大学物理3_2 刚体定轴转动的动力学描述

1、3 2 刚体定轴转动的动力学描述刚体定轴转动的动力学描述第三章第三章 刚体的转动刚体的转动Pz*OMFrd : 力臂力臂d 刚体绕刚体绕 O z 轴旋转轴旋转 , 力力 作用在刚体上点作用在刚体上点 P , 且在转动且在转动平面内平面内, 为由点为由点O 到力的到力的作用点作用点 P 的径矢的径矢 . FrFrM 对转轴对转轴 Z 的力矩的力矩: F 一一 力矩力矩 M刚体上力的大小与力臂的乘积刚体上力的大小与力臂的乘积. 作用在作用在sinFrFdM矢量表示矢量表示大小大小方向方向: 右手螺旋定则右手螺旋定则sinFrM 3 2 刚体定轴转动的动力学描述刚体定轴转动的动力学描述第三章第三章

2、刚体的转动刚体的转动大小大小:多力作用下多力作用下 的力矩的力矩 FFFF 如果有几个力同时作用在如果有几个力同时作用在一个绕定轴转动的刚体上一个绕定轴转动的刚体上,而而且这几个力都在与转轴相垂且这几个力都在与转轴相垂直的平面内直的平面内,则这几个的合力则这几个的合力矩为矩为321MMMM333222111sinsinsinrFrFrFM0iF0iM0iF0iM3 2 刚体定轴转动的动力学描述刚体定轴转动的动力学描述第三章第三章 刚体的转动刚体的转动zOkFr讨论讨论FFFzFrkMzsin rFMzzFF 1）若力若力 不在转动平面内，把力分解为平行和垂不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于

3、转轴方向的两个分量直于转轴方向的两个分量 F2）合）合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和321MMMM 其中其中 对转轴的力对转轴的力矩为零，故矩为零，故 对转轴的对转轴的力矩力矩zFFiMMor3 2 刚体定轴转动的动力学描述刚体定轴转动的动力学描述第三章第三章 刚体的转动刚体的转动3） 刚体内作用力和刚体内作用力和反反作用力的力矩互相作用力的力矩互相抵消抵消jiijMMjririjijFjiFdOijMjiM量纲量纲:22dimTMLM单位单位:mN 3 2 刚体定轴转动的动力学描述刚体定轴转动的动力学描述第三章第三章 刚体的转动刚体的转动举例举例 内力对转轴的力矩内力对转轴

4、的力矩jiijMM所以所以 将刚体看成由许许多多质量将刚体看成由许许多多质量为为 的质元所组成的质元所组成,把这些把这些质元当作质点质元当作质点.由此我们假设由此我们假设刚体由刚体由n个质量为个质量为 的质点组的质点组成成,其中第其中第 个质点和第个质点和第 个质个质点间在与转轴垂直平面内的相点间在与转轴垂直平面内的相互作用力分别为互作用力分别为: 和和 imimijijFjiF显然显然jiijFF两力对转轴的力矩两力对转轴的力矩:iiijijrFMsinjjjijirFMsin由于由于drrjjiisinsin整个刚体整个刚体0ijMM3 2 刚体定轴转动的动力学描述刚体定轴转动的动力学描述

5、第三章第三章 刚体的转动刚体的转动 解解 受力分析，如图所示受力分析，如图所示 例例1 如图所示如图所示,有一半径为有一半径为 、质量为、质量为 的均匀圆盘，的均匀圆盘，可绕通过圆盘中心可绕通过圆盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动并与盘面垂直的轴的转动.转轴与圆转轴与圆盘之间的摩擦略去不计盘之间的摩擦略去不计.圆盘上绕有轻而细的绳索圆盘上绕有轻而细的绳索,绳的一绳的一端固定在圆盘上端固定在圆盘上,另一端系一质量为另一端系一质量为 的物体的物体.试求作用在试求作用在圆盘上的力矩圆盘上的力矩.mRmORmmmRoTFmmgTFTTFFRFMT3 2 刚体定轴转动的动力学描述刚体定轴转动的动力学描述

