方程 f/(x0)=0 f/(x0)=0； （3 3）列表，根据表格求出极值）列表，根据表格求出极值 总结总结: :求函数极值求函数极值(j zh)(j zh)的的步骤步骤第5页/共25页第六页，共26页。2022-5-77例例2：设设，在，在和和处有极值处有极值(j zh)，且，且=1,求求，的值，并求出函数的值，并求出函数(hnsh)

5、的极的极值。值。， ，第6页/共25页第七页，共26页。2022-5-78第7页/共25页第八页，共26页。2022-5-79思考思考(sko): 下图是导函数下图是导函数 的图象的图象(t xin), 试找出函数试找出函数 的极值点的极值点, 并指出哪些是极大值点并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点哪些是极小值点.abxyx1Ox2x3x4x5x6)(xfy第8页/共25页第九页，共26页。2022-5-710 在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题大等

6、问题(wnt)，这些问题，这些问题(wnt)的解决常常可转的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题化为求一个函数的最大值和最小值问题(wnt) 函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们(t men)与函数极值关系如何？与函数极值关系如何？新新 课课 引引 入入极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数(hnsh)值与它附近点的函数(hnsh)值比较是最大或最小,并不意味着它在函数(hnsh)的整个的定义域内最大或最小。第9页/共25页第十页，共26页。2022-5-711知识知识(zh shi)回顾回顾 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定

7、义域为的定义域为I，如果，如果存在实数存在实数(shsh)M满足：满足： 1最大值最大值 （1）对于任意）对于任意(rny)的的xI，都有，都有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0) = M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最大值最大值 第10页/共25页第十一页，共26页。2022-5-7122最小值最小值 一般地，设函数一般地，设函数(hnsh)y=f(x)的定义域的定义域为为I，如果存在实数，如果存在实数M满足：满足： （1）对于任意）对于任意(rny)的的xI，都有，都有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0) = M那么那么(n me

8、)(n me)，称，称M M是函数是函数y=f(x)y=f(x)的最小值的最小值 第11页/共25页第十二页，共26页。2022-5-713x xy y0a ab bx x1 1x x2 2x x3 3x x4 4f(a)f(a)f(xf(x3 3) )f(b)f(b)f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )gg讲授讲授(jingshu)新新课课第12页/共25页第十三页，共26页。2022-5-714 例例1 求函数求函数 在区间在区间 上的最大值与上的最大值与最小值最小值4225yxx2 , 2 解：解：xxy443 0 y令令，有，有0443 xx，解得，解得1 , 0 , 1

9、x1345413y+00+02(1,2)1(0,1)0(-1,0)-1(-2,-1)-2x当当x 变化时，变化时， 的变化情况如下表：的变化情况如下表：yy , 从表上可知从表上可知(k zh)，最大值是，最大值是13，最小值是，最小值是4第13页/共25页第十四页，共26页。2022-5-715归纳归纳(gun)结论：结论：（1）函数f（x）的图像(t xin)若在开区间（a，b）上是连续不断的曲线，则函数f（x）在（a，b）上不一定有最大值或最小值；函数在半开半闭区间上的最值亦是如此（2）函数f（x）若在闭区间a，b上有定义，但有间断(jindun)点，则函数f（x）也不一定有最大值或最小

10、值 总结：一般地，如果在区间a，b上函数f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。如何求最值？只要把连续函数的所有极值与端点的函数值进行比较，就可求最大值、最小值第14页/共25页第十五页，共26页。2022-5-716 例例1 1、求函数、求函数f(x)=x2-4x+3f(x)=x2-4x+3在区间在区间(q (q jin)jin)-1-1，44内的最大值和最小值内的最大值和最小值 解解:f(x)=2x- 4:f(x)=2x- 4令令f(x)=0f(x)=0，即，即2x4=02x4=0，得得x =2x =2x x-1-1（-1,2-1,2）2 2（2 2，4 4）4 40

11、 0- -+8 83-1 故函数故函数(hnsh)f (x) (hnsh)f (x) 在区间在区间-1-1，44内的最大值为内的最大值为8 8，最小值为，最小值为-1 -1 例题例题(lt)讲解讲解第15页/共25页第十六页，共26页。2022-5-717一般地，求函数一般地，求函数y=f(x)在在a,b上的最大上的最大值与最小值的步骤值与最小值的步骤(bzhu)如下：如下： (2) (2)将将y=f(x)y=f(x)的各极值与端点处函数的各极值与端点处函数(hnsh)(hnsh)值值f(a)f(a)、f(b)f(b)比较比较, ,其中最大的一个为最大值，最小的其中最大的一个为最大值，最小的

12、一个最小值一个最小值. .(1)(1)求求f(x)f(x)在区间在区间(q jin)(a,b)(q jin)(a,b)内极值内极值( (极大值或极大值或极小值极小值) )第16页/共25页第十七页，共26页。2022-5-7181、求函数、求函数f(x)=x2-4x+6在区间在区间(q jin)1，5内内 的最大值和最小值的最大值和最小值 法一法一 、 将二次函数将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用配方，利用(lyng)二次函数单调性处理二次函数单调性处理练习练习(linx)第17页/共25页第十八页，共26页。2022-5-7191、求函数、求函数f(x)=x2-4x+6在区间在区间

13、(q jin)1，5内内 的最值的最值 故函数故函数(hnsh)f(x) 在区间在区间1，5内的最大值为内的最大值为11，最小值为，最小值为2 法二法二、解、解、 f (x)=2x-4令令f (x)=0，即，即2x-4=0，得得x=2x1（1,2）2（2,5）5y，0y-+3112第18页/共25页第十九页，共26页。2022-5-720 2 2、 函数函数(hnsh)y=x3-3x2(hnsh)y=x3-3x2，在，在2 2，4 4上的最大值为上的最大值为( )( )A.-4 B.0 C.16A.-4 B.0 C.16D.20D.20C C练练 习习第19页/共25页第二十页，共26页。20

14、22-5-7213.已知函数(hnsh)y=-x2-2x+3在区间a,2上的最大值为 ，则a等于（ ）A. B. C. D. 或23第20页/共25页第二十一页，共26页。2022-5-722第21页/共25页第二十二页，共26页。2022-5-723知识知识(zh shi)(zh shi)要点：要点： .函数函数(hnsh)的最大与最小值的最大与最小值 设设y = f(x)是定义在区间是定义在区间a , b上的函数上的函数(hnsh),y = f(x)在在(a , b)内有导数内有导数,求函数求函数(hnsh)y = f(x) 在区间在区间a , b上的最大最小值上的最大最小值,可分两步进行

15、可分两步进行:求求y = f(x)在区间在区间(a,b)内的极值内的极值; 将将y = f(x)在各极值点的极值与在各极值点的极值与f(a), f(b)比较，比较，其中最大的一个为最大值其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值。最小的一个为最小值。 若函数若函数f(x)在区间在区间a , b上单调递增上单调递增(减减),则则f(a) 为最小为最小(大大)值值,f(b)为最大为最大(小小)值。值。 小结小结第22页/共25页第二十三页，共26页。2022-5-724作业作业(zuy)1:求函数求函数y=x4-2x2+5在区间在区间(q jin)-2,2上的最上的最大值与最小大值与最小 值值.课本课本P99第第6题的（题的（1）、（）、（2）第23页/共25页第二十四页，共26页。2022-5-725第24页/共25页第二十五页，共26