函数的单调性87946学习教案

1、会计学1函数函数(hnsh)的单调性的单调性87946第一页，共30页。如图如图(课本课本34页图页图2113)，是气温，是气温关于时间关于时间(shjin)t的函数，记为的函数，记为f (t)，观察这个，观察这个函数的图象，说出气温在哪些时间函数的图象，说出气温在哪些时间(shjin)段内是逐渐升高的或是下降的？段内是逐渐升高的或是下降的？ 问题：怎样用数学问题：怎样用数学(shxu)语言刻画语言刻画“随时间的增大气温逐渐升高随时间的增大气温逐渐升高 ”这一这一特征？特征？y随随x的增大的增大(zn d)而增大而增大(zn d)情境问题：情境问题：T/ C246810O- -2t/小时841

2、21620246210141822第1页/共29页第二页，共30页。xx1(x0 )在一碗水中，加入一定量的盐，盐加得越多就越咸设水的质量为在一碗水中，加入一定量的盐，盐加得越多就越咸设水的质量为1，盐的质量为，盐的质量为x，盐水的浓度，盐水的浓度(nngd)为为y，则，则y与与x之间的函数关系是之间的函数关系是 y 问题一：怎样用数学语言刻画问题一：怎样用数学语言刻画(khu)“盐加得越多就越咸盐加得越多就越咸”这一特征？这一特征？问题二：函数的解析问题二：函数的解析(ji x)式能反映出这个特征吗？式能反映出这个特征吗？y随随x的增大而增大的增大而增大情境问题：情境问题：第2页/共29页第

3、三页，共30页。数学数学(shxu)建建构：构：问题1 如图，观察一次函数f（x）x和二次函数f（x）x2的图象，说说随着x的增大，图象的升降(shngjing)情况 函数f（x）x的图象由左到右是上升的；函数f（x）x2的图象在y轴左侧(zu c)是下降的，在y轴右侧是上升的yOxxyOxy2xyO第3页/共29页第四页，共30页。Oxy从下列变化，你能得出从下列变化，你能得出(d ch)什么结论？什么结论？第4页/共29页第五页，共30页。Oxyx( )f x从下列变化从下列变化(binhu)，你能得出什么结论？，你能得出什么结论？第5页/共29页第六页，共30页。Oxyx( )f x从下

4、列变化，你能得出什么从下列变化，你能得出什么(shn me)结论？结论？第6页/共29页第七页，共30页。Oxyx( )f x从下列变化，你能得出从下列变化，你能得出(d ch)什么结论？什么结论？第7页/共29页第八页，共30页。Oxyx( )f x从下列变化，你能得出什么从下列变化，你能得出什么(shn me)结论？结论？第8页/共29页第九页，共30页。Oxyx( )f x从下列从下列(xili)变化，你能得出什么结论？变化，你能得出什么结论？第9页/共29页第十页，共30页。Ox( )f xxy从下列变化，你能得出从下列变化，你能得出(d ch)什么结论？什么结论？第10页/共29页第

5、十一页，共30页。Oxy如何用如何用x与与 f(x)来描述来描述(mio sh)上升或下降的图象？上升或下降的图象？21xx )x ( f1) x ( fy Oxy)x ( f2第11页/共29页第十二页，共30页。数学建构：单调数学建构：单调(dndio)性定义性定义一般地，设函数一般地，设函数y yf f( (x x) )的定义域为的定义域为A A，区间，区间I I A A如果对于如果对于区间区间I内内的的任意任意两个值两个值x1，x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说yf(x)在区间在区间I上是上是单调增函数单调增函数， I称为称为yf(x)的的单调

6、增区间单调增区间如果对于如果对于区间区间I内内的的任意任意两个值两个值x1，x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说那么就说yf(x)在区间在区间I上是上是单调减函数单调减函数， I称为称为yf(x)的的单调减区间单调减区间第12页/共29页第十三页，共30页。数学数学(shxu)建构：定义剖析建构：定义剖析（1 1）函数单调性的几何）函数单调性的几何(j h)(j h)特征：在单调区间上，特征：在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。函数图象从左到右逐渐函数图象从左到右逐渐(zhjin)上升上升函数图象从

7、左到右逐渐下降。函数图象从左到右逐渐下降。递减递减 递增递增第13页/共29页第十四页，共30页。数学数学(shxu)建构：定义剖析建构：定义剖析（2）函数单调性是针对(zhndu)某一个区间而言的，是一个局部性质。 有些函数在整个定义域内是单调的；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，在部分区间上是减函数；有些函数是非(shfi)单调函数，如常数函数。 第14页/共29页第十五页，共30页。数学建构数学建构(jin u)：定义剖析：定义剖析 函数的单调性是函数在一个单调区间上的“整体”性质，x1x2具有(jyu)任意性，不能用特殊值代替（3）x1,x2的任意性的任意性第15页/共29页第十