6、第三章第三章 刚体的转动刚体的转动 *例例2 有一大型水坝高有一大型水坝高110 m、长、长1000m，水深，水深100m，水面与大坝表面垂直，如图所示水面与大坝表面垂直，如图所示 . 求作用在大坝上的力，求作用在大坝上的力，以及这个力对通过大坝基点以及这个力对通过大坝基点 Q 且与且与 x 轴平行的力矩轴平行的力矩 . 解解 设水深设水深h，坝长，坝长L，在坝面上取面积元，在坝面上取面积元 作用在此面积元上的力作用在此面积元上的力yLAdd ypLApFdddyOhyxAdydQyOx3 2 刚体定轴转动的动力学描述刚体定轴转动的动力学描述第三章第三章 刚体的转动刚体的转动)(0yhgpp令

7、大气压为令大气压为 ，则，则 0pyLyhgpFd)(d0200021d)(gLhLhpyLyhgpFh代入数据，得代入数据，得N1091. 510FypLApFdddyOhyxAdyd100m hm1000L3 2 刚体定轴转动的动力学描述刚体定轴转动的动力学描述第三章第三章 刚体的转动刚体的转动FyMddyLyhgpyMd)(d03206121LhgLhphyLyhgpyM00d)(代入数据，得代入数据，得mN1014. 212M 对通过点对通过点 Q 的轴的力矩的轴的力矩FdyQOhyydFdyLyhgpFd)(d0100m hm1000L3 2 刚体定轴转动的动力学描述刚体定轴转动的动

8、力学描述第三章第三章 刚体的转动刚体的转动Ormz二二 转动定律转动定律FtFnFsinrFM mrmaFtt2iejjjjrmMM2）刚体刚体质量元受质量元受外外力力 ，内内力力jFejFiM 1）单个质点单个质点 与转与转轴刚性连接轴刚性连接m外外力矩力矩内内力矩力矩2mrM 2tmrrFMOzjmjrjFejFi3 2 刚体定轴转动的动力学描述刚体定轴转动的动力学描述第三章第三章 刚体的转动刚体的转动 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩合外力矩成成正比正比 ，与刚体的，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比 .rmMMjjjjjj2ie0jijjiij

9、MMM)rmMjjjj2e( 转动定律转动定律JM 2jjjrmJ定义转动惯量定义转动惯量mrJd2OzjmjrjFejFi3 2 刚体定轴转动的动力学描述刚体定轴转动的动力学描述第三章第三章 刚体的转动刚体的转动mrJrmJjjjd,22三三 转动惯量转动惯量 物理物理意义意义：转动惯性的量度：转动惯性的量度 . 质量离散分布刚体的转动惯量质量离散分布刚体的转动惯量2222112rmrmrmJjjj转动惯量的计算方法转动惯量的计算方法 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量mrrmJjjjd22：质量元：质量元md3 2 刚体定轴转动的动力学描述刚体定轴转动的动力学描述第三章第

10、三章 刚体的转动刚体的转动2 对质量线分布的刚体：对质量线分布的刚体：质量线密度：质量线密度lmdd2 对质量面分布的刚体：对质量面分布的刚体：质量面密度：质量面密度Smdd2 对质量体分布的刚体：对质量体分布的刚体：质量体密度：质量体密度Vmdd：质量元：质量元md 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量mrrmJjjjd223 2 刚体定轴转动的动力学描述刚体定轴转动的动力学描述第三章第三章 刚体的转动刚体的转动 解解 按转动惯量的定义可得对各转轴的转动惯量为按转动惯量的定义可得对各转轴的转动惯量为 （1） 例例3-1 在边长为在边长为 的正方形的四个顶点上。分别固定有的正方

11、形的四个顶点上。分别固定有质量均为质量均为m的四个质点，如图所示，试求此系统对下列转的四个质点，如图所示，试求此系统对下列转轴的转动惯量。（轴的转动惯量。（1）转轴过）转轴过A点，且垂直于质点所在的点，且垂直于质点所在的平面。（平面。（2）转轴过）转轴过O点，且垂直于质点所在的平面。（点，且垂直于质点所在的平面。（3）转轴过转轴过A、D两点，且在质点所在的平面内。两点，且在质点所在的平面内。 l（2）（3）4122224)(202iiiAmlllmmlrmJ24122202)2(42mlllmrmJiii241222)2(22mlllmrmJiiiAD3 2 刚体定轴转动的动力学描述刚体定轴转

