高三一轮复习数学精品资料第四章 三角函数费

1、第四章 三角函数§4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数根底自测1.A=小于90°的角，B=第一象限的角，那么AB等于 A.小于90°的角 B.0°90°的角答案 D2.将表的分针拨慢10分钟，那么分针转过的角的弧度数是 ( )A. B.答案 C6 cm，面积是2 cm2，那么扇形的中心角的弧度数是 ( )A.1 B.4 C答案 C终边上一点P的坐标是2sin2,-2cos2)，那么sin等于 2 C.cos2 D. -cos2答案 D 5.是第二象限角，Px，为其终边上一点，且cos=,那么sin的值是 A. B. C.答案 A例1 假设是

2、第二象限的角，试分别确定2, ,的终边所在位置.解 是第二象限的角，k·360°+90°k·360°+180°kZ.12k·360°+180°22k·360°+360°kZ，2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上.2k·180°+45° k·180°+90°kZ，当k=2nnZ时，n·360°+45°n·360°+90°；当k=2n+1nZ时，

3、n·360°+225°n·360°+270°.是第一或第三象限的角.3k·120°+30°k·120°+60°kZ，当k=3nnZ时，n·360°+30°n·360°+60°；当k=3n+1nZ时，n·360°+150°n·360°+180°；当k=3n+2nZ时，n·360°+270°n·360°+300&

4、#176;.是第一或第二或第四象限的角.例2 1一个半径为r的扇形，假设它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇 形的面积是多少？2一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？解 1设扇形的圆心角是rad，因为扇形的弧长是r,所以扇形的周长是2r+r.依题意，得2r+r=r,=-2=(-2)××°°65°26,扇形的面积为S=r2=-2r2.2设扇形的半径为r，弧长为l，那么l+2r=20,即l=20-2r (0r10)扇形的面积S=lr，将代入，得S=(20-2r)r=-r2+10

5、r=-(r-5)2+25,l=20-2×5=10,=2.所以当=2 rad时，扇形的面积取最大值.例3 12分角的终边在直线3x+4y=0上，求sin,cos,tan的值.解 角的终边在直线3x+4y=0上，在角的终边上任取一点P(4t,-3t) (t0),2分那么x=4t,y=-3t,r=|t|, 4分当t0时，r=5t,sin=,cos=,tan=; 8分当t0时，r=-5t,sin=,cos=,tan=.10分综上可知，t0时，sin=,cos=,tan=;t0时，sin=,cos=-,tan=.12分例4 在单位圆中画出适合以下条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合:(1)

6、sin;(2)cos.解 1作直线y=交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，那么OA与OB围成的区域即为角的终边的范围，故满足条件的角的集合为|2k+2k+，kZ .2作直线x=交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，那么OC与OD围成的区域图中阴影局部即为角的集合为 .是第三象限角，问是哪个象限的角？解 是第三象限角，180°+k·360°270°+k·360°kZ，60°+k·120°90°+k·120°.当k=3m(mZ)时，可得60°+m·360&#

7、176;90°+m·360°mZ.故的终边在第一象限.当k=3m+1 (mZ)时，可得180°+m·360°210°+m·360°mZ).故的终边在第三象限.当k=3m+2 mZ时，可得300°+m·360°330°+m·360°mZ.故的终边在第四象限.综上可知，是第一、第三或第四象限的角. 为120°，半径长为6,1求 的弧长；2求弓形OAB的面积.解 1=120°=rad，r=6， 的弧长为l=×6=4.(2)

8、S扇形OAB=lr=×4×6=12，SABO=r2·sin=×62×=9，S弓形OAB=S扇形OAB-SABO=12-9.的终边在y轴上，求sin、cos、tan的值.解 角的终边在y轴上，可在的终边上任取一点0,t)(t0),即x=0，y=t.r=|t|.当t0时，r=t,sin=1,cos=0,tan=不存在；当t0时，r=-t，sin=-1,cos=0,tan=不存在.综上可知,sin=±1,cos=0,tan不存在.4.求以下函数的定义域：1y=；2y=lg(3-4sin2x.解 12cosx-10，cosx.由三角函数线画出

