微积分基本公式(ppt课件

1、4.2 微积分根本公式微积分根本公式 问题的提出问题的提出积分上限函数及其导数积分上限函数及其导数牛顿牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式小结小结 思索题思索题 作业作业 (v(t)和和s(t)的关系的关系)fundamental formula of calculus 第第4 4章章 定积分与不定积分定积分与不定积分 经过定积分的物理意义经过定积分的物理意义,例例变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为 21d)(TTttv另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为)()(12TsTs (v(t)和和s(t)的关系的关系)设某物体作直线运动设某物体作直线运动, 知速度知速度v = v(t),

2、 0)( tv且且求物体在这段时间内所经过的路程求物体在这段时间内所经过的路程.是时间间隔是时间间隔T1,T2上上t 的一个延续函数的一个延续函数,).()(d)(1221TsTsttvTT )()(tvts 一、问题的提出一、问题的提出其中其中分的有效、简便的方法分的有效、简便的方法.找到一个计算定积找到一个计算定积 4.2 微积分根本公式微积分根本公式所以所以为了表达上的方便为了表达上的方便, 引入原函数的概念引入原函数的概念.定义定义4.2例例)(sin x原函数的定义原函数的定义或或)()(xfxF ,d)()(dxxfxF 假设在区间假设在区间I I上上, ,那么称那么称F(x)F(

3、x)为为f (x)f (x)在在I I上的上的一一原函数原函数. .xcos 个个或由或由 xsindxxdcos知知xxFsin)( 是是xxfcos)( 上上的的一一个个在在),( 原函数原函数. .CxF )(也是也是xxfcos)( 的原函数的原函数, ,其中其中C C为恣意常数为恣意常数. .CCCx sin 4.2 微积分根本公式微积分根本公式普通普通, ,)(xF亦为亦为f (x)的原函数的原函数(C为恣意常数为恣意常数).因因 )(CxF一个函数假设有原函数一个函数假设有原函数, ,就有无穷多个就有无穷多个. . 那么那么 )(xF).(xfC 假设假设F(x)为为f (x)的

4、一个原函的一个原函数数, 4.2 微积分根本公式微积分根本公式 假设能从假设能从v(t)求出求出s(t), 21d)(TTttv)()(12TsTs 运算运算.定积分定积分运算就可化为减法运算就可化为减法).()(),()(d)(1221tvtsTsTsttvTT 其其中中启发启发定积分的计算有捷径可定积分的计算有捷径可寻寻进展普通性的讨论进展普通性的讨论.定积分定积分: attfd)(积分上限函数积分上限函数,bax ).(x 注注)d)( xaxxf一定要分清函数的一定要分清函数的假设上限假设上限 x 在区间在区间a, b上恣意变动上恣意变动,每一个取定的每一个取定的 x 值值,那么对那么

5、对于于定积分有一个对应值定积分有一个对应值,所以它所以它在在a, b上定义了一个函数上定义了一个函数,设设f (x)在在a, b中可积中可积,那么对任一那么对任一点点x )(x 与与自变量自变量x积分变量积分变量t.xtt二、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数记为记为变上限定积分变上限定积分 4.2 微积分根本公式微积分根本公式 xattfxd)()( 这个函数的几何意义 下面讨论这个函数的可导性下面讨论这个函数的可导性.是如图红色部分是如图红色部分的面积函数的面积函数.ab)(xfy Oxyx)(x 4.2 微积分根本公式微积分根本公式考研数学一至四考研数学一至四, 选择题选择题,

6、 4分分 如图如图, 延续函数延续函数 y = f (x)在区间在区间 3 , 2,2, 3 上的图形分别是直径为上的图形分别是直径为1的上、下半圆周的上、下半圆周, 在区间在区间2 , 0,0 , 2 上的图形分别是直径为上的图形分别是直径为2的下、上半圆周的下、上半圆周.,d)()(0 xttfxF设设 那么以下结论正确的那么以下结论正确的选项是选项是).2(43)3()A( FF).2(45)3()B(FF ).2(43)3()C(FF ).2(45)3()D( FF3 2 1O 123xy 4.2 微积分根本公式微积分根本公式2021年考研数学一年考研数学一,二二,三三, 选择题选择题

7、, 4分分 设函数设函数 y = f (x)在区间在区间 上的图形为上的图形为3 , 1 1O 12 3x)(xf12 1那么函那么函数数 xttfxF0d)()(的图形为的图形为)B( 1O 1 2 3x)(xF 1)A( 1O 1 2 3x)(xF1 )C( 1O 1 2 3x)(xF 1)D( 1O 1 2 3x)(xF 1 4.2 微积分根本公式微积分根本公式2021年考研数学一年考研数学一,二二,三三, 选择题选择题, 4分分 设函数设函数 y = f (x)在区间在区间 上的图形为上的图形为3 , 1 1O 12 3x)(xf12 1那么函那么函数数 xttfxF0d)()(的图形

