第9章_力矩分配法

1、结构力学第9章 力矩分配法 前面我们讨论了求解超静定结构的两种方法，力法前面我们讨论了求解超静定结构的两种方法，力法和位移法。这两种方法最终都归结于求解一定数量未知和位移法。这两种方法最终都归结于求解一定数量未知量的线性方程组。当未知量数目较多时，解方程组的工量的线性方程组。当未知量数目较多时，解方程组的工作将是十分繁重的。为了避免组成和联立方程，在电子作将是十分繁重的。为了避免组成和联立方程，在电子计算机还未普及之前，人们提出了许多实用的计算方法，计算机还未普及之前，人们提出了许多实用的计算方法，本章主要介绍广为流传的力矩分配法、无剪力分配法及本章主要介绍广为流传的力矩分配法、无剪力分配法及

2、剪力分配法等。这几种方法都属于渐进法，它既可以避剪力分配法等。这几种方法都属于渐进法，它既可以避免求解联立方程组，又可以遵循一定的机械步骤进行，免求解联立方程组，又可以遵循一定的机械步骤进行，易于掌握。在目前电子计算机已普及的今天，对于某些易于掌握。在目前电子计算机已普及的今天，对于某些比较简单的结构，上述渐进法由于便于手算，仍有一定比较简单的结构，上述渐进法由于便于手算，仍有一定的实用价值。的实用价值。 前言前言1力矩分配法的基本概念 2 力矩分配法3 力矩分配法与位移法联合应用 4 无剪力分配法 9.1力矩分配法的基本概念力矩分配法的基本概念 力矩分配法是哈迪力矩分配法是哈迪.克罗斯（克罗

3、斯（Hardy Cross）于）于1932年首先提出来的。年首先提出来的。其特点是不需建立和联立求解线性方程组，可在计算简图上进行或列其特点是不需建立和联立求解线性方程组，可在计算简图上进行或列表进行计算，并能直接求得各杆的杆端弯矩。工作量大为减少。表进行计算，并能直接求得各杆的杆端弯矩。工作量大为减少。 最初这种方法仅限于分析连续梁和无结点线位移的刚架，后来陆最初这种方法仅限于分析连续梁和无结点线位移的刚架，后来陆续推出了一些较新的力矩分配法，能够计算有结点线位移的刚架、薄续推出了一些较新的力矩分配法，能够计算有结点线位移的刚架、薄板及薄壁等结构。板及薄壁等结构。1 劲度系数劲度系数S（转动

4、刚度）（转动刚度） 劲度系数：劲度系数： 一单跨超静定梁的一端（一单跨超静定梁的一端（A端）端）单位转角单位转角时，发生于该端时，发生于该端（近端、或称（近端、或称A端）的弯矩。端）的弯矩。 设设 lEIi ，则，则 SABBA1MBA图图(a)AB1SAB图图(b)BA1SAB图图(c)MBAAB1SAB图图(d)iSAB4当远端（当远端（B端）固定，端）固定， 当远端（当远端（B端）铰支端）铰支 ，iSAB3当远端（当远端（B端）定向端）定向 ，iSAB当远端（当远端（B端）自由，端）自由， 0ABS其实，其实，(d)不属于单跨超静定量，只不属于单跨超静定量，只是有时为了便于应用，如此定义

5、。是有时为了便于应用，如此定义。2 传递系数传递系数C 传递系数：传递系数： 一单跨超静定梁的一端（一单跨超静定梁的一端（A端）单位转角时，发生于远端）单位转角时，发生于远端（端（B端）的弯矩与近端（端）的弯矩与近端（A端）的弯矩之比。端）的弯矩之比。 如：如： 当远端（当远端（B端）固定，端）固定， 21ABBAABSMC当远端（当远端（B端）铰支端）铰支 ，0ABBAABSMC当远端（当远端（B端）定向端）定向 ，1ABBAABSMC当远端（当远端（B端）自由，端）自由， 0ABCSABBA1MBA图图(a)AB1SAB图图(b)BA1SAB图图(c)MBAAB1SAB图图(d)3 分配系

6、数分配系数 如图如图(e)所示结构受集中力偶作用。所示结构受集中力偶作用。 04344333222111ZSMiZSMiZSMiZSMAAAAAAAAAAA(a) 3图图(e)A124M由结点由结点A的平衡条件得的平衡条件得 MMMMMAAAA4321把把(a)式代入上式，得式代入上式，得 MZSiAi(b) 解之得解之得 iAiSMZ(c) 把把(c) 式代回式代回(a) 式，即得各杆式，即得各杆的的A端弯矩为端弯矩为 MMSSMAijAjAiAi（i=1,2,3） 其中：其中： jAjAiAiSS称为称为分配系数分配系数。 它表明，结点它表明，结点A的弯矩的弯矩M按照按照分配系数分配系数的