9、x满足条件的终边范围(如图阴影所示).xkZ.23-4sin2x0,sin2x,-sinx.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如右图阴影),xk-,k+kZ).一、选择题·tan0,那么角是 答案 C2.假设0x，那么以下命题中正确的选项是 A.sinx< B. sinx> C. sinx< D. sinx>答案 D°角终边相同的角表示为 A. k·360°+230°(kZ) B. k·360°+250°(kZ)C. k·360°+70°(kZ) D. k

10、·360°+270°(kZ)答案 B4.sin21,那么所在象限为 答案 D5.点Ptan，cos在第三象限，那么角的终边在第几象限 答案 B6.2021·德州模拟且sin+cos=a，其中a(0，1，那么关于tan的值，以下四个答案中，可能正确的选项是 答案 C二、填空题的终边落在直线y=-3x (x0)上，那么 .答案 25cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，那么d= ,其中t0,60.答案 10sin三、解答题=,cos=,假设是第二象限角，求实数a的值.解

11、是第二象限角，sin0,cos0,，解得0a.又sin2+cos2=1,解得a=或a=1(舍去，故实数a的值为.10.1扇形的周长为10，面积为4，求扇形圆心角的弧度数；2扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形半径为R，中心角为，所对的弧长为l.1依题意，得22-17+8=0,=8或.82,舍去,=.(2)扇形的周长为40,+2R=40，S=lR=·2R.当且仅当=2R,即R=10, =2时面积取得最大值，最大值为100.为第三象限角，试判断的符号.解 为第三象限角，2k+2k+ (kZ),k+ (kZ).当k=2n (nZ)时

12、，2n+,此时在第二象限.sin0,cos0.因此0.当k=2n+1(nZ)时，(2n+1)+(2n+1)+(nZ),即2n+2n+(nZ)此时在第四象限.sin0,cos0,因此0,综上可知：0.终边上的点P与Aa，2a关于x轴对称a0，角终边上的点Q与A关于直线y=x对称，求sin·cos+sin·cos+tan·tan的值.解 由题意得，点P的坐标为a,-2a)，点Q的坐标为2a，a.sin=,cos=,tan=,sin=,cos=,tan=,故有sin·cos+sin·cos+tan·tan=-1.§4.2 同角三角

13、函数的根本关系式与诱导公式根底自测1.2021·泰安模拟sin2(+)-cos(+)·cos(-)+1的值为 A.1 B.答案 D°等于 A. C.答案 D=,且，那么sin的值是 ( )A. B. C. D.答案 A=2,那么sin(-5)·sin等于 A. B. C.答案 C5.(2021·武汉模拟)sin=，那么sin4-cos4的值为( )A. B. C. D.答案 A例1 f()=;1化简f();2假设是第三象限角，且cos，求f()的值.解 1f=-cos. 2cos=-sin,sin=-,cos=-,f()=.例2 12分-x0,

14、sinx+cosx=.1求sinx-cosx的值；2求的值.解 1方法一 联立方程： 2分由得sinx=-cosx,将其代入，整理得25cos2x-5cosx-12=0.3分-x0,所以sinx-cosx=-.6分方法二 sinx+cosx=,(sinx+cosx)2=,即1+2sinxcosx=,2sinxcosx=-.2分(sinx-cosx)2=sin2x-2sinxcosx+cos2x=1-2sinxcosx=1+= 4分又-x0,sinx0,cosx0,sinx-cosx0 由可知：sinx-cosx=-. 6分2由条件及1可知,解得,8分tanx=-. 9分又= 11分=.12分例