8、为的图形为)D( 1O 1 2 3x)(xF 1此题为定积分的运用知识考核此题为定积分的运用知识考核, 由由y = f (x)的图的图形可见形可见,其图像与其图像与x轴轴, y轴及轴及0 xx 所围图形面积的所围图形面积的代数和为所求函数代数和为所求函数F(x).从而可得出几个方面的特征从而可得出几个方面的特征:., 0)(,1 , 0且单调递减且单调递减时时 xFx., 0)(,2 , 1且单调递增且单调递增时时 xFx.)(,3 , 2为为常常函函数数时时xFx .,0)(,0 , 1单调递增单调递增为线性函数为线性函数时时 xFx 4.2 微积分根本公式微积分根本公式证证 )(xx 定理

9、定理4.3 (4.3 (原函数存在定理原函数存在定理) ),)(baCxf 设设.,)()(上上的的一一个个原原函函数数在在是是baxfx 由于由于 xxxd)(d)( xattfxd)()( )(xf )(bxa xattfd)(xdd从而从而ttfad )( xx )()(xxx 那么积分上限函数那么积分上限函数是是a, b上的可导函数上的可导函数, 且对上限的导数等于被积且对上限的导数等于被积函数在上限处的值函数在上限处的值. 即即 4.2 微积分根本公式微积分根本公式)()(xxx .之之间间与与在在xxx )( fx ,)(上上连连续续在在因因baxfxxxlim)(0 )(lim

10、fx )(xf .x 积分中值定理积分中值定理xf )( xxxttfd)(故故,0时时而而 x xattfd)( xxattfd)(ab)(xfy Oxyx)(x )( fxx 那么同理可证那么同理可证, 0, xax取取若若);()(afa , 0, xbx取取若若那么同理可证那么同理可证).()(bfb 积分区间可加性积分区间可加性 4.2 微积分根本公式微积分根本公式 定理4.3指出:和积分结合为一个有机的整体和积分结合为一个有机的整体(2) 延续函数延续函数 f (x)一定有原函数一定有原函数, xattfxd)()( 就是就是f (x)的一个原函数的一个原函数.(1) 积分运算和微

11、分运算的关系积分运算和微分运算的关系, 它把微分它把微分所以它是微积分学根本定理所以它是微积分学根本定理.函数函数 微积分微积分, 4.2 微积分根本公式微积分根本公式推论推论 axttfxd)(dd)1( )(d)(dd)2(xgattfx xattfxgxd)()(dd)4( xattfxgd)()()(xg)(xf )(xgf)(xg )()(d)(dd)3(xgxhttfx xattfd)(xdd)()(xfxg ,)(baCxf 设设,)(),(可可导导函函数数xhxg.,bax )()()()(xhxhfxgxgf 4.2 微积分根本公式微积分根本公式例例 ).(,d1)(02xf

12、ttttxfx 求求设设解解 )(xf例例 ).(,d11)(2sin2xfttxfx 求求设设解解xusin )(xf )(xf utt22d11ttxd11sin22 xudd .sin1cos2xx xucos112 uttu22d11dd.12 xxx 4.2 微积分根本公式微积分根本公式例例 ).(,de)(23xftxfxxt 求求设设解解ttxfxtxtdede)(32 20dextt txxfxtdedd)(202ex txtde30 x2 3ex 23x 00txxtdedd30 4.2 微积分根本公式微积分根本公式例例21cos0delim2xtxtx 解解 1cosded

13、d2xttx xttxcos1dedd2x2cose xx2cosesin 21cos0delim2xtxtx xxxx2esinlim2cos0 .e21 00这是这是 型不定式型不定式,分析分析运用洛必达法那么运用洛必达法那么)(cos x 4.2 微积分根本公式微积分根本公式2021年考研数学年考研数学(二二), 填空填空, 4分分 曲线曲线 )2ln(,de22102ttyuxtuxy2 解解在点在点(0,0)处的切线方程为处的切线方程为 xydd222222)2ln(2ttttt )1(e2)1( t)0 , 0(1 t2 所以所以, 曲线在点曲线在点(0,0)处的切线方程为处的切线

14、方程为:)0(20 xytxtyxydddddd 4.2 微积分根本公式微积分根本公式考研数学考研数学(二二), 填空填空, 4分分 设函数设函数 ,00, 0,dsin1)(023处连续处连续在在 xxaxttxxfx a则则31解解 )(lim0 xfx 3020dsinlimxttxx 00 2203sinlimxxx 2203limxxx.31af )0( 4.2 微积分根本公式微积分根本公式考研数学二考研数学二 解答题解答题, 10分分 设设 f (x)在区间在区间 4, 0且满足且满足,dcossinsincosd)(0)(01 xxfttttttttf 其中其中f -1 的是的是

