第4章 参数估计

1、华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程第四章第四章 参数估计参数估计引例引例(1/2)：某保健品生产企业以生产瓶装保健品为主，每某保健品生产企业以生产瓶装保健品为主，每天的产量约为天的产量约为80008000瓶，按规定，每瓶的重量应瓶，按规定，每瓶的重量应不低于不低于100g100g，否则不合格。为对产品质量进行，否则不合格。为对产品质量进行监测，现对产品进行质量检验，质检的内容之监测，现对产品进行质量检验，质检的内容之一就是每瓶重量是否符合要求。以下为从某天一就是每瓶重量是否符合要求。以下为从某天生产保健品中随机抽取的生产保健品中随机抽取的2525瓶，表瓶，表4.14.1是每瓶重是每瓶重量

2、检测结果。量检测结果。华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程2 2引例引例(2/2) ：2525瓶保健品的重量瓶保健品的重量112.5112.5101.0101.0103.0103.0102.0102.0100.5100.5102.6102.6107.5107.595.095.0108.8108.8115. 6115. 6100.0100.0123.5123.5102.0102.0101.6101.6102.2102.2116.6116.695.495.497.897.8108.6108.6105.0105.0136.8136.8102.8102.8101.5101.598.498.493.

3、393.3表表4.1 保健品重量检测结果保健品重量检测结果根据表根据表4.14.1的数据，企业估计出该天生产的保健品每瓶平的数据，企业估计出该天生产的保健品每瓶平均质量在均质量在101.38-109.34g101.38-109.34g之间，其中，估计的置信水平为之间，其中，估计的置信水平为95%95%，估计误差不超过，估计误差不超过4g4g。产品的合格率在。产品的合格率在73.93%-96.07%73.93%-96.07%之间，其中，估计的置信水平为之间，其中，估计的置信水平为95%95%，估计误差不超过，估计误差不超过16%16%。华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程3 3提出问题提出问

4、题该企业是如何根据表该企业是如何根据表4.14.1的数据进的数据进行估计的？行估计的？Q1Q2Q3如何根据管理层的要求估计总体如何根据管理层的要求估计总体的方差？的方差？华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程4 4学习目标学习目标p了解评价估计量的标准；了解评价估计量的标准；p掌握单个总体和两个总体的参数估计；掌握单个总体和两个总体的参数估计；p掌握如何确定样本容量；掌握如何确定样本容量；p根据样本统计量推断总体的特征。根据样本统计量推断总体的特征。华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程5 5学习内容学习内容p了解估计量与估计值了解估计量与估计值p了解点估计与区间估计了解点估计与区间估计p

5、理解评价估计量的标准理解评价估计量的标准p掌握单个总体参数的区间估计掌握单个总体参数的区间估计p掌握两个总体参数的区间估计掌握两个总体参数的区间估计p掌握如何确定样本容量掌握如何确定样本容量华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程6 6第一节参数估计的一般问题第一节参数估计的一般问题4.14.24.34.4具体章节结构具体章节结构 第二节第二节 一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计第三节第三节 两个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计第四节第四节 样本容量的确定样本容量的确定华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程7 7参数估计在统计方法中的地位参数估计在统计方法中的地位华南理工大

6、学精品课程华南理工大学精品课程8 8统计推断的过程统计推断的过程总体均值、比总体均值、比率、方差等率、方差等华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程9 9一、估计量与估计值一、估计量与估计值二、点估计与区间估计二、点估计与区间估计三、评价估计量的标准三、评价估计量的标准第一节第一节 参数估计的一般问题参数估计的一般问题华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程10101.1. 估计量：估计量：用于估计总体参数的随机变量如样本均值，样本比率、样本方差等；例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量2. 参数用 表示，估计量用 表示3.3. 估计值：估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均

7、值 x =80，则80就是的估计值一、估计量与估计值一、估计量与估计值华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程11111. 用样本的估计量直接作为总体参数的估计值 例如：用样本均值直接作为总体均值的估计 例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计2. 没有给出估计值接近总体参数程度的信息3. 点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等二、点估计与区间估计二、点估计与区间估计华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程12121.在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的2.根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的

8、接近程度给出一个概率度量 比如，某班级平均分数在7080之间，置信水平是95% 二、点估计与区间估计二、点估计与区间估计华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程1313区间估计的图示区间估计的图示二、点估计与区间估计二、点估计与区间估计华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程14141.由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间，统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间。2.用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值。我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数