12、动的动力学描述第三章第三章 刚体的转动刚体的转动2l2lOO lO O 解解 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，取一距离转轴，取一距离转轴 OO 为为 处的质量元处的质量元 rrmddlrrJ02drd32/02121d2lrrJl231mlrrrmrJddd22 例例3-2 一一质量为质量为 、长为长为 的的均匀细长棒，求（均匀细长棒，求（1）通）通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 ；（；（2）转轴通过棒的一转轴通过棒的一端并与棒垂直。端并与棒垂直。 mlrd2121ml如转轴过端点垂直于棒如转轴过端点垂直于棒r3 2 刚体定轴转动的动力学描述刚体定轴转动的动力

13、学描述第三章第三章 刚体的转动刚体的转动 例例5 一质量为一质量为 、半径为、半径为 的均匀圆环，求通的均匀圆环，求通过圆环中心过圆环中心 O 并与环面垂直的轴的转动惯量并与环面垂直的轴的转动惯量 .mR 解解 设圆环的线密度为设圆环的线密度为 ，在，在环上取一长为环上取一长为 的质量元的质量元 ，则，则质量元质量元dldmdlmd其中其中Rm2质元对轴的转动惯量质元对轴的转动惯量lRmRJddd22整个圆环对轴的转动惯量整个圆环对轴的转动惯量RRmRdlRlRJ2022202d其中其中mR 2所以所以2mRJ 3 2 刚体定轴转动的动力学描述刚体定轴转动的动力学描述第三章第三章 刚体的转动刚

14、体的转动OROR4032d2RrrJRr dr 例例6 一质量为一质量为 、半径为、半径为 的均匀圆盘，求通的均匀圆盘，求通过盘中心过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量并与盘面垂直的轴的转动惯量 .mR 解解 设圆盘面密度为设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为在盘上取半径为 ，宽为，宽为 的圆环的圆环rrd2 Rm而而rrmd2d圆环质量圆环质量221mRJ 所以所以rrmrJd2dd32圆环对轴的转动惯量圆环对轴的转动惯量3 2 刚体定轴转动的动力学描述刚体定轴转动的动力学描述第三章第三章 刚体的转动刚体的转动2mdJJCO四四 平行轴定理平行轴定理P 转动惯量的大小取决于刚体的转动惯量的大

15、小取决于刚体的质量质量、形形状及转轴的位置状及转轴的位置 . 质量为质量为 的刚体的刚体，如果对如果对其质心轴的转动惯量为其质心轴的转动惯量为 ，则则对任一与该轴平行对任一与该轴平行，相距为相距为 的转轴的转动惯量的转轴的转动惯量CJmddCOm注意注意2221mRmRJP圆盘对圆盘对P 轴轴的转动惯量的转动惯量RmO3 2 刚体定轴转动的动力学描述刚体定轴转动的动力学描述第三章第三章 刚体的转动刚体的转动竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？ 飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？3 2 刚体定轴转动的动力学描述刚体定轴转动的动力学描述第三章第三章 刚

16、体的转动刚体的转动 解解 如图所示，由牛顿定律和转动定律得如图所示，由牛顿定律和转动定律得 例例7 如图所示如图所示,有一半径为有一半径为 、质量为、质量为 的均匀圆盘，的均匀圆盘，可绕通过圆盘中心可绕通过圆盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动并与盘面垂直的轴的转动.转轴与圆转轴与圆盘之间的摩擦略去不计盘之间的摩擦略去不计.圆盘上绕有轻而细的绳索圆盘上绕有轻而细的绳索,绳的一绳的一端固定在圆盘上端固定在圆盘上,另一端系一质量为另一端系一质量为 的物体的物体.试求物体下试求物体下落时的加速度、绳中的张力和圆盘的角加速度。落时的加速度、绳中的张力和圆盘的角加速度。mRmORmmmRoTFmmgTFy