7、大小的大小比例地比例地分配于汇分配于汇交于该结点的各杆交于该结点的各杆A端。端。 显然有显然有 1iAi04344333222111ZSMiZSMiZSMiZSMAAAAAAAAAAA(a) 知道了各杆的近端弯矩，利用传递系数，很容易确定各杆的远端弯矩：知道了各杆的近端弯矩，利用传递系数，很容易确定各杆的远端弯矩： AiAiiAMCM（i=1,2,3） 4 单结点无侧移结构的力矩分配法单结点无侧移结构的力矩分配法 以图以图(f)所示的两跨连续梁来说明力矩分配法的基本思路。显然，所示的两跨连续梁来说明力矩分配法的基本思路。显然，按位移法分析，该连续梁的基本未知量有一个。即按位移法分析，该连续梁的

8、基本未知量有一个。即B结点的转角。结点的转角。 (1)设想在结点设想在结点B增加一个附加刚臂，得到位增加一个附加刚臂，得到位移法基本结构。阻止其转动如图移法基本结构。阻止其转动如图(g)所示。所示。附加刚臂的约束力矩附加刚臂的约束力矩MB 是原结构是原结构上所没有的，它反映了基本结构汇上所没有的，它反映了基本结构汇交于交于B结点的各杆结点的各杆B端弯矩所不能平端弯矩所不能平衡的差额。我们称之为衡的差额。我们称之为B结点的不结点的不平衡力矩平衡力矩。Fp图图(f)ABCqABCMB图图(g) Fpq查表容易得到各单跨超静定梁的杆查表容易得到各单跨超静定梁的杆端弯矩。则附加刚臂的约束力矩由端弯矩。

9、则附加刚臂的约束力矩由结点结点B的平衡条件得的平衡条件得FBCFBABMMMMBMBCFMBAF(2)原结构在结点原结构在结点B本来没有转动约束，即不存在不平衡力矩本来没有转动约束，即不存在不平衡力矩MB ，因，因此，为了与实际情况相符，必须消除人为引入的附加刚臂，即使此，为了与实际情况相符，必须消除人为引入的附加刚臂，即使MB 0，这就相当于在，这就相当于在 MB的基础上再施加上一个（的基础上再施加上一个（- MB ）如图）如图(h)所示。所示。 ABC-MB图图(h) 此时梁将产生新的杆端弯矩此时梁将产生新的杆端弯矩M BA 、 M BC （分配弯矩），在远端将产生新（分配弯矩），在远端将

10、产生新的杆端弯矩的杆端弯矩M AB 、 M CB 、（传递弯、（传递弯矩）。矩）。 (3)原结构在荷载的作用下的实际杆端弯原结构在荷载的作用下的实际杆端弯矩应为图矩应为图(g) 和图和图(h)两种情况的叠加。两种情况的叠加。 +=下面举例说明力矩分配法的解题过程。下面举例说明力矩分配法的解题过程。 ABC-MB图图(h) ABCMB图图(g) FpqFp图图(f)ABCq例例1 如图示连续梁，作如图示连续梁，作M图。图。 Fp=100kNABCq=10 kN/m2EIEI1 2m4m4m解：解：在在B B结点引入刚臂结点引入刚臂 查表得查表得kN.m18082ABqlFBAMkN.m1008B

11、CplFFCBFBCMM求出求出B结点的不平衡力矩结点的不平衡力矩 kN.m80FBCFBABMMM5 . 08412231223EIEIEIBA5 . 08412238.4EIEIEIBA把不平衡力矩反号加到把不平衡力矩反号加到B结点上并按分配系数分配到各杆的结点上并按分配系数分配到各杆的B端。端。 M图（图（kN.m）20018014080过程如表所示。过程如表所示。 杆端杆端AB BABC 分配系数分配系数固端弯矩固端弯矩分配传递分配传递-40-40杆端杆端AB BABC 分配系数分配系数固端弯矩固端弯矩分配传递分配传递-40-40最终弯矩最终弯矩9.2用力矩分配法计算连续梁和无结点线位

12、移刚架用力矩分配法计算连续梁和无结点线位移刚架 上节通过单结点的连续梁说明了力矩分配法的基本思路，对于多上节通过单结点的连续梁说明了力矩分配法的基本思路，对于多结点的连续梁或无结点线位移的刚架，只要逐次对每一个结点应用上结点的连续梁或无结点线位移的刚架，只要逐次对每一个结点应用上述基本运算，就可以求出最终杆端弯矩。下面举例说明其计算过程。述基本运算，就可以求出最终杆端弯矩。下面举例说明其计算过程。 例例2 如图示连续梁，作如图示连续梁，作M图。图。解：解：在在B、C结点引入刚臂结点引入刚臂 ABCi=2Di=3i=46m6m3m3mFp=400kNq=40 kN/m图图(a) 0FBAFABM