15、3 tan=2,求以下各式的值：1;2 ;34sin2-3sincos-5cos2.解 1原式=.2.3sin2+cos2=1,4sin2-3sincos-5cos2=.解 原式=-1. +cos=,(0,).求值：1tan;2sin-cos;3sin3+cos3.解 方法一 sin+cos=,(0,),(sin+cos)2=1+2sincos，sincos=-0.由根与系数的关系知，sin,cos是方程x2-x-=0的两根，解方程得x1=,x2=-.sin0,cos0,sin=,cos =-.1tan=-.2sin-cos=.3sin3+cos3=.方法二 1同方法一.2sin-cos2=1

16、-2sin·cos=1-2×=.sin0,cos0,sin-cos0,sin-cos=.3sin3+cos3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2)=×=.3.sin(+k)=-2cos(+k) (kZ).求:1;2sin2+cos2.解 由得cos(+k)0,tan(+k)=-2(kZ),即tan=-2.1.2sin2+cos2=.一、选择题1.是第四象限角，tan=，那么sin等于 A. C.答案 D2.2021·浙江理，8假设cos+2sin=-,那么tan等于 A. B. 2 C.答案 B3.2021· 四川理，5设02

17、,假设sincos,那么的取值范围是 A. B. C. D. 答案 Cx2，且=sinx-cosx，那么 x B.C. D.答案C5.sin2(+)-cos(+)cos(-)+1的值为 2 答案 D+cos=tan ，那么的取值范围是 A. B. C. D. 答案 C二、填空题=,且是第四象限的角,那么cos = .答案 8.化简:= .答案 1三、解答题9.cos(+)=-,且是第四象限角，计算：1sin(2-);2 (nZ).解 cos(+)=-,-cos=-,cos=,又是第四象限角，sin=-.1sin(2-)=sin2+(-)=sin(-)=-sin=.2=-4.10.化简：.解 方

18、法一 原式=.方法二 原式=11.设k为整数，化简解 方法一 当k为偶数时，设k=2m (mZ),那么原式=当k为奇数时，可设k=2m+1(mZ),仿上可得，原式=-1.方法二 由(k+)+(k-)=2 k,(k-1)-+(k+1)+=2 k,得sin(k-)=-sin(k+),cos(k-1)-=cos(k+1)+=-cos(k+),sin(k+1)+=-sin(k+).故原式=12.sin(-)-cos(+)=.求以下各式的值：1sin-cos;2解 由sin(-)-cos(+)=,得         

19、;               将式两边平方，得1+2sin·cos=,故2sin·cos=-,又，0，0.0.1. 2 = =§4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切根底自测=,且，那么的值等于 ( )A. B. C. D.答案 B2.tan(+)=3，tan(-)=5，那么tan2等于 ( )A. C.答案 D，假设那么等于 A. B.答案 B4.2021·山东理，5cos+sin=,那么sin的值是 A. B.

20、C. D. 答案 C5.2021·成都市第一次诊断性检测函数f(x)=sinx+cosx的最小正周期为 A. B. C.答案 D例1 求2sin50°+sin10°(1+tan10°)·的值.解 原式=例2 且求的值.解 ,0，-,- -.sin=,cos=.cos=coscos+sinsin=.例3 (12分)假设sinA=,sinB=,且A,B均为钝角,求A+B的值.解 A、B均为钝角且sinA=,sinB=，cosA=-=-=-，cosB=-=-=-，4分cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=×-×=8

21、分又A, B,10分A+B2由知，A+B=.12分例4 化简sin2·sin2+cos2cos2-cos2·cos2.解 方法一 复角单角，从“角入手原式=sin2·sin2+cos2·cos2-·(2cos2-1)·(2cos2-1)=sin2·sin2+cos2·cos2-(4cos2·cos2-2cos2-2cos2+1)=sin2·sin2-cos2·cos2+cos2+cos2-=sin2·sin2+cos2·sin2+cos2-=sin2+cos2-=1