9、几个不包含参数真值的区间中的一个置信区间置信区间: :二、点估计与区间估计二、点估计与区间估计华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程15151.将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比率称为置信水平 2.表示为 (1- 为是总体参数未在区间内的比率 3.常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%相应的相应的 为0.01，0.05，0.10置信水平置信水平: : 二、点估计与区间估计二、点估计与区间估计华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程1616置信区间与置信水平置信区间与置信水平: : 二、点估计与区间估计二、点估计与区间估计华南理工大学精品课程华南理工

10、大学精品课程1717影响区间宽度的因素影响区间宽度的因素: : 1.总体数据的离散程度，用 来测度2. 样本容量，3. 2.置信水平 (1-)，影响 z 的大小二、点估计与区间估计二、点估计与区间估计华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程1818 无偏性：无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数 三、评价估计量的标准三、评价估计量的标准华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程1919有效性：有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效 三、评价估计量的标准三、评价估计量的标准华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程2020 一致性：一致性：随着样本容量的增

11、大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数三、评价估计量的标准三、评价估计量的标准华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程2121一、总体均值的区间估计一、总体均值的区间估计二、总体比率的区间估计二、总体比率的区间估计三、总体方差的区间估计三、总体方差的区间估计第二节第二节 一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程2222 1. 1.假定条件假定条件 总体服从正态分布,且方差() 未知 如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30)2.使用正态分布统计量 z2.2.总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为一、总体均值的区间估计（大样本）一、总体均值

12、的区间估计（大样本）华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程23232525盒盒饮料饮料的的净含量净含量1121120 0.5.51011010 0.0.01031030 0.0.01021020 0.0.01001000 0.5.51021020 0.6.61071070 0.5.5 95950 0.0.01081080 0.8.81151150 0.6.61001000 0.0.01231230 0.5.51021020 0.0.01011010 0.6.61021020 0.2.21161160 0.6.6 95950 0.4.4 97970 0.8.81081080 0.6.61051

13、050 0.0.01361360 0.8.81021020 0.8.81011010 0.5.5 98980 0.4.4 93930 0.3.3一、总体均值的区间估计（大样本）一、总体均值的区间估计（大样本）华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程2424一、总体均值的区间估计（大样本）一、总体均值的区间估计（大样本）华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程25253636个个客户客户年龄的数据年龄的数据 23233535393927273636444436364242464643433131333342425353454554544747242434342828393936364444404

14、0393949493838343448485050343439394545484845453232一、总体均值的区间估计（大样本）一、总体均值的区间估计（大样本）华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程2626一、总体均值的区间估计（大样本）一、总体均值的区间估计（大样本）华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程2727 1. 假定条件总体服从正态分布,且方差() 未知小样本 (n 30)2.使用 t 分布统计量2. 总体均值 在1-置信水平下的置信区间为一、总体均值的区间估计（小样本）一、总体均值的区间估计（小样本）华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程2828一、总体均值的区间估计（小样

15、本）一、总体均值的区间估计（小样本）华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程29291616个电子元件使用寿命的数据个电子元件使用寿命的数据 15101510152015201480148015001500145014501480148015101510152015201480148014901490153015301510151014601460146014601470147014701470一、总体均值的区间估计（小样本）一、总体均值的区间估计（小样本）华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程3030一、总体均值的区间估计（小样本）一、总体均值的区间估计（小样本）华南理工大学精品课程华南理

16、工大学精品课程31311.假定条件 总体服从二项分布 可以由正态分布来近似2.使用正态分布统计量 z二、总体比率的区间估计二、总体比率的区间估计华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程3232二、总体比率的区间估计二、总体比率的区间估计华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程33331.估计一个总体的方差或标准差2.假设总体服从正态分布3.总体方差 2 的点估计量为s2,且3. 总体方差在1- 置信水平下的置信区间为三、总体方差的区间估计三、总体方差的区间估计华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程3434三、总体方差的区间估计（图示）三、总体方差的区间估计（图示）华南理工大学精品课程华南理工

