教学课件常微分3.1

1、 第三章第三章 一阶微分方程的解的存在定理一阶微分方程的解的存在定理为什么要研究解的存在唯一性及解的某些性质1 1 1841年 Liouville 证明了，Riccati 方程)0)(, 0)( )()()(2xRxPxRyxQyxPdxdy一般没有初等解法.因此人们怀疑一般初值问题00)(),(yxyyxfdxdy的解是否一定存在.3 3 能为找不出表达式的解提供一种近似计算的方法整个区间上存在吗？5 5 关于解还有些什么有用的性质？不唯一的解在实际问题中有用吗？2 2 方程ydxdy2过点(0,0)的解虽存在，但不唯一.人们问：在什么条),(4 4 解的存在区间能适当拓展吗，甚至使它在件下

2、，上述初值问题的解是唯一的？吗？需解决的问题?,)(),(1000的解是否存在初值问题yxyyxfdxdy?,)(),(2000是否唯一的解是存在若初值问题yxyyxfdxdy3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法Lipschitz 条件) 1 . 3(,)(),(00yxyyxfdxdy:),(Ryxf在矩形区域函数)2 . 3(,00byyaxx.上连续:条件满足关于Lipschitzy满足使对所有即存在RyxyxL),(),(, 0212121),(),(yyLyxfyxf:),(Ryxf在矩形区域函数.ip常数称为schitizLL一 存在唯一性定理1 定理1 考虑初值问题) 1 .

3、3(,)(),(00yxyyxfdxdy:),(Ryxf在矩形区域其中)2 . 3(,00byyaxx,上连续:条件满足并且对Lipschitzy,) 1 . 3(0上的解存在且唯一在区间则初值问题hxx),(),min(),(yxfMaxMMbahRyx这里(1) 初值问题(3.1)的解等价于积分方程)5 . 3(),(00dtytfyyxx的连续解.证明思路(2) 构造(3.5)近似解函数列)(xn0100( )( ,( )xxxyfd 得右侧的代入任取一连续函数,)5 . 3(,)(),(000ybyxx得右侧的代入否则将为解则若,)5 . 3()(,)(),()(1001yxxxx02

4、01( )( ,( )xxxyfd ,)5 . 3()(,)(),()(2112yxxxx右侧的代入否则将为解则若010( )( ,( ),xnnxxyfd ,)(0byxn这里要求,)(),()(1为解则若xxxnnn)(xn列否则一直下去可得函数(逐步求(3.5)的解,逐步逼近法).(,)()3(00 xhxhxxn上一致收敛于在函数序列这是为了010lim( )lim( ,( )xnnxnnxyfd 00lim( ,( )xnx nyfd 即00( )( , ( ),xxxyfd ).(,(,)(,(00 xxfhxhxxxfn致收敛于上一在只需函数列)()()(,()(,(xxLxxf

5、xxfnn由).(,)(00 xhxhxxn上一致收敛于在只需),()()()(110 xxxxnnkkk由于等价于函数项级数敛性上一致收在于是函数列,)(00hxhxxn,)()()(110nnnxxx.,00上一致收敛性在hxhx.,)5 . 3()()4(00且唯一上连续解定义于是积分方程hxhxx下面分五个命题来证明定理,为此先给出积分方程的解如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符号下含有未知函数, 则称这样的关系式为积分方程.积分方程.,)(:0程就是一个简单的积分方如xxdttyey.)(,)(,()(),(,),(0000为该积分方程的解则称上恒成立在区间使得上的连续函数

6、如果存在定义在区间对于积分方程xyIdtttfyxxyIdtytfyyxxxx命题1 初值问题(3.1)等价于积分方程)5 . 3(),(00dxyxfyyxx证明:则的连续解为若,) 1 . 3()(xy,)()(,()(00yxxxfdxxd取定积分得到对第一式从xx0dxxxfxxxx0)(,()()(0即dxxxfyxxx0)(,()(0.)5 . 3()(的连续解为故xy) 1 . 3( ,)(),(00yxyyxfdxdy则有的连续解为若,)5 . 3()(xy反之dtttfyxxx0)(,()(0,),(上连续在由于Ryxf,)(,(连续从而ttf故对上式两边求导,得)(,()(