22、-=.方法二 从“名入手，异名化同名原式=sin2·sin2+(1-sin2)·cos2-cos2·cos2=cos2-sin2 (cos2-sin2)-cos2·cos2=cos2-sin2·cos2-cos2·cos2=cos2-cos2·=-cos2·=-cos2=.方法三 从“幂入手，利用降幂公式先降次原式=·+·-cos2·cos2=(1+cos2·cos2-cos2-cos2)+(1+cos2·cos2+cos2+cos2)-·cos2

23、3;cos2=.方法四 从“形入手，利用配方法，先对二次项配方原式=(sin·sin-cos·cos)2+2sin·sin·cos·cos-cos2·cos2=cos2(+)+sin2·sin2-cos2·cos2=cos2(+)-·cos(2+2)=cos2(+)- ·2cos2(+)-1=.°+cos280°+sin20°cos80°的值.解 sin220°+cos280°+sin20°cos80°=(1-cos

24、40°)+ (1+cos160°)+ sin20°cos80°=1-cos40°+cos160°+sin20°cos(60°+20°)=1-cos40°+(cos120°cos40°-sin120°sin40°)+sin20°(cos60°cos20°-sin60°sin20°)=1-cos40°-cos40°-sin40°+sin40°-sin220°=1

25、-cos40°- (1-cos40°=.2.求值：1cos =-,sin=,且,0,求cos的值；2tan=4,cos(+)=-, 、均为锐角，求cos的值.解 1+ =,0.,sin=,cos=,cos=cos=coscos-sinsin=×-×=-.(2)tan=4,且为锐角， ,即sin=4cos,又sin2+cos2=1,sin=,cos=.0,0+,sin(+)=.而=(+)-,cos=cos+-=cos(+)cos+sin(+)sin=×+×=.3.在ABC中，角A、B 、C满足4sin2-cos2B=,求角B的度数.解

26、在ABC中，A+B+C=180°,由4sin2-cos2B=,得4·-2cos2B+1=,所以4cos2B-4cosB+1=0.于是cosB=,B=60°.4.化简：1sin+cos;(2.解 1原式=2=2=2cos=2cos(x-).2原式=1.一、选择题1.2021·成都市第一次诊断性检测为锐角，sin=，那么tan(-)等于 A.B.7答案C°·sin223°+sin253°·sin313°等于 A. B. C. D. 答案 B3.(2021·长沙模拟)那么tan2x等于 A.

27、 B. C. D. 答案 A=其中，那么sin的值为 A. C.答案 B 5.等于 C. D.答案 D6.假设f(x)=2tanx-，那么f的值为 B.8 C.答案 B二、填空题7.2021·上海理，6函数f(x)=sinx+sin的最大值是 .答案 28.求值：cos4+cos4+cos4+cos4= .答案 三、解答题=,tan=,并且,均为锐角，求+2的值.解 tan=1,tan=1,且、均为锐角，0,0.0+2.又tan2=,tan(+2)=1.+2=.10.假设函数fx=-asincos的最大值为2，试确定常数a的值.解 fx=+asincos=cosx+sinx=sinx

28、+，其中角满足sin=.由，有+=4.解之得a=±.·sin=,求2sin2+tan-1的值.解 sinsin=,sincos=,即sin=,sin=,cos4=，又,4=,=,2sin2+tan-1=2sin2+-1=2sin2-1+=-cos2+=-cos-=-=.12.2021·通州模拟tan(+)=-,tan(+)=.(1)求tan(+)的值；2求tan的值.解 1tan(+)=-,tan=-,tan(+)=,tan(+)=.(2)tan=tan(+)-=,tan=.§4.4 三角函数的图象与性质根底自测1.在以下函数中，同时满足：在0,上递减；