17、maFmgT221RmJRFTRa 解得解得,22gmmma,2mgmmmFTgRmmm)2(23 2 刚体定轴转动的动力学描述刚体定轴转动的动力学描述第三章第三章 刚体的转动刚体的转动 例例3-3 自学。自学。 解解 作受力图，如图所示作受力图，如图所示 例例3-4 质量分别为质量分别为 和和 的两个物体的两个物体A、B分别悬挂分别悬挂在图所示的组合轮两端。设两轮的半径分别为在图所示的组合轮两端。设两轮的半径分别为 和和 ，两，两轮的转动惯量分别为轮的转动惯量分别为 和和 ，轮与轴承间、绳索与轮间的，轮与轴承间、绳索与轮间的摩擦力均略去不计，绳的质量也略去不计。试求两物体的摩擦力均略去不计，

18、绳的质量也略去不计。试求两物体的加速度和绳的张力。加速度和绳的张力。 1m2mRr1J2J3 2 刚体定轴转动的动力学描述刚体定轴转动的动力学描述第三章第三章 刚体的转动刚体的转动由牛顿定律和转动定律得由牛顿定律和转动定律得1111amFgmT2222amgmFT)(2121JJrFRFTT其中其中 2211,TTTTFFFFRa 1ra 23 2 刚体定轴转动的动力学描述刚体定轴转动的动力学描述第三章第三章 刚体的转动刚体的转动解上述方程组，可得解上述方程组，可得 gRrmRmJJrmRma222121211grrmRmJJrmRma222121212gmrmrmJJRrmRmJJFT122

19、2121222211gmrmRmJJRrmRmJJFT22221211212123 2 刚体定轴转动的动力学描述刚体定轴转动的动力学描述第三章第三章 刚体的转动刚体的转动其中转动惯量为其中转动惯量为 由转动定律，得棒的角加速度为由转动定律，得棒的角加速度为 由角加速度的定义，得由角加速度的定义，得 例例3-5 如图所示，一个可绕固定轴如图所示，一个可绕固定轴 自由转动的均质自由转动的均质细棒，质量为细棒，质量为 ，长度为，长度为 ，初始时刻处于水平位置。，初始时刻处于水平位置。求其自由释放至求其自由释放至 角时的角加速度和角速度。角时的角加速度和角速度。 Oml 解解 如图所示，如图所示，棒所

20、受重力棒所受重力对对 轴的力矩为轴的力矩为 Ocos21mglM 231mlJ lgJM2cos33 2 刚体定轴转动的动力学描述刚体定轴转动的动力学描述第三章第三章 刚体的转动刚体的转动231mlJ 角速度角速度 lgJM2cos3由角加速度的定义，得由角加速度的定义，得 dddtddddtddlgdd2cos3dlgdcos2300lgsin33 2 刚体定轴转动的动力学描述刚体定轴转动的动力学描述第三章第三章 刚体的转动刚体的转动 例例10 有一半径为有一半径为R质量为质量为 m 匀质圆盘匀质圆盘, 以角速度以角速度0 0绕绕通过圆心垂直圆盘平面的轴转动通过圆心垂直圆盘平面的轴转动. .

21、若有一个与圆盘大小相若有一个与圆盘大小相同的粗糙平面同的粗糙平面( (俗称刹车片俗称刹车片) )挤压此转动圆盘挤压此转动圆盘, ,故而有正压故而有正压力力N N 均匀地作用在盘面上均匀地作用在盘面上, , 从而使其转速逐渐变慢从而使其转速逐渐变慢. .设正设正压力压力N N 和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出. .试试问经过多长时间圆盘才停止转动问经过多长时间圆盘才停止转动? ? 解解: 在圆盘上取面积微元在圆盘上取面积微元, 面积元所受对转轴的摩擦力矩面积元所受对转轴的摩擦力矩大小大小rlRNrFrfddd20rl drdfFd刹车片刹车片3 2

22、 刚体定轴转动的动力学描述刚体定轴转动的动力学描述第三章第三章 刚体的转动刚体的转动面积微元所受摩擦力矩面积微元所受摩擦力矩rlRNrFrfddd2圆环所受摩擦力矩圆环所受摩擦力矩22202d2ddddRrNrlRrNrFrMrf圆盘所受摩擦力矩圆盘所受摩擦力矩NRRrNrMMR32d2d022圆盘角加速度圆盘角加速度MRNJM43NmRt0043停止转动需时停止转动需时0rl drdfFdR3 2 刚体定轴转动的动力学描述刚体定轴转动的动力学描述第三章第三章 刚体的转动刚体的转动例例11 有一半径为有一半径为 、质量为、质量为 的均质圆盘，以角速度的均质圆盘，以角速度为为 绕通过盘心绕通过盘

