直线相关与回归分析分析

1、叶小华叶小华1Health statistics医学统计学-直线相关与回归直线相关与回归2outline直线相关等级相关直线回归直线相关和回归应注意的问题3问题的提出以往方法的局限仅限于考察一个观察指标4问题的提出人的体重往往随着身高的增加而增加。二者之间是否存在某种关联？人的肺活量往往随着胸围的增加而增加。举重运动员所能举起的最大重量是否与他的体重有关？5直线相关（linear correlation）用以描述两个呈正态分布的随机变量之间的线性相关关系。6若两个变量同时增加或减少，变化趋势是同向的，则两变量之间的关系为正相关(positive correlation)；若一个变量增加时，另一

2、个变量减少，变化趋势是反向的，则称为负相关(negative correlation)。 7（1）正相关 （2）负相关（3）非线性相关 （4）零相关xy8相关系数描述两变量间相关关系的密切程度与相关方向总体相关系数用希腊字母表示样本相关系数用r表示9相关系数的计算YYXXXYlllYYXXYYXXr222XXlXX2YYlYYX 的离均差平方和:Y 的离均差平方和:X与Y 间的离均差积和: YYXXlXY10相关系数的特点一个无量纲的数值一个无量纲的数值 ；取值范围：取值范围：-1r1 ；r0为正相关为正相关 r0为负相关为负相关 r0为零相关或无相关；为零相关或无相关；r越接近于，说明相关性

3、越好，越接近于，说明相关性越好， r越接近于，说明相关性越差。越接近于，说明相关性越差。 11例例11-1 随机抽取1名健康成人,测定血液的凝血酶浓度（单位/毫升）及凝固时间，数据如表11-1所示。据此数据如何判断这两项指标间有否相关? 受试者号123456789101112131415凝血酶浓度1.11.21.00.91.21.10.90.61.00.91.10.91.11.00.7凝血时间141315151314161714161516141517表表11111 11515名健康成人凝血时间与凝血酶浓度测量值记录名健康成人凝血时间与凝血酶浓度测量值记录12 1212131314141515

4、16161717181819190.50.50.70.70.90.91.11.11.31.3凝血酶浓度(毫升)凝血酶浓度(毫升)凝凝血血时时间间(秒)(秒)线性相关？1.制散点图132.计算积差相关系数YYXXXYlllr nXXXXlXX222nYYYYlYY222nYXXYYYXXlXY14926. 015)224(336815)7 .14(81.1415/ )224)(7 .14(7 .216)()()(2211221nininiyyxxyyxxr负相关15相关系数的假设检验查表法：r界值表t检验16相关系数的假设检验-t检验建立假设，确定检验水准 H0：0，凝血酶浓度与凝血时间无直线相

5、关关系； H1：0 ，凝血酶浓度与凝血时间有直线相关关系； = 0.05。计算检验统计量： v=n-2=13 (t0.05/2,13=2.16)确定p值，下结论P0.05,拒绝拒绝H0，接受接受H1，差别有统计学意义差别有统计学意义，可认为凝血酶浓度与凝血时间之间存在线性的负相关关系。8748215629016290210022.).(.nrrsrtrr17相关系数的假设检验-查表法建立假设，确定检验水准 H0：0，凝血酶浓度与凝血时间无直线相关关系； H1：0 ，凝血酶浓度与凝血时间有直线相关关系； = 0.05。查r界值表： r =-0.926，|r|=0.926 v=n-2=13，r0.

6、05/2,13=0.514确定p值，下结论 P0.05,拒绝拒绝H0，接受接受H1，差别有统计学意义差别有统计学意义， 可认为凝血酶浓度与凝血时间之间存在线性的负相关关系。 18查表法查表法:r 界值表界值表r =-0.926, v =15-2=132 n 概率，P0.050.010.001100.5760.7080.823110.5530.6840.801120.5320.6610.780130.5140.6410.760140.4970.6230.742P0.0519线性相关分析线性相关分析画散点图：判断有无线性趋势画散点图：判断有无线性趋势计算线性相关系数：相关性大小和方向计算线性相关系

7、数：相关性大小和方向线性相关系数的假设检验：根据样本相线性相关系数的假设检验：根据样本相关系数关系数r推断总体相关系数推断总体相关系数20线性相关分析的注意事项线性相关分析的注意事项首先画散点图判断线性趋势，在计算相首先画散点图判断线性趋势，在计算相关系数和进行假设检验。关系数和进行假设检验。 线性相关要求：双变量正态分布线性相关要求：双变量正态分布要判断是否存在线性相关关系必须进行要判断是否存在线性相关关系必须进行假设检验。假设检验。两变量间相关系数有统计学意义，不代两变量间相关系数有统计学意义，不代表存在因果关系。表存在因果关系。 等级相关等级相关也称也称Spearman等级相关。等级相关