8、六页，共30页。数学数学(shxu)应用：应用：例例1 1、如果定义域为、如果定义域为A A的函数的函数(hnsh)y(hnsh)yf(x)f(x)的图象如图所示的图象如图所示针对图形，指出哪些函数针对图形，指出哪些函数(hnsh)是是A上的单调增函数上的单调增函数(hnsh)，哪些函，哪些函数数(hnsh)是是A上的单调减函数上的单调减函数(hnsh)xyOxyOxyOxyO(1)(2)(3)(4)第16页/共29页第十七页，共30页。数学数学(shxu)应应用：用：（1）二次函数(hnsh)yx22x1在对称轴的左侧在对称轴的左侧(zu c)，y随随x的增大而减小，的增大而减小，在对称轴的

9、右侧，在对称轴的右侧，y随随x的增大而增大的增大而增大xyO在区间在区间( ，1)上单调递减，在区间上单调递减，在区间(1， )上单调递增上单调递增在区间在区间( ，1)上是减函数，在区间上是减函数，在区间(1， )上是增函数上是增函数二次函数二次函数yx22x1的减区间是的减区间是( ，1)，增区间是，增区间是(1， )例例2.求下列函数的单调区间：求下列函数的单调区间：第17页/共29页第十八页，共30页。xyO（2）反比例函数）反比例函数(hnsh)y在第一象限在第一象限(xingxin)，y随随x的增大而减小，的增大而减小，在第三象限在第三象限(xingxin)，y随随x的增大而减小的

10、增大而减小在区间在区间(0， )上单调递减，在区间上单调递减，在区间( ，0)上也单调递减上也单调递减数学应用：数学应用：在区间在区间(0， )上是减函数，在区间上是减函数，在区间( ，0)上也是减函数上也是减函数函数函数y 的减区间是的减区间是( ，0)和和(0，+ )注：注：函数函数y 的减区间不能表示为的减区间不能表示为( ，0)(0，+ )第18页/共29页第十九页，共30页。6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4-6-4-22468-3-33 31 1-2-2-1-1-2-2-1-1第19页/共29页第二十页，共30页。6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4-6-4-

11、22468-3-33 31 1-2-2-1-1-2-2-1-1的单调区间）求函数（例11)3.(11)2.(11. 3xyxyxyxy1第20页/共29页第二十一页，共30页。6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4-6-4-22468-3-33 31 1-2-2-1-1-2-2-1-1的单调区间）求函数（例11)3.(11)2.(11. 3xyxyxyxy1第21页/共29页第二十二页，共30页。可以可以(ky)(ky)发现，上下平移发现，上下平移, ,单调区间不变单调区间不变. .它们它们的单调减区间为的单调减区间为(-,0)(-,0)和和(0,+)(0,+)思考：左右平移会改变函数

12、的单调区间吗？试比思考：左右平移会改变函数的单调区间吗？试比较较 的单调区间的单调区间11)3.(11)2.(11xyxyxy）（你发现你发现(fxin)了吗了吗？第22页/共29页第二十三页，共30页。注意：注意：1）单调区间）单调区间(q jin)和定义域的关系和定义域的关系2 2）函数的单调性是对某一个区间而言的）函数的单调性是对某一个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题。所以不存在单调性问题。3 3）在区间的端点）在区间的端点(dun din)(dun di

13、n)处若有定处若有定义，可开可闭，但在整个定义域内要完义，可开可闭，但在整个定义域内要完整。整。第23页/共29页第二十四页，共30页。数学应用(yngyng)：单调性的证明例例4、证明、证明(zhngmng)函数函数21,xx21xx 021xxx03)( 3)23()23()()(212121xxxxxxfxfy。证明：设证明：设是是R上的任意两个实数，且上的任意两个实数，且，则，则，所以，所以，在在R R上是增函数。上是增函数。 在在R上上是增函数。是增函数。第24页/共29页第二十五页，共30页。数学应用：单调(dndio)性的证明例例5、求证：函数求证：函数 在区在区间（间（-，0）

14、上是单调增函数。）上是单调增函数。11)(xxf第25页/共29页第二十六页，共30页。利用定义证明函数单调(dndio)性的步骤： 任意取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1x2，则，则 因为因为x(-1,1)，所以，所以x21,即即x2-10时，单调递减；当时，单调递减；当ax2，有，有x1x2+10 注：当a=0时，函数(hnsh)为常数函数(hnsh)第27页/共29页第二十八页，共30页。数与形数与形,本是相倚依本是相倚依,焉能分作两边飞焉能分作两边飞;数无形时少直觉数无形时少直觉,形少数时难入微形少数时难入微;数形结合百般好数形结合百般好,隔离分家万事休隔离分家万事休;切莫忘切莫忘,几何代数统一体几何代数统一体,永远联系莫分离永远联系莫分离. 华罗庚华罗庚第28页/共29页第二十九页，共30页。NoIma