7、xxfdxxd且00000)(,()(ydxxxfyxxx.) 1 . 3()(的连续解为即xy构造Picard逐步逼近函数列)(xn00)(yx 00100( )( ,( )xnnxxyfdxxxh ), 2 , 1(n)7 . 3(问题:这样构造的函数列是否行得通, 即上述的积分 是否有意义?.)(,)(000的常数值往往取方便但实际上为可任取一般来说连续函数yxx注命题2有定义、连续且满足和对于所有)(,00 xhxxxnn)8 . 3(,)(0byxn证明:(用数学归纳法)时1ndyfyxxx),()(0010且上有定义、连续在显然,)(001hxxx01)(yxdyfxx0),(0d

8、yfxx),(000 xxMMhb),min(Mbah ),(),(yxfMaxMRyx,2时成立当设命题kn 上连续且在即,)(00hxxxkbyxk0)(时当1 kndfyxkxxk)(,()(001,),(上连续性知在由Ryxf上连续在,)(,(00hxxxxfk上有定义连续且在从而,)(001hxxxk01)(yxkdfkxx)(,(0dfxxk0)(,(0 xxMMhb,12时成立当即命题 kn,2都成立对所有从而命题n命题3.,)(00上一致收敛在函数序列hxxxn.,),()(lim00hxxxxxnn记证明:考虑函数项级数)9 . 3(,)()()(00110hxxxxxxnn

9、n它的前n项部分和为),()()()()(110 xxxxxSnnkkkn.)9 . 3()(一致收敛性等价一致收敛性与级数于是xn对级数(3.9)的通项进行估计)()(01xxdfxx0)(,(00 xxM)()(12xxdffxx0)(,()(,(01dLxx0)()(01dxMLxx0)(020)(2xxML,条件得到的其中第二个不等式是由Lipschitz条件由Lipschitz有不等式设对于正整数 , n)()(1xxnn,)(!01nnxxnML条件有由时则当Lipschitzhxxx,00)()(1xxnndffxxnn0)(,()(,(1dLxxnn0)()(1dxnMLxxn

10、n0)(!0,)()!1(10nnxxnML于是由数学归纳法得知,对所有正整数n,有)()(1xxnn,)(!01nnxxnML)11. 3(,00hxxx,00时从而当hxxx)()(1xxnnnnxxnML)(!01,!11收敛由于正项级数nnnhnML.,)9 . 3(,00上一致收敛在级数判别法知由hxxsWeierstras.,)(00上一致收敛在因而函数序列hxxxn,!1nnhnML现设),()(limxxnn,00hxxx,)(00得的连续性和一致收敛性在则由hxxxn且上连续在,)(00hxxxbyx0)(命题4.,)5 . 3()(00上连续解定义于是积分方程hxxx证明:

11、条件有由Lipschitz)(,()(,(xxfxxfn)()(xxLn,)(00的一致收敛性得在以及hxxxn),(xfn函数列),(,(,00 xxfhxx上一致收敛于函数在)(,()(xxfxfnn得两边取极限因此对,)7 . 3()(limxnn001lim( ,( )xnxnyfd 001lim( ,( )xnx nyfd 即)(x00( , ( )xxyfd .,)5 . 3()(00上连续解定义于是积分方程故hxxx命题5.,),()(,)5 . 3()(0000hxxxxxhxxx则一个连续解上的定义于是积分方程设证明:, )()()(xxxg设,)(00上非负连续函数是定义于

12、则hxxxg00( )( , ( )xxxyfd 00( )( ,( )xxxyfd 由条件得的及Lipschitzyxf),()()()(xxxg00( ,( )( , ( )xxxxfdfd 0( ( ,( )( , ( )xxffd 0( ,( )( , ( )xxffd 0( )( )xxLd 0( )xxLgd0( )( ( ,( )( , ( )xxg xffd 0( )( ),xxu xLgd令,)(00上连续可微函数是定义于则hxxxu于是且),()(),()(0 , 0)(0 xLgxuxuxgxu),()(xLuxu, 0)()(LxexLuxu, 0)()(00LxLxe

13、xuexu积分得到对最后一个不等式从xx0, 0)()(LxexLuxu, 0)()(xuxg故., 0)(00hxxxxg即综合命题15得到存在唯一性定理的证明.)()(0 xuxg一 存在唯一性定理1 定理1 考虑初值问题) 1 . 3(,)(),(00yxyyxfdxdy:),(Ryxf在矩形区域其中)2 . 3(,00byyaxx,上连续:条件满足并且对Lipschitzy常成立使对所有即存在RyxyxL),(),(, 0212121),(),(yyLyxfyxf,) 1 . 3(0上的解存在且唯一在区间则初值问题hxx),(),min(),(yxfMaxMMbahRyx这里命题1 初