8、。u资料类型资料类型 不服从正态分布的资料不服从正态分布的资料 总体分布未知的资料总体分布未知的资料 等级资料等级资料u原理原理 利用两变量的利用两变量的秩次秩次作线性相关分析，对原变作线性相关分析，对原变量的分布不作要求，属量的分布不作要求，属非参数统计非参数统计方法。方法。例例11-4 某地研究某地研究岁急性白血病患儿的岁急性白血病患儿的血小板数与出血症血小板数与出血症状程度之间状程度之间的相关性，的相关性， 结果见表结果见表11-2，试用秩相关进行分析。，试用秩相关进行分析。 秩相关分析编秩计算lpp、lqq、lpq 计算Spearman秩相关系数或等级相关系数，用rs表示。143127

9、8650)(222npplpp1231278630)(222nqqlqq561278451)(2nqppqlpq422. 012314356qqpppqslllr负相关？负相关？Spearman秩相关系数秩相关系数说明两个变量间相关的密切程度与方向说明两个变量间相关的密切程度与方向;样本样本相关系数：相关系数：rs 总体相关系数：总体相关系数： 取值介于取值介于-11之间之间 rs 0为正相关。为正相关。s秩相关系数的假设检验查表法：rs界值表 t检验212nrSrrrsrt0秩相关系数的假设检验秩相关系数的假设检验t 检验检验2 n秩相关系数的假设检验秩相关系数的假设检验-t检验法检验法建立

10、假设，确定检验水准建立假设，确定检验水准 H0：s0，出血症状与血小板数之间无相关关系出血症状与血小板数之间无相关关系 H1：s0 ，出血症状与血小板数之间有相关关系出血症状与血小板数之间有相关关系 = 0.05计算统计量：计算统计量： r =-0.422，|r|=0.422 tr = (r-0)/sr=1.47 v=n-2=10确定确定p值，下结论值，下结论 t0.05/2,10=2.228, P0.05可认为急性白血病患儿的出血症状与血小板数之间无相关关系。可认为急性白血病患儿的出血症状与血小板数之间无相关关系。 秩相关系数的假设检验秩相关系数的假设检验-查表法查表法建立假设，确定检验水准

11、建立假设，确定检验水准 H0：s0，出血症状与血小板数之间无相关关系出血症状与血小板数之间无相关关系 H1：s0 ，出血症状与血小板数之间有相关关系出血症状与血小板数之间有相关关系 = 0.05查查rs界值表：界值表： r =-0.422，|r|=0.422 n=12，r0.05/2,12=0.587确定确定p值，下结论值，下结论 P0.05可认为急性白血病患儿的出血症状与血小板数之间无相关关系。可认为急性白血病患儿的出血症状与血小板数之间无相关关系。 秩秩相关系数的假设检验相关系数的假设检验查表法查表法rs 界值表界值表 概率，概率，Pn单0.10双 0.200.050.100.0250.0

12、5110.4270.5360.618120.4060.5030.587130.3850.4840.560140.3670.4640.538150.3540.4460.521 Pearson相关相关 Spearman秩相关秩相关区别 双变量正态分布双变量正态分布 r为参数统计量为参数统计量 偏峰分布偏峰分布 分布未知、分布未知、 等级资料等级资料 rs为非参数统计量为非参数统计量 原始数据原始数据 秩次秩次联系联系 都要求各个体间满足独立性都要求各个体间满足独立性 都用于刻画两变量间相关的方向与密切程度都用于刻画两变量间相关的方向与密切程度Pearson积差相关与积差相关与Spearman秩相关

13、的秩相关的区别区别与与联系联系a.计算线性相关系数计算线性相关系数r=0.930，你可以得出变量你可以得出变量x,y相关吗？请解释相关吗？请解释b.请画散点图请画散点图c.使用线性相关系数描述相关性合适吗？请解释使用线性相关系数描述相关性合适吗？请解释思考1r=0.930 x-3-2-10123y-27810182732线性回归研究两变量数量依存性X 自变量 (independent variable, explanatory variable) Y 因变量 (dependent variable, response variable) 直线回归模型的形式：bXaY 33回归模型的前提假设线性