13、MkN.m3008BCpFCBFBClFMMkN.m18082CDpFCDlqM4 . 0342424BA6 . 0342434BCB结点：结点：5 . 0433434CB5 . 0433443CDC结点：结点：杆端杆端 AB BA BC CB CD DC 分配系数分配系数 0.40.6 0.50.5固端弯矩固端弯矩 0 0-300 300 -180分配传递分配传递杆端杆端 AB BA BC CB CD DC 分配系数分配系数 0.40.6 0.50.5固端弯矩固端弯矩 0 0-300 300 -180分配传递分配传递 120180 90杆端杆端 AB BA BC CB CD DC 分配系数分

14、配系数 0.40.6 0.50.5固端弯矩固端弯矩 0 0-300 300 -180分配传递分配传递 120180 90-52.5 105 105杆端杆端 AB BA BC CB CD DC 分配系数分配系数 0.40.6 0.50.5固端弯矩固端弯矩 0 0-300 300 -180分配传递分配传递 120180 90-52.5 105 10510.5 2131.5 15.75杆端杆端 AB BA BC CB CD DC 分配系数分配系数 0.40.6 0.50.5固端弯矩固端弯矩 0 0-300 300 -180分配传递分配传递 120180 90-52.5 105 10510.5 213

15、1.5 15.75-3.94 7.8757.875杆端杆端 AB BA BC CB CD DC 分配系数分配系数 0.40.6 0.50.5固端弯矩固端弯矩 0 0-300 300 -180分配传递分配传递 120180 90-52.5 105 10510.5 2131.5 15.75-3.94 7.8757.8750.79 1.582.36 1.18杆端杆端 AB BA BC CB CD DC 分配系数分配系数 0.40.6 0.50.5固端弯矩固端弯矩 0 0-300 300 -180分配传递分配传递 120180 90-52.5 105 10510.5 2131.5 15.75-3.94

16、 7.8757.8750.79 1.582.36 1.18-0.3 -0.59 -0.59杆端杆端 AB BA BC CB CD DC 分配系数分配系数 0.40.6 0.50.5固端弯矩固端弯矩 0 0-300 300 -180分配传递分配传递 120180 90-52.5 105 10510.5 2131.5 15.75-3.94 7.8757.8750.79 1.582.36 1.18-0.3 -0.59 -0.590.06 0.120.18 0.09杆端杆端 AB BA BC CB CD DC 分配系数分配系数 0.40.6 0.50.5固端弯矩固端弯矩 0 0-300 300 -18

17、0分配传递分配传递 120180 90-52.5 105 10510.5 2131.5 15.75-3.94 7.8757.8750.79 1.582.36 1.18-0.3 -0.59 -0.590.06 0.120.18 0.09-0.02 0.040.04杆端杆端 AB BA BC CB CD DC 分配系数分配系数 0.40.6 0.50.5固端弯矩固端弯矩 0 0-300 300 -180分配传递分配传递 120180 90-52.5 105 10510.5 2131.5 15.75-3.94 7.8757.8750.79 1.582.36 1.18-0.3 -0.59 -0.590

18、.06 0.120.18 0.09-0.02 0.040.04 0.010.01杆端杆端 AB BA BC CB CD DC 分配系数分配系数 0.40.6 0.50.5固端弯矩固端弯矩 0 0-300 300 -180分配传递分配传递 120180 90-52.5 105 10510.5 2131.5 15.75-3.94 7.8757.8750.79 1.582.36 1.18-0.3 -0.59 -0.590.06 0.120.18 0.09-0.02 0.040.04 0.010.01最终弯矩最终弯矩 71.35 142.71-142.71 293.51-293.5171.351421

19、.71293.51600180M图图(kN.m)ABCDABCi=2Di=3i=46m6m3m3mFp=400kNq=40 kN/m图图(a) 71.351421.71293.51600180M图图(kN.m)ABCD校核：校核： 正确的计算结果应同时满足结点的静力平衡条件及结点的正确的计算结果应同时满足结点的静力平衡条件及结点的变形协调条件。变形协调条件。 (1)静力平衡条件为在各个结点上静力平衡条件为在各个结点上 M=0(2)变形协调条件为在各个结点上的转角连续变形协调条件为在各个结点上的转角连续如如B结点应有结点应有 B1= B2等。下面讨论变形协调条件的一般表达形式等。下面讨论变形协调

20、条件的一般表达形式 iBKiBJBKJ如图所示，对于如图所示，对于BK杆根据转角位移方程得杆根据转角位移方程得 FKBKBKBBKKBFBKKBKBBKBKMiiMMiiM4224上式中消去上式中消去 K，得得 BKKBBKBiMM321其中：其中： FBKBKBKMMMFKBKBKBMMM同理可求出同理可求出BJ杆的杆的B端转角为端转角为 BJJBBJBiMM321其中：其中： FBJBJBJMMMFJBJBJBMMM杆端杆端 AB BA BC CB CD DC 分配系数分配系数 0.40.6 0.50.5固端弯矩固端弯矩 0 0-300 300 -180分配传递分配传递 120180 90