15、 f 的反函数的反函数, 求求f (x). 上的单调、可导函数上的单调、可导函数, 解解 两边对两边对x求导求导, 得得)(1xff )(xf ,cossinsincosxxxxx 4分分 即即,cossinsincos)(xxxxxxfx 6分分,cossinsincos)(xxxxxf ,4, 0( x 4.2 微积分根本公式微积分根本公式考研数学二考研数学二 解答题解答题, 10分分 设设 f (x)在区间在区间 4, 0且满足且满足,dcossinsincosd)(0)(01 xxfttttttttf 其中其中f -1 的是的是 f 的反函数的反函数, 求求f (x). 上的单调、可导

16、函数上的单调、可导函数, 8分分,cossinsincos)(xxxxxf ,4, 0( x 故故 xxxxxxfdcossinsincos)( xxxxcossin)cossind(,)cosln(sinCxx 00 由题设知由题设知, 0)0( f0 000 因此因此,),cosln(sin)(xxxf .4, 0 x 10分分 积分积分 4.2 微积分根本公式微积分根本公式例例 解解求极限求极限 )cos1(dd)1arctan(lim0002xxuttxux 00考研数学考研数学(三三) , 5分分 原原式式3000dd)1arctan(lim22xuttxux 0lim2 x2cos

17、12xx )0(x 20d)1arctan(utt23xx0lim32 xx2)1arctan( 2xx2 .6432 00用法那用法那么么用法那用法那么么 4.2 微积分根本公式微积分根本公式证证 xtttf0d)(),(xxf xttf0d)()(xf 20)d)( xttfxddxdd例例. 0)(), 0)( xfxf内内连连续续且且在在设设证明函数证明函数 xxttftttfxF00d)(d)()(内内在在), 0( 为单调添加函数为单调添加函数. xtttf0d)()(xxf xttf0d)( )(xf )(xF 4.2 微积分根本公式微积分根本公式200)d)(d)()()()(

18、 xxttfttftxxfxF0)( xf)()(tftx )0( x0)( xf0 20)d)( xttf xtttf0d)()(xxf xttf0d)( )(xf )(xF内内在在), 0( 为单调添加函数为单调添加函数.故故)(xF x0 xdt x0tdt0 4.2 微积分根本公式微积分根本公式证证 )(xF )(xF01)0( F 10d)(1)1(ttfF 10d)(1ttf0 令令 2)(xf0 10d)(ttf为单调添加函数为单调添加函数.上上在在1 , 0)(xF1 10td,1 , 0)(上上连连续续在在设设xf. 1)( xf且且证明证明: xttfx01d)(2上上在在

19、1 , 0只需一个解只需一个解.例例所以原方程所以原方程上上在在1 , 0只需一个解只需一个解.1111d )(20 ttfxx 1)( f0 或或10 4.2 微积分根本公式微积分根本公式,)(d)(CxFttfxa 定理定理4.54.5牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式,)()(CxFx ,bax 证证牛顿牛顿( (英英) ) 1642172716421727 莱布尼茨莱布尼茨( (德德) ) 1646171616461716假设假设F(x)是延续函数是延续函数 f (x)在区间在区间a, b上上的一个原函数的一个原函数, 那那么么).()(d)(aFbFxxfba xattfxd)(

20、)( 都是都是 f (x)在在aa由于由于F (x)及及a, b上的原函数上的原函数, 故有故有C是待定常数是待定常数, 即有即有,bax 0 三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式)(aFC 4.2 微积分根本公式微积分根本公式)()(aFxF ttfxad)(),(aFC , bx 令令牛顿牛顿(Newton)莱布尼茨莱布尼茨(Leibniz)公式公式)()(d)(aFbFxxfba 微积分根本公式微积分根本公式,bax 特别特别, xxfbad)(baxF)().()(aFbF CxFttfxa )(d)(bb 4.2 微积分根本公式微积分根本公式)()(d)(aFbFxxfba 微积

21、分根本公式阐明微积分根本公式阐明 baxF)( 注注求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.一个延续函数在区间一个延续函数在区间a, b上的定积分等于上的定积分等于它的恣意一个原函数在区间它的恣意一个原函数在区间a, b上的增量上的增量.,时时当当ba )()(d)(aFbFxxfba 仍成立仍成立. 4.2 微积分根本公式微积分根本公式例例 20d)1sincos2(xxx原式原式 20cossin2xxx .23 解解 面积面积 A 0cosx . 2 例例 解解平面图形的面积平面图形的面积.所围成的所围成的xsin 0 xd 1)1( xysin Oxy轴轴上上