14、(linear)独立(independent) 正态(normal) 等方差(equal variance) 恰好为“LINE”。 34给定X时，Y是正态分布、等方差示意图xy35给定X时，Y是正态分布、不等方差示意图xy36线性回归直线回归模型的形式：bXaY 37最小二乘法(least square estimation，LSE)基本思想：使各实测值Y与回归直线上对应的估计值 之差的平方和 为最小，在这个准则下，可导出a、b的最小二乘估计如下： Y2)(YYXXXYllXXYYXXb 2)()(XbYa估计回归参数，建立回归模型bXaY 38点到直线的纵向距离bXaY YY 1lY 2lY

15、 点到回归直线的距离为最小！39自变量反应变量40 先作散点图，以判断两变量间是否呈线性趋势凝血时间y凝血酶浓度xx.61.2131741回归系数b：98020.615)7.14(81.1415)224)(7.14(7.216)()( )(21212111niniiininiiniiiixxxynXXnYXYXllb求直线回归方程截距a：77393211571498020615224XbY.).(aXY9802. 677393.2142绘制回归直线计算不太接近的两点的Y值：X=1.1单位/毫升时 Y=21.77393-6.98021.1=14.0957(L)X=0.6单位/毫升时 Y=21.7

16、7393-6.98020.6=17.5858(L)XY9802. 677393.2143绘制回归直线图12-3 凝血酶浓度（X）与凝血时间（Y）的散点分布及拟合直线 44回归方程的意义及性质b 的意义a 的意义 的意义bXaY Y45b 的意义的意义回归系数b称为斜率(slope)，表示自变量增加一个单位时，应变量平均改变的量。 凝血酶浓度每增加凝血酶浓度每增加1 单位单位/ml,则凝血时间平均减少则凝血时间平均减少 6.9802秒秒b 的单位为 (Y的单位/X的单位)XY9802. 677393.2146a 的意义bXaY a 截距或常数项(intercept, constant)X=0 时

17、，Y的估计值a的单位与Y值相同47估计值 的意义X=1.1时, =14.0957, 即凝血酶浓度为1.1单位/ml的健康成人中，估计其平均凝血时间为14.0957秒。X=0.6时， =17.5858, 即凝血酶浓度为0.6单位/ml的健康成人中，估计其平均凝血时间为17.5858秒给定X时，Y的估计值。YYY48由凝血酶浓度x估计凝血时间y49 总体回归系数的假设检验 t检验方差分析50总体回归系数的假设检验样本回归系数 b 总体回归系数 H0：总体回归系数为0， =0， 即凝血酶浓度与凝血时间间无直线回归关系； H1：总体回归系数不为0，0； 即凝血酶浓度与凝血时间间有直线回归关系； =0.

18、05。51回归系数的 t 检验22nYYslssXYXXX.Yb 2 0 nsbtbb ，52建立假设，确定检验水准 H0: =0，即凝血酶浓度与凝血时间无直线回归关系； H1:0 ，即凝血酶浓度与凝血时间有直线回归关系； = 0.05计算检验统计量： ,v=n-2=13确定P值 t0.05/2,13=2.16 ，P0.05下结论：拒绝H0，差别有统计学意义，可认为凝血酶浓度与凝血时间存在直线回归关系，回归方程是？87. 878655. 098020. 6bbSbt总体回归系数的假设检验53回归系数与相关系数的假设检验rbtt 结果等价。54 YYYYYY222YYYYYYY的总变异分解总变异

19、SS总回归平方和SS回剩余平方和SS剩55Y的总变异分解剩回总SSSSSS 剩回总 211nn剩回总，56回归方程的假设检验-方差分析 H 0：凝血酶浓度与凝血时间无直线回归关系； H 1：凝血酶浓度与凝血时间有直线回归关系。 = 0.05。 57方差分析表 变异来源 SS v MS F 回 归 SS回 1 SS回/1 MS回/ MS剩 剩 余 SS剩 n-2 SS剩/n-2 总变异 SS总 n-158方差分析表变异来源 SS v MS F P 回 归 19.68 1 19.68 78.76 .0001 剩 余 3.25 13 0.25 总变异 22.93 14确定P值 P0.05下结论：拒绝H0，差别有统计学意义，可认为凝血酶浓度与凝血时间存在直线回归关系。回归方程是？60直线回归中三种假设检验间的关系在直线回归中，相关系数的假设检验与回归系数的假设检验结果等价。Fttbr 61线性回归中应注意的问题两变量间关系要有实际意义，不能把