21、-52.5 105 10510.5 2131.5 15.75-3.94 7.8757.8750.79 1.582.36 1.18-0.3 -0.59 -0.590.06 0.120.18 0.09-0.02 0.040.04 0.010.01最终弯矩最终弯矩 71.35 142.71-142.71 293.51-293.51根据变形协调条件得根据变形协调条件得 BJJBBJBKKBBKiMMiMM2121杆端杆端 AB BA BC CB CD DC 分配系数分配系数 0.40.6 0.50.5固端弯矩固端弯矩 0 0-300 300 -180分配传递分配传递 120180 90-52.5 10

22、5 10510.5 2131.5 15.75-3.94 7.8757.8750.79 1.582.36 1.18-0.3 -0.59 -0.590.06 0.120.18 0.09-0.02 0.040.04 0.010.01最终弯矩最终弯矩 71.35 142.71-142.71 293.51-293.51校核校核 53.32 53.32 -28.4-28.4如：如：ABCi=2Di=3i=46m6m3m3mFp=400kNq=40 kN/m图图(a) 例例3 如图示刚架，用力矩分配法作如图示刚架，用力矩分配法作M图（图（EI=常数）。常数）。 ABCFp=40kNDEF10m 10m20m

23、20m图图(a) 20m解：解：在在B、C引入刚臂，引入刚臂， kN.m150163lFFBApMB结点：结点： 1134433lEIlEIlEIlEIBA1144434lEIlEIlEIlEIBCBEC结点：结点： 1144434lEIlEIlEIlEICBCF1134433lEIlEIlEIlEICD计算过程如下表所示计算过程如下表所示结点结点EBCF杆端杆端EBBEBABCCBCDCFFC分配系数分配系数4/113/114/114/113/114/11固端弯矩固端弯矩150分配传递分配传递结点结点EBCF杆端杆端EBBEBABCCBCDCFFC分配系数分配系数4/113/114/114/

24、113/114/11固端弯矩固端弯矩150分配传递分配传递-27.27 -54.55 -40.91 -54.55 -27.27 结点结点EBCF杆端杆端EBBEBABCCBCDCFFC分配系数分配系数4/113/114/114/113/114/11固端弯矩固端弯矩150分配传递分配传递-27.27 -54.55 -40.91 -54.55 -27.27 4.96 9.92 7.43 9.92 4.96 结点结点EBCF杆端杆端EBBEBABCCBCDCFFC分配系数分配系数4/113/114/114/113/114/11固端弯矩固端弯矩150分配传递分配传递-27.27 -54.55 -40.

25、91 -54.55 -27.27 4.96 9.92 7.43 9.92 4.96 -0.9 -1.8 -1.36 -1.8 -0.9 结点结点EBCF杆端杆端EBBEBABCCBCDCFFC分配系数分配系数4/113/114/114/113/114/11固端弯矩固端弯矩150分配传递分配传递-27.27 -54.55 -40.91 -54.55 -27.27 4.96 9.92 7.43 9.92 4.96 -0.9 -1.8 -1.36 -1.8 -0.9 0.16 0.33 0.24 0.33 0.17 结点结点EBCF杆端杆端EBBEBABCCBCDCFFC分配系数分配系数4/113/

26、114/114/113/114/11固端弯矩固端弯矩150分配传递分配传递-27.27 -54.55 -40.91 -54.55 -27.27 4.96 9.92 7.43 9.92 4.96 -0.9 -1.8 -1.36 -1.8 -0.9 0.16 0.33 0.24 0.33 0.17 -0.03 -0.06 -0.04 -0.06 -0.03 结点结点EBCF杆端杆端EBBEBABCCBCDCFFC分配系数分配系数4/113/114/114/113/114/11固端弯矩固端弯矩150分配传递分配传递-27.27 -54.55 -40.91 -54.55 -27.27 4.96 9.9

27、2 7.43 9.92 4.96 -0.9 -1.8 -1.36 -1.8 -0.9 0.16 0.33 0.24 0.33 0.17 -0.03 -0.06 -0.04 -0.06 -0.03 0.01 0.01 0.01 结点结点EBCF杆端杆端EBBEBABCCBCDCFFC分配系数分配系数4/113/114/114/113/114/11固端弯矩固端弯矩150分配传递分配传递-27.27 -54.55 -40.91 -54.55 -27.27 4.96 9.92 7.43 9.92 4.96 -0.9 -1.8 -1.36 -1.8 -0.9 0.16 0.33 0.24 0.33 0.