22、与与在在计计算算曲曲线线xxy, 0sin 4.2 微积分根本公式微积分根本公式例例 , 21, 5, 10,2)(xxxxf设设.d)(20 xxf求求解解 20d)(xxf 1021d5d2xxx. 6 12 10d)(xxf 21d)(xxfxyO5注注如被积函数是分段函数如被积函数是分段函数, 再用牛再用牛莱公式莱公式.积分积分,应分段分成几个应分段分成几个 4.2 微积分根本公式微积分根本公式例例 222d,maxxxx解解 由图形可知由图形可知,max)(2xxxf 原原式式.211 022dxx 10dxx 212dxx,2x02 x,2x,x10 x21 xxyO2xy xy

23、2 21 4.2 微积分根本公式微积分根本公式所以所以xxxd)12(10 解解,210时时当当 x,121时时当当 x 原式原式 1dx.41 ; 0)12( xx. 0)12( xx0)12( xx令令.21, 0 xx 0dx2121)12( xx )12( xx 4.2 微积分根本公式微积分根本公式例例解解xxd2sin120 求求xxd2sin120 xxxd)sin(cos202 40)cos(sinxx 20dsincosxxx. 222 如被积函数有绝对值如被积函数有绝对值,注注 再用再用去掉后去掉后,N-L公式公式.04xxxd)sin(cos 42xxxd)cos(sin

24、应分区间将绝对值应分区间将绝对值24)sincos(xx 4.2 微积分根本公式微积分根本公式2021年考研数学三年考研数学三, 选择题选择题, 4分分 使不等式使不等式 成立的成立的x的范围是的范围是xtttxlndsin1 ).1 , 0()A().2, 1()B().,2()C().,()D( 解答解答 原问题可转化为求原问题可转化为求xtttxfxlndsin)(1 xxttttt11d1dsin xttt1d1sin 1dsin1xttt0 成立时成立时x的取值范围的取值范围, 0sin1 tt由由,)1 , 0(时时 t,)1 , 0(时时知当知当 x. 0)( xf 4.2 微积

25、分根本公式微积分根本公式例例 , 0, 1, 0, 0, 0, 1)(xxxxf设设 xttfxF0,d)()(那那么么(A) F(x)在在x = 0点不延续点不延续.(B) F(x)在在),( 内延续内延续,在在x = 0点不可导点不可导.(C) F(x)在在),( 内可导内可导,且满足且满足).()(xfxF (D) F(x)在在),( 内可导内可导,但不一定满足但不一定满足).()(xfxF )(xF 0 x0 x0 x xt0d1, 0 xt0d)1(,x,x 考研数学考研数学(四四)选择题选择题,4分分 4.2 微积分根本公式微积分根本公式例例 知函数知函数 .21, 1,10,01

26、, 1)(时时当当时时当当时时当当xxxxxxf求积分上限的函数求积分上限的函数.d)()(1 xttfx 解解分段函数分段函数 )(x ,01时时当当 x xtd1,10时时当当 x xttd.21时时当当 x xttd)1(10,22x,2322 xx, 1 x1 错错! 4.2 微积分根本公式微积分根本公式知函数知函数 .21, 1,10,01, 1)(时时当当时时当当时时当当xxxxxxf求积分上限的函数求积分上限的函数.d)()(1 xttfx 正确做法正确做法,)0 , 1时时当当 x xt1d1. 1 x xttfx1d)()( , 1 , 0时时当当 x xttfx1d)()(

27、 1dt xtd00t1.212x ,2 , 1(时时当当 x xttfx1d)()( 1dt01 0dt1t xt1d)1( t.22xx .21,2,10,21,01, 1)(22时时当当时时当当时时当当xxxxxxxx 4.2 微积分根本公式微积分根本公式例例 解解 nnnnn12111lim求极限求极限此极限实为一积分和的极限此极限实为一积分和的极限. ninin11limnninin111lim1 ix i xd 10)1ln(x . 2ln )1()(limd)(10 niiibaxfxxf 定积分是代数和的推行定积分是代数和的推行,无穷小的无限项的代数和无穷小的无限项的代数和.即

28、它表示每项为即它表示每项为用定积分求极限时用定积分求极限时,需将需将(1)式中的两个式中的两个恣意量恣意量 用特殊的值处置用特殊的值处置.10 x 11 4.2 微积分根本公式微积分根本公式)21(lim2nnnn 求求极极限限解解 原式原式= nnnnnn211lim ninn11lim xxd10ni .32 4.2 微积分根本公式微积分根本公式考研数学考研数学(二二)填空填空3分分 填空题填空题 nnnnnncos12cos1cos11lim 22解解nninin1cos1lim1 xxd2cos2102 原式原式.22 xx dcos1 10 4.2 微积分根本公式微积分根本公式 微积分根本公式微积分根本公式:积分上限函数积分上限函数(变上限积分变上限积分): xattfxd)()( 积分上限函数的导数积分上限函数的导数:)()(xfx )()(d)(aFbFxxfba 牛顿莱布尼茨公