17、大学精品课程35352525名学生的身高名学生的身高(cm)(cm)112.5112.5101.0101.0103.0103.0102.0102.0100.5100.5102.6102.6107.5107.5 95.095.0108.8108.8115.6115.6100.0100.0123.5123.5102.0102.0101.6101.6102.2102.2116.6116.6 95.495.4 97.897.8108.6108.6105.0105.0136.8136.8102.8102.8101.5101.5 98.498.4 93.393.3三、总体方差的区间估计三、总体方差的区间估

18、计华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程3636401.12)24() 1(2975. 0212n364.39)24() 1(2025. 022n三、总体方差的区间估计三、总体方差的区间估计华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程3737一、两个总体均值之差的区间估计一、两个总体均值之差的区间估计二、两个总体比率之差的区间估计二、两个总体比率之差的区间估计三、两个总体方差比的区间估计三、两个总体方差比的区间估计第三节第三节 两个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程3838总体参数总体参数符号表示符号表示样本统计量样本统计量均值之差比率之差方差比一、

19、两个总体均值之差的区间估计一、两个总体均值之差的区间估计华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程39391. 假定条件 两个总体都服从正态分布，1、 2已知 若不是正态分布, 可以用正态分布来近似(n130和n230) 两个样本是独立的随机样本2. 使用正态分布统计量 z一、两个总体均值之差的区间估计（大样本）一、两个总体均值之差的区间估计（大样本）华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程4040 3.1， 2已知时，两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的置信区间为 4. 1， 2未知时，两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为一、两个总体均值之差的区间估计（大样本）一、两个总体

20、均值之差的区间估计（大样本）华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程4141 两个样本的有关数据两个样本的有关数据 中学中学1 1中学中学2 2n1=46n1=33S1=5.8 S2=7.2861x782x一、两个总体均值之差的区间估计（大样本）一、两个总体均值之差的区间估计（大样本）华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程4242一、两个总体均值之差的区间估计（大样本）一、两个总体均值之差的区间估计（大样本）华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程43431.假定条件 两个总体都服从正态分布 两个总体方差未知但相等：1=2 两个独立的小样本(n130和n230)2.总体方差的合并估计量2.估

21、计量x1-x2的抽样标准差一、两个总体均值之差的估计一、两个总体均值之差的估计(小样本小样本: 1 12 2 2 22 2 )华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程44441.两个样本均值之差的标准化一、两个总体均值之差的估计一、两个总体均值之差的估计(小样本小样本: 1 12 2 2 22 2 )华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程4545两种算法计算所需的时间两种算法计算所需的时间 算法算法1 1算法算法2 228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.0

22、30.226.5一、两个总体均值之差的估计一、两个总体均值之差的估计(小样本小样本: 1 12 2 2 22 2 )华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程4646一、两个总体均值之差的估计一、两个总体均值之差的估计(小样本小样本: 1 12 2 2 22 2 )华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程4747一、两个总体均值之差的估计一、两个总体均值之差的估计(小样本小样本: 1 12 2 2 22 2 )1. .假定条件 两个总体都服从正态分布 两个总体方差未知且不相等：12 两个独立的小样本(n130和n230)2.使用统计量华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程48483.两个总体均

23、值之差1-2在1- 置信水平下的置信区间为一、两个总体均值之差的估计一、两个总体均值之差的估计(小样本小样本: 1 12 2 2 22 2 )华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程4949两种算法计算所需的时间两种算法计算所需的时间 算法算法1 1算法算法2 228.336.027.631.730.137.222.226.529.038.531.037.634.433.832.128.020.028.830.030.2一、两个总体均值之差的估计一、两个总体均值之差的估计(小样本小样本: 1 12 2 2 22 2 )华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程5050一、两个总体均值之差的估计一

24、、两个总体均值之差的估计(小样本小样本: 1 12 2 2 22 2 )华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程51511. 1. 假定条件 两个匹配的大样本(n1 30和n2 30)两个总体各观察值的配对差服从正态分布2. 2. 两个总体均值之差d =1-2在1- 置信水平下的置信区间为一、两个总体均值之差的估计一、两个总体均值之差的估计(匹配大样本匹配大样本)华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程52521. 3. 假定条件 两个匹配的大样本(n1 30和n2 30)两个总体各观察值的配对差服从正态分布 2. 4. 两个总体均值之差d=1-2在1- 置信水平下的置信区间为一、两个总体均值