28、17 -0.03 -0.06 -0.04 -0.06 -0.03 0.01 0.01 0.01 最终弯矩最终弯矩-28.2 56.41 107.69 51.28 -17.94 7.69 10.26 5.15 BJJBBJBKKBBKiMMiMM2121结点结点EBCF杆端杆端EBBEBABCCBCDCFFC分配系数分配系数4/113/114/114/113/114/11固端弯矩固端弯矩150分配传递分配传递-27.27 -54.55 -40.91 -54.55 -27.27 4.96 9.92 7.43 9.92 4.96 -0.9 -1.8 -1.36 -1.8 -0.9 0.16 0.33

29、 0.24 0.33 0.17 -0.03 -0.06 -0.04 -0.06 -0.03 0.01 0.01 0.01 最终弯矩最终弯矩-28.2 56.41 107.69 51.28 -17.94 7.69 10.26 5.15 校核校核 -42.3/i -42.3/i -42.3/i7.7/i 7.7/i7.7/i20EIi 设：设：M图图(kN.m)200107.695.1217.947.6810.2656.4128.251.28ABCFp=40kNDEF10m 10m20m20m图图(a) 20m200107.695.1217.947.6810.2656.4128.251.28M图图

30、(kN.m)例例4 如图示对称结构，用力矩分配法作如图示对称结构，用力矩分配法作M图（图（EI=常数）。常数）。 ABCq=30kN/mD4m4mEF3m解：解：此结构和荷载均为双对称此结构和荷载均为双对称因此仅取因此仅取 结构即可。结构即可。 ABG kN.m5 .22231AgFAGqlMkN.m25.11261AgFGAqlMkN.m402121ABFABqlMkN.m402121ABFBAqlM4 . 0445 . 15 . 1EIEIEIAG6 . 0445 . 144EIEIEIAG结点结点 G A B杆端杆端GA AGAB BA分配系数分配系数0.4 0.6 固端弯矩固端弯矩11

31、.25 22.5 -40 40 结点结点 G A B杆端杆端GA AGAB BA分配系数分配系数0.4 0.6 固端弯矩固端弯矩11.25 22.5 -40 40 分配传递分配传递-7 7 10.5 5.25 结点结点 G A B杆端杆端GA AGAB BA分配系数分配系数0.4 0.6 固端弯矩固端弯矩11.25 22.5 -40 40 分配传递分配传递-7 7 10.5 5.25 最终弯矩最终弯矩4.25 29.5 -29.5 45.25 AFGAAGABBAABiMMiMM2121校核：校核： 因因G点有线位移，故位移连续条件需重新推导。点有线位移，故位移连续条件需重新推导。 前面已推导

32、出前面已推导出AB段段A端的转角为端的转角为 ABBAABAiMM321对于对于AG杆，因为杆，因为 FAGAAFFGAAAGGAFAGAAFFAGAAGAGMiMiMMiMiM22由上式可得由上式可得 AFGAAGAiMM321因此，因此，A结点的位移协调条件为结点的位移协调条件为 ABGABCq=30kN/mDEF结点结点 G A B杆端杆端GA AGAB BA分配系数分配系数0.4 0.6 固端弯矩固端弯矩11.25 22.5 -40 40 分配传递分配传递-7 7 10.5 5.25 最终弯矩最终弯矩4.25 29.5 -29.5 45.25 31.5/EI 31.5/EI 图图(b)

33、 M图图(kN.m)6029.529.545.254.25ABCq=30kN/mDEF6029.529.545.254.25M图图(kN.m)例例5 如图示对称等截面连续梁，支座如图示对称等截面连续梁，支座B、C同时下沉同时下沉 =0.02m，适用力，适用力矩分配法作矩分配法作M图图 ，已知，已知EI=8104kN. m2 。ABCD图图(a)4m4m4m解：解：由于结构对称，因此仅需考虑由于结构对称，因此仅需考虑结构即可，如图结构即可，如图(b)所示。所示。 ABE图图(b) =0.02 这里的固端弯矩不是荷载引起这里的固端弯矩不是荷载引起的，而是由于支座下沉引起的。的，而是由于支座下沉引起

34、的。引入刚臂，使支座下沉引入刚臂，使支座下沉 . kN.m30032lEIMFBA 6 . 024343EIEIEIBA4 . 02432EIEIEIBE结点结点 B E杆端杆端BABEEB分配系数分配系数0.60.4固端弯矩固端弯矩-300 -结点结点 B E杆端杆端BABEEB分配系数分配系数0.60.4固端弯矩固端弯矩-300 分配传递分配传递180 120 -120结点结点 B E杆端杆端BABEEB分配系数分配系数0.60.4固端弯矩固端弯矩-300 分配传递分配传递180 120 -120最终弯矩最终弯矩-120 120 -120 结点结点 B E杆端杆端BABEEB分配系数分配系