23、心 O 并与盘面垂直的轴的转动并与盘面垂直的轴的转动 .若有一个若有一个与圆盘大小相同的粗糙平面（俗称刹车片）挤压此转动圆与圆盘大小相同的粗糙平面（俗称刹车片）挤压此转动圆盘，故而有正压力盘，故而有正压力 均匀地作用在圆盘上，从而使其转均匀地作用在圆盘上，从而使其转速逐渐变慢。设正压力速逐渐变慢。设正压力 和刹车片与圆盘间的摩擦因数和刹车片与圆盘间的摩擦因数 均已被实验测出。试问经过多长时间圆盘才停止转动？均已被实验测出。试问经过多长时间圆盘才停止转动？mR0NFNF 解解 由题意知由题意知,圆盘上所受的压圆盘上所受的压力是均匀的力是均匀的,转动圆盘的面积为转动圆盘的面积为 ,所以圆盘上单位面

24、积所受的压力所以圆盘上单位面积所受的压力为为 在如图所示的转动圆盘在如图所示的转动圆盘上距轴上距轴O为为 处取一长为处取一长为 、宽、宽为为 的面积元，在刹车的作用下，的面积元，在刹车的作用下，该面积元所受的摩擦力为：该面积元所受的摩擦力为：dl2R2RFNrdrdldrRFdFNf23 2 刚体定轴转动的动力学描述刚体定轴转动的动力学描述第三章第三章 刚体的转动刚体的转动这个摩擦力对轴这个摩擦力对轴O的摩擦力矩大小为的摩擦力矩大小为方向与方向与 的方向相反的方向相反刹车片对整个圆盘作用的摩擦力矩刹车片对整个圆盘作用的摩擦力矩于是整个圆环对轴于是整个圆环对轴O的摩擦力矩为的摩擦力矩为rdldr

25、RFrdFNf20drrRFdlrdrRFdMrNN220222NRNRFdrrRFdMM3220223 2 刚体定轴转动的动力学描述刚体定轴转动的动力学描述第三章第三章 刚体的转动刚体的转动其中其中由由所以圆盘是作匀减速转动所以圆盘是作匀减速转动角加速度角加速度得得NRNRFdrrRFdMM322022恒量mRFmRRFJMNN3421322221mRJ t0NNFmRmRFt000433403 2 刚体定轴转动的动力学描述刚体定轴转动的动力学描述第三章第三章 刚体的转动刚体的转动 例例12 一长为一长为 质量为质量为 匀质细杆竖直放置，其匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链下端与一固定铰链

26、 O 相接，并可绕其转动相接，并可绕其转动 . 由于此由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转转动动 .试计算细杆转动到与竖直线成试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度角时的角加速度和角速度和角速度 .lm 解解 细杆受重力和细杆受重力和铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得作用，由转动定律得NFJmglsin213 2 刚体定轴转动的动力学描述刚体定轴转动的动力学描述第三章第三章 刚体的转动刚体的转动式中式中231mlJ dd

27、ddddddtt得得sin23lg由角加速度的定义由角加速度的定义dsin23dlg代入初始条件积分代入初始条件积分 得得)cos1 (3lgJmglsin213 2 刚体定轴转动的动力学描述刚体定轴转动的动力学描述第三章第三章 刚体的转动刚体的转动 再求线加速度及再求线加速度及绳的张力绳的张力. 静止落下距离静止落下距离 时，时，其速率是多少？（其速率是多少？（3）若滑轮与轴承间的摩若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为它们间的摩擦力矩为fMy 例例13 质量为质量为 的物体的物体 A 静止在光滑水平面上，和静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质量、质量为为 的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为，并系在另一质量为 的物体的物体 B 上上. 滑轮与绳索间没有滑动，滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩擦且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计力可略去不计. 问：（