29、以2为周期；是奇函数. A.y=tanx B.y=cosx C.y=-sinx D.y=sinxcosx答案C2.以下函数中，周期为的是 A.y=sin B.y=sin2x C.y=cos D.y=cos4x答案D3.(2021·河南新郑模拟)设函数y=acosx+ba、b为常数)的最大值是1，最小值是-7，那么acosx+bsinx的最大值是 ( )A.1 B.4 答案 C4.函数y=|sinx|的一个单调增区间是 A. B. C. D. 答案 C5.2021·全国理，8假设动直线x=a与函数f(x)=sinx和g(x)=cosx的图象分别交于M、N两点，那么|MN|的最

30、大值为 A.1 B. C. 答案 B 例1 求以下函数的定义域：1y=lgsin(cosx);2y=.解 1要使函数有意义，必须使sin(cosx)0.-1cosx1,0cosx1.方法一 利用余弦函数的简图得知定义域为x|-+2kx+2k,kZ.方法二 利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0OM1,OM只能在x轴的正半轴上，其定义域为.2要使函数有意义，必须使sinx-cosx0.方法一 利用图象.在同一坐标系中画出0,2上y=sinx和y=cosx的图象，如下图.在0，2内，满足sinx=cosx的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2,所以定义域为.方法二 利用三角函数线，如图MN为正弦线，

31、OM为余弦线，要使sinxcosx,即MNOM，那么x在0，2内.定义域为.方法三 sinx-cosx=sin0，将x-视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图象和性质可知2kx-+2k,解得2k+x+2k,kZ.所以定义域为.例2求以下函数的值域：1y=;2y=sinx+cosx+sinxcosx;3y=2cos+2cosx.解 1y=2cos2x+2cosx=2-.于是当且仅当cosx=1时取得ymax=4,但cosx1,y4，且ymin=-,当且仅当cosx=-时取得.故函数值域为.2令t=sinx+cosx,那么有t2=1+2sinxcosx,即sinxcosx=.有y=f(t)=t+

32、=.又t=sinx+cosx=sin，-t.故y=f(t)= (-t),从而知：f(-1)yf(),即-1y+.即函数的值域为.3y=2cos+2cosx=2coscosx-2sinsinx+2cosx=3cosx-sinx=2=2cos.1该函数值域为-2，2.例312分求函数y=2sin的单调区间.解 方法一 y=2sin化成y=-2sin.1分y=sinu(uR)的递增、递减区间分别为kZ), (kZ), 3分函数y=-2sin的递增、递减区间分别由下面的不等式确定即2k+x-2k+kZ),2k+x2k+kZ),2k-x-2k+kZ),即2k-x2k+kZ). 11分函数y=2sin的单

33、调递减区间、单调递增区间分别为kZ),kZ). 12分方法二 y=2sin可看作是由y=2sinu与u=复合而成的. 1分又u=为减函数，由2k-u2k+kZ),-2k-x-2k+ (kZ).即kZ为y=2sin的递减区间.由2k+u2k+ (kZ),即2k+-x2k+ (kZ)得-2k-x-2k- (kZ),即kZ)为y=2sin的递增区间.11分综上可知：y=2sin的递增区间为kZ；递减区间为kZ. 12分 1.求f(x)=的定义域和值域.解 由函数1-cos0,得sinx,利用单位圆或三角函数的图象，易得所求函数的定义域是Z .当sinx=cos=时，ymin=0;当sinx=cos=

34、-1时，ymax=.所以函数的值域为0，.2.函数f(x)=,求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性.解 由题意知cos2x0，得2xk+，解得xkZ.所以f(x的定义域为.又fx)= =cos2x-1=-sin2x.又定义域关于原点对称，f(x)是偶函数.显然-sin2x-1，0，但x,kZ.-sin2x-.所以原函数的值域为.3.1求函数y=sin的单调递减区间；2求y=3tan的周期及单调区间.解 1方法一 令u=,y=sinu利用复合函数单调性.由2k-2x+2k+(kZ),得2k-2x2k+kZ),-k-x-k+ (kZ),即k-xk+kZ).原函数的单调递减区间为 (kZ).方法二