35、数0.60.4固端弯矩固端弯矩-300 分配传递分配传递180 120 -120最终弯矩最终弯矩-120 120 -120 720/EI 720/EI 校核：校核： BCEBBEBAABBAiMMiMM2121M图图(kN.m)120M图图(kN.m)1209.3力矩分配法与位移法联合应用力矩分配法与位移法联合应用 对于一般的有结点线位移的刚架，力矩分配法不能直接应用，对于一般的有结点线位移的刚架，力矩分配法不能直接应用，此时可联合位移法一起应用，用力矩分配法分析角位移的影响，用此时可联合位移法一起应用，用力矩分配法分析角位移的影响，用位移法分析线位移的影响。下面举例说明力矩分配法与位移法联合

36、位移法分析线位移的影响。下面举例说明力矩分配法与位移法联合分析问题的基本思路。分析问题的基本思路。 如图如图(a)所示结构，位移法分析时有三个角位移未知量，一个所示结构，位移法分析时有三个角位移未知量，一个线位移未知量。线位移未知量。 图图(a)(1) 首先用位移法求解，但所取的首先用位移法求解，但所取的“基本结构基本结构” 只控制结点的线位只控制结点的线位移，即基本未知量为结点的线位移，即基本未知量为结点的线位移。移。 图图(b) 基本结构基本结构Z1位移法典型方程为位移法典型方程为 01111pRZr而任一截面的弯矩为而任一截面的弯矩为 pMZMM11(2) 上述方程中的上述方程中的r11

37、、R1p、 及及Mp等等无法直接查表求出无法直接查表求出，因各杆不属，因各杆不属于单跨超静定梁。可用力矩分配法来确定。于单跨超静定梁。可用力矩分配法来确定。 1M图图(c) 约束结构约束结构R1p图图(d)利用图利用图(c)可求出可求出Mp图，图，由平衡可求出由平衡可求出R1p 利用图利用图(d)可求出可求出 图，由平衡可求出图，由平衡可求出r11 1Mr111 当结构的结点线位移多于一个时，也可采用类似的方法计算。如当结构的结点线位移多于一个时，也可采用类似的方法计算。如图图(e)所示刚架有两个线位移所示刚架有两个线位移Z1、Z2。 图图(e)图图(f) 基本结构基本结构Z1Z2位移法的典型

38、方程为位移法的典型方程为 0022221211212111ppRZrZrRZrZr任一截面的弯矩为任一截面的弯矩为 pMZMZMM2211上述方程中的刚度系数上述方程中的刚度系数r11、 r12和和r22 ，自由项，自由项R1p和和R2p ；单位位移时；单位位移时的任一截面的弯矩的任一截面的弯矩 和和 及荷载单独作用于及荷载单独作用于“基本结构基本结构”时任一时任一截面的弯矩值截面的弯矩值Mp等无法直接查表求出，因各杆不属于单跨超静定梁。等无法直接查表求出，因各杆不属于单跨超静定梁。可用力矩分配法来确定。可用力矩分配法来确定。 2M1M图图(f) 基本结构基本结构Z1Z2(2)对于对于“基本结

39、构基本结构”令令Z1=1，Z2=0用力用力矩分配法求出矩分配法求出 图，再利用平衡条件图，再利用平衡条件求出求出r11、 r21 ； 1M(1)首先采用力矩分配法求出首先采用力矩分配法求出“基本结构基本结构”在荷载作用下的图，再利用平衡条件求在荷载作用下的图，再利用平衡条件求出出R1p和和R1p ；步骤如下：步骤如下：(3)对于对于“基本结构基本结构”令令Z1=0，Z2=1用力矩分配法求出用力矩分配法求出 图，再图，再利用平衡条件求出利用平衡条件求出r22 、 r12 （ r12 = r21 ）；）； 2M(4)求解位移法典型方程：求解位移法典型方程： 图图(f) 基本结构基本结构Z1Z200

40、22221211212111ppRZrZrRZrZr(5)利用叠加公式求出各杆的杆端弯矩利用叠加公式求出各杆的杆端弯矩 pMZMZMM2211(6)作作M图。图。 例例6 如图示刚架，作如图示刚架，作M图。图。 EABCq=20kN/mDF4m5m4m图图(a) 4EI04EI05EI03EI03EI04m6m解：解：线位移只有一个，即线位移只有一个，即D点水平点水平位移，取基本结构如图位移，取基本结构如图(b)所示。所示。 EABCFZ1图图(b) 基本结构基本结构D位移法典型方程为位移法典型方程为 01111pRZr利用力矩分配法求出荷载作用利用力矩分配法求出荷载作用下的下的Mp图图62.

41、51.7146.854.9图图(d) Mp图图(kN.m)9.814.624.443.423.4340R1p图图(c) 求出各立柱底端的剪力求出各立柱底端的剪力 kN45. 269 . 48 . 9QFCF利用平衡条件得利用平衡条件得 kN16.11QFCQEBpFFRkN29. 1471. 143. 3QEBF力矩分力矩分配法配法FQEB FQFC 利用力矩分配法求出支座利用力矩分配法求出支座D单位位移时的单位位移时的 图，如图图，如图(f)所所示示 1M图图(e)力矩分力矩分配法配法图图(f) 图图(设设EI0=1)0.9650.4670.3180.4880.8060.3400.4360.