14、值问题(3.1)等价于积分方程)5 . 3(),(00dtytfyyxx构造Picard逐步逼近函数列)(xn00)(yx 00100( )( ,( )xnnxxyfdxxxh ), 2 , 1(n命题2连续且满足和对于所有)(,00 xhxxxnn)8 . 3(,)(0byxn命题3.,)(00上一致收敛在函数序列hxxxn命题4.,)5 . 3()(00上连续解定义于是积分方程hxxx.,),()(lim00hxxxxxnn记命题5.,),()(,)5 . 3()(0000hxxxxxhxxx则一个连续解上的定义于是积分方程设2 存在唯一性定理的说明.,),() 1 (件容易判断的两个充分

15、条下面给出在实际应用中一般比较困难条件满足验证它是否关于根据定义去上有定义的函数对于给定在LipschitzyyxfR.),(,),(),(10条件满足上关于在则有界存在且的偏导数上关于在如果LipschitzyRyxfyxfyRyxfy.),(,),(),(20条件满足上关于在则连续的偏导数上关于在如果LipschitzyRyxfyxfyRyxfy),(),(21yxfyxf21212)(,(yyyyyxfy21yyL的几何意义定理中,min)2(Mbah ,),(MyxfR中有在矩形,) 1 . 3(之间与的解曲线的斜率必介于故初值问题MM,),(00的直线和分别作斜率为过点MMyx;)(

16、),)(00中有定义在解所示如图时当axxaxxyaabM.)(,;)(),)(0000内在证解才能保时只有当使得无意义外去矩形它有可能在区间内跑到中有定义在不能保证解所示如图时而当RxyMbxxMbxRaxxaxxybabM.0hxx范围为故要求解的存在即为线性方程时当方程,) 1 . 3() 3()()(xQyxpdxdy.,)(,1,)(),(000且连续有定义在所确定的解且任一初值的条件能满足定理上连续时在则当xyxyxQxP3 一阶隐方程解存在唯一性定理定理2考虑一阶隐方程)5 . 3(, 0),(yyxF的某邻域中满足如果在点),(000yyx,),(),(10连续且存在连续偏导数

17、对所有变元yyxyyxF, 0),(20000yyxF, 0),(30000yyyxF则方程(3.5)存在唯一解)(),(0为足够小的正数hhxxxyy满足初始条件)8 . 3(,)(;)(00000yxyyxy三 近似计算和误差估计求方程近似解的方法-Picard逐步逼近法,这里00)(yx 00100( )( ,( )xnnxxyfdxxxh ), 2 , 1(n内误差估计为在和真正解次近似解对方程的第,)()(00hxhxxyxnn)19. 3(,)!1()()(1nnnhnMLxx注:上式可用数学归纳法证明)()(0 xxdfxx0)(,(0 xxMMh,!)(!)()(1011nnn

18、nnhnMLxxnMLxx设则)()(xxndffxxn0)(,()(,(1dLxxn0)()(1dxnMLxxnn0)(!010)()!1(nnxxnML.)!1(1nnhnML)(,xn数选取适当的逐步逼近函可以根据误差要求在进行近似计算时这样例1 讨论初值问题0)0(,22yyxdxdy解的存在唯一区间,并求在此区间上与真正解的误差不超. 11, 11:,05. 0yxR其中的近似解的表达式过解, 2),(),(yxfMaxMRyx这里2121, 1minh所以由于yyf2L 2由(3.19)1)!1()()(nnnhnMLxx1)()!1(1nLhnLM)!1(1n05. 005. 0)!1(1n作出如下的近似表达式因此我们可以因而可取, 3n, 0)(0 xxdxxxx02021)()(33xxdxxxx02122)()(xdxxx062963373xxxdxxxx02223)()(xdxxxxx01410623969189295953520792633151173xxxx.05. 021,21,)(3解误差不会超过上与真正在区间就是所求的近似解x例2 求初值问题0)0(,12yydxdy解的存在唯一区间.解,ba对任意均在矩形区域函数),(yxf,| ),(byaxyxR计算有连续的偏导数且对内连续,y),(),(yxfMaxMRyx;12b1,min2bbah,都可