35、由函数y=-sin,欲求函数的单调递减区间，只需求y=sin的单调递增区间.由2k-2x-2k+kZ),解得k-xk+kZ).原函数的单调递减区间为kZ.2y=3tan =-3tan,T=4,y=3tan的周期为4.由k-k+，得4k-x4k+ (kZ),y=3tan的单调增区间是(kZy=3tan的单调递减区间是 (kZ).一、选择题1.函数y=tanx在内是减函数,那么 A.01 0 C.1 D.-1答案B2.2021· 连云港模拟假设函数y=的最小正周期为4，且当x=2时y取得最小值,那么的一个可能值是 )A. B. C. D.答案 C3.函数f(x)=tanx (0)的图象的

36、相邻的两支截直线y=所得线段长为,那么f()的值是 ( )A.0 B.1 C.-1 D.答案 A4.函数y=2sin-2x(x0，)为增函数的区间是 ( )A. B. C. D. 答案 C5.2021·河南新郑二中模拟函数f(x)=Asin (x+) (A0,0,|)满足f(1)=0,那么 A.f(x-1)一定是偶函数B.f(x-1)一定是奇函数C.f(x+1)一定是偶函数D.f(x+1)一定是奇函数答案D6.给出以下命题：函数y=cos是奇函数；存在实数,使得sin+cos=;假设是第一象限角且,那么tantan;x=是函数y=sin的一条对称轴方程；函数y=sin的图象关于点成中

37、心对称图形.其中正确的序号为 A. B. C. D. 答案 C二、填空题7.(2021·江苏，1)f(x)=cos(x-)最小正周期为，其中0，那么= .答案 108.关于函数f(x)=4sin2x+xR，有以下命题：由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是的整数倍；y= f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-)；y= f(x)的图象关于点(-,0)对称；y= f(x)的图象关于直线x=-对称.其中正确的命题的序号是 .把你认为正确的命题序号都填上答案 三、解答题，假设方程mcosx-1=cosx+m有解，试求参数m的取值范围.解 由mcosx-1=cosx+m得cosx

38、=,作出函数y=cosx的图象如下图，由图象可得1,解得m-3.10.设a=,b=(4sinx,cosx-sinx),f(x)=a·b.1求函数f(x)的解析式；2常数0，假设y=f()在区间上是增函数，求的取值范围；3设集合A=，B=x|f(x)-m|2,假设AB，求实数m的取值范围.解 1f(x)=sin2·4sinx+(cosx+sinx)·(cosx-sinx)=4sinx·+cos2x=2sinx(1+sinx)+1-2sin2x=2sinx+1,f(x)=2sinx+1.2f(x)=2sinx+1,0.由2k-x2k+,得f(x)的增区间是,

39、kZ.fx在上是增函数，.-且,.3由|f(x)-m|2,得-2f(x)-m2,即f(x)-2mf(x)+2.AB，当x时，不等式f(x)-2mf(x)+2恒成立.f(x)max-2mf(x)min+2,f(x)max=f()=3,f(x)min=f()=2,m1，4.11.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，假设f(x)的最小正周期是,且当x时，f(x)=sinx.1求当x-，0时，f(x)的解析式；2画出函数f(x)在-，上的函数简图；3求当f(x)时，x的取值范围.解 1f(x)是偶函数，f(-x)=f(x).而当x时，f(x)=sinx.当x时，f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sinx.又当x时，x+，f(x)的周期为，f(x)=f(+x)=sin(+x)=-sinx.当x-,0时，f(x)=-sinx.2如图3由于f(x的最小正周期为,因此先在-，0上来研究f(x),即-sinx,sinx-,-x-.由周期性知，当x,kZ时，f(x).12.a0，函数f(x)=-2asin+2a+b,当x时，-5f(x)1.1求常数