42、096求出各立柱底端的剪力求出各立柱底端的剪力 433. 04806. 0965. 0QEBF153. 06436. 0467. 0QFCF利用平衡条件得利用平衡条件得 549. 011QFCQEBFFr解位移法方程解位移法方程 95. 11111rRZp注意：注意：因设因设EI0=1，这不是真实的位移，这不是真实的位移 叠加法求杆端弯矩叠加法求杆端弯矩 pMZMM11kN.m8 .4242.4395. 1318. 0BAMkN.m9 .4785.4695. 1488. 0BCM。图图(g) M图图(kN.m)作作M图图 r111FQEB FQFC 43.68.914.823.747.942.

43、8254062.5图图(g) M图图(kN.m)43.68.914.823.747.942.8254062.59.4无剪力分配法无剪力分配法 力矩分配法是无侧移刚架的一种渐进（逐次逼近）法，它不能直力矩分配法是无侧移刚架的一种渐进（逐次逼近）法，它不能直接应用于有侧移刚架的分析，但对于某些特殊有侧移刚架，可以用与接应用于有侧移刚架的分析，但对于某些特殊有侧移刚架，可以用与力矩分配法类似的无剪力分配法进行计算。力矩分配法类似的无剪力分配法进行计算。 (1) 无剪力分配法的应用条件无剪力分配法的应用条件 对于单跨多层刚架，在反对称荷载作用下，采用半刚架法分析时对于单跨多层刚架，在反对称荷载作用下，

44、采用半刚架法分析时可简化为如图可简化为如图(a)所示形式的结构。所示形式的结构。图图(a)ABCED结构的特点：结构的特点： (a)各梁（各梁（CE 和和BD）两端无相对线位移，）两端无相对线位移，这类杆件这类杆件称为两端无相对线位移杆件称为两端无相对线位移杆件； (b)各柱（各柱（AB和和BC）两端虽然有相对线位移，但剪力是静定的，这）两端虽然有相对线位移，但剪力是静定的，这类杆件类杆件称为剪力静定杆件。称为剪力静定杆件。 无剪力分配法适用的条件：无剪力分配法适用的条件： 刚架中除两端无相对线位移杆件外，其余杆件都属于剪力静定杆件。刚架中除两端无相对线位移杆件外，其余杆件都属于剪力静定杆件。

45、 它属于有侧移刚架，不能直接用力矩分配它属于有侧移刚架，不能直接用力矩分配法。法。 图图(b)所示的结构是否适用无剪力分配法所示的结构是否适用无剪力分配法？ ABCDE图图(b)(2) 无剪力分配法的基本步骤无剪力分配法的基本步骤 如图如图(a)所示刚架所示刚架图图(a)采用位移法分析时，基本未知量仅采用位移法分析时，基本未知量仅取角位移，基本结构如图取角位移，基本结构如图(b)所示。所示。 Z1图图(b)基本结基本结构构(a)约束结构如图约束结构如图(c)所示，求出基本结构在荷载所示，求出基本结构在荷载的作用下各杆的固端弯矩，利用结点的作用下各杆的固端弯矩，利用结点A的平衡条的平衡条件，求出

46、约束力矩件，求出约束力矩R1p，即得不平衡力矩。，即得不平衡力矩。 图图(c)约束结构约束结构R1p(b)原结构并没有原结构并没有R1p ，为了使基本结构的受力，为了使基本结构的受力与原结构相同，把不平衡力矩反号加到基本与原结构相同，把不平衡力矩反号加到基本结构上如图结构上如图(d)所示。所示。 -R1p图图(d)放松结放松结构构(c)叠加上述结果，即得原结构的杆端弯矩。叠加上述结果，即得原结构的杆端弯矩。 求出各杆的分配与传递弯矩。求出各杆的分配与传递弯矩。 在上面的在上面的(b)中，求出各杆的分配与传递中，求出各杆的分配与传递弯矩时，要用到剪力静定杆件弯矩时，要用到剪力静定杆件(立柱立柱A

47、B)的劲的劲度系数度系数S。对于该类杆件的劲度系数及传递。对于该类杆件的劲度系数及传递系数是多少前面没有讲过，下面介绍剪力静系数是多少前面没有讲过，下面介绍剪力静定杆件的劲度系数和传递系数。定杆件的劲度系数和传递系数。 (3) 零剪力杆件的劲度系数和传递系数零剪力杆件的劲度系数和传递系数 在在(b)中将不平衡力矩反号加到基本结构上后，立柱时，立柱中将不平衡力矩反号加到基本结构上后，立柱时，立柱AB-R1p图图(d)放松结构放松结构AB变形特点：变形特点： A端既有线位移又有角位移，端既有线位移又有角位移，B端固定；端固定；受力特点：受力特点： 立柱立柱AB的各截面的剪力为零，弯矩为的各截面的剪