25、之差的估计一、两个总体均值之差的估计(匹配大样本匹配大样本)华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程5353 1010名评委对两所中学的评分名评委对两所中学的评分 评委编号评委编号中学中学A A中学中学B B差值差值d d1 1787871717 72 26363444419193 37272616111114 4898984845 56 69191747417175 549495151-2-27 76868555513138 87676606016169 9858577778 81010555539391616一、两个总体均值之差的估计一、两个总体均值之差的估计(匹配大样本匹配大样本)华南理

26、工大学精品课程华南理工大学精品课程5454一、两个总体均值之差的估计一、两个总体均值之差的估计(匹配大样本匹配大样本)华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程55551.假定条件 两个总体服从二项分布 可以用正态分布来近似 两个样本是独立的2.两个总体比率之差1- 2在1- 置信水平下的置信区间为二、两个总体比率之差的区间估计二、两个总体比率之差的区间估计华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程5656二、两个总体比率之差的区间估计二、两个总体比率之差的区间估计华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程5757二、两个总体比率之差的区间估计二、两个总体比率之差的区间估计华南理工大学精品课程华南理

27、工大学精品课程5858三、两个总体方差比的区间估计三、两个总体方差比的区间估计 1. 比较两个总体的方差比2.用两个样本的方差比来判断 如果S S12/ / S S2 22 2接近于1,1,说明两个总体方差很接近 如果S S1 12 2/ / S S2 22 2远离1,1,说明两个总体方差之间存在差异3.2. 总体方差比在1-置信水平下的置信区间为华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程5959三、两个总体方差比的区间估计（图示）三、两个总体方差比的区间估计（图示）华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程6060三、两个总体方差比的区间估计三、两个总体方差比的区间估计华南理工大学精品课程华南理

28、工大学精品课程6161三、两个总体方差比的区间估计三、两个总体方差比的区间估计华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程6262一、估计总体均值时样本容量的确定一、估计总体均值时样本容量的确定二、估计总体比率时样本容量的确定二、估计总体比率时样本容量的确定三、估计总体均值之差时样本容量的确定三、估计总体均值之差时样本容量的确定四、估计总体比率之差时样本容量的确定四、估计总体比率之差时样本容量的确定第四节第四节 样本容量的确定样本容量的确定华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程63631. 估计总体均值时样本容量n为2. 样本容量n与总体方差 2、允许误差E、可靠性系数Z或t之间的关系为 与总体

29、方差成正比 与允许误差成反比 与可靠性系数成正比一、估计总体均值时样本容量的确定一、估计总体均值时样本容量的确定 华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程6464一、估计总体均值时样本容量的确定一、估计总体均值时样本容量的确定 华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程6565一、估计总体均值时样本容量的确定一、估计总体均值时样本容量的确定 华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程66661.1.根据比率区间估计公式可得样本容量n为二、估计总体比率时样本容量的确定二、估计总体比率时样本容量的确定 2. E的取值一般小于0.13. 未知时，可取最大值0.5华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程6

30、767二、估计总体比率时样本容量的确定二、估计总体比率时样本容量的确定 华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程68681.设n1和n2为来自两个总体的样本，并假定n1=n22.根据均值之差的区间估计公式可得两个样本的容量n为三、估计两个总体均值之差时样本容量的确定三、估计两个总体均值之差时样本容量的确定 华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程6969三、估计两个总体均值之差时样本容量的确定三、估计两个总体均值之差时样本容量的确定 华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程7070三、估计两个总体均值之差时样本容量的确定三、估计两个总体均值之差时样本容量的确定 华南理工大学精品课程华南理工大学

31、精品课程71711. 设n1和n2为来自两个总体的样本，并假定n1=n22. 根据比率之差的区间估计公式可得两个样本的容量n为四、估计两个总体比率之差时样本容量的确定四、估计两个总体比率之差时样本容量的确定 华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程7272四、估计两个总体比率之差时样本容量的确定四、估计两个总体比率之差时样本容量的确定 华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程7373四、估计两个总体比率之差时样本容量的确定四、估计两个总体比率之差时样本容量的确定 华南理工大学精品课程华南理工大学精品课程7474案例分析案例分析(1/3)(1/3) 估计灯泡使用寿命估计灯泡使用寿命为了测试某种灯泡的使用寿命，技术人员随机抽取了20只灯泡用于检测。这些灯泡被连接在一个特殊的控制板上，控制板能够调节