48、力为零，弯矩为常数常数(纯弯曲变形纯弯曲变形)。故称其为。故称其为零剪力杆。零剪力杆。如同悬臂梁自由端受集中力偶一样，如图如同悬臂梁自由端受集中力偶一样，如图(e)所示。所示。 图图(e) 悬臂梁悬臂梁MAB AABEIl由材料力学知由材料力学知 EIlMABA设设AB杆的线刚杆的线刚度度 lEIiABAABABiM则则 由平衡条件得由平衡条件得 AABBAiM根据劲度系数的定义，可知零剪力杆的根据劲度系数的定义，可知零剪力杆的劲度系数为劲度系数为 ABABiS图图(f) 在消除在消除 R3p 时时-R3p根据传递系数的定义，可知零剪力杆的根据传递系数的定义，可知零剪力杆的传递系数为传递系数为

49、 1BAABCC 对于多层结构同样可以看出，在结点力对于多层结构同样可以看出，在结点力偶的作用下，刚架中偶的作用下，刚架中剪力静定杆件都是零剪剪力静定杆件都是零剪力杆件力杆件，如图，如图(f)所示。因此，消除不平衡力所示。因此，消除不平衡力矩时，这些杆件都是在零剪力的条件下得到矩时，这些杆件都是在零剪力的条件下得到分配和传递，故得此名：分配和传递，故得此名：无剪力分配法。无剪力分配法。 图图(e) 悬臂梁悬臂梁MAB AABEIl例例7 如图如图(a)所示刚架，作所示刚架，作M图。图。 i=27i=27i=3.5i=3.5i=5i=58 kN17 kN3.3m3.6m图图(a)4 kN4 kN

50、8.5kN8.5 kN图图(b)正对称荷载正对称荷载解：解： 不能直接用无剪力分配法。把荷载分组：正对称一组如图不能直接用无剪力分配法。把荷载分组：正对称一组如图(b)所示，所示，反对称为另一组如图反对称为另一组如图(c)所示所示4 kN8.5 kN4 kN8.5 kN图图(c)反对称荷载反对称荷载在正对称荷载作用下，无弯矩，仅考虑反对称荷载情况即可。取在正对称荷载作用下，无弯矩，仅考虑反对称荷载情况即可。取半刚架如图半刚架如图(d)所示。所示。注意：注意：横梁的线刚度增加了一倍！横梁的线刚度增加了一倍！ AB4kN8.5kNi=5i=3.5i=54i=54CDE图图(d)固端弯矩固端弯矩 k

51、N.m6 . 621ABQABFBAFABlFMMkN.m5 .2221BCQBCFCBFBClFMM分配系数分配系数 结点结点A： 9789. 05 . 3543543AD0211. 05 . 35435 . 3AB结点结点B： 0206. 055435 . 35 . 3BA9501. 055435 . 3543BE0293. 055435 . 35BC结点结点 A B C杆端杆端 ADAB BABEBC CB分配系数分配系数 0.9789 0.0211 0.0206 0.9501 0.0293 固端弯矩固端弯矩 -6.6 -6.6 -22.5 -22.5 结点结点 A B C杆端杆端 AD

52、AB BABEBC CB分配系数分配系数 0.9789 0.0211 0.0206 0.9501 0.0293 固端弯矩固端弯矩 -6.6 -6.6 -22.5 -22.5 分配传递分配传递-0.6 0.6 27.65 0.85 -0.85 结点结点 A B C杆端杆端 ADAB BABEBC CB分配系数分配系数 0.9789 0.0211 0.0206 0.9501 0.0293 固端弯矩固端弯矩 -6.6 -6.6 -22.5 -22.5 分配传递分配传递-0.6 0.6 27.65 0.85 -0.85 7.05 0.15 -0.15 结点结点 A B C杆端杆端 ADAB BABEB

53、C CB分配系数分配系数 0.9789 0.0211 0.0206 0.9501 0.0293 固端弯矩固端弯矩 -6.6 -6.6 -22.5 -22.5 分配传递分配传递-0.6 0.6 27.65 0.85 -0.85 7.05 0.15 -0.15 0 0.14 0.01 - 0.01 结点结点 A B C杆端杆端 ADAB BABEBC CB分配系数分配系数 0.9789 0.0211 0.0206 0.9501 0.0293 固端弯矩固端弯矩 -6.6 -6.6 -22.5 -22.5 分配传递分配传递-0.6 0.6 27.65 0.85 -0.85 7.05 0.15 -0.15 0 0.14 0.01 - 0.01 最终弯矩最终弯矩 7.05 -7.05 -6.15 27.79 -21.64 -23.36 M图如图图如图(e)27.7923.3621.646.157.057.05图