空气动力学Chapter2-4

1、2.4 粘性与摩擦应力粘性：流体通过内部摩擦而阻止剪切变形的性质。弹性体的剪切应力与变形的大小相关而流体的剪切应力与其速度的梯度大小相关。如图所示：两枚光滑的平板之间充满流体。固定下侧的平板，并以速度U平行移动上方的平板。由于粘性，上下版面附近的流体附着于版面。平板间流体的速度，从下面的0 到上面的U，呈直线型变化设上下面的间隔为h，从下表面向上垂直坐标为y，则在y点的流体速度u为这样速度分布为直线的流动叫Couette flow。为速度梯度(velocity gradient)yhUu hU / 以速度移动的上侧平板受到流体的阻力平板单位面积所受到的阻力摩擦应力用来表示。实验得知，与速度梯度

2、成正比，即这里，比例系数为粘性系数。UhU前式可以通过将平板间的流体分成平行的层而广义化。将流体理想化成相互错动的重叠卡片。考虑截面A-A上的流体层，其厚度极薄，设为。这层的上下面相邻的两个层的相对速度也很小，设为。应用前式，有yuyu流体在物体表面流过时形成边界层。当边界层内流动为层流时，前面的摩擦应力法则仍然成立。如图，边界层内的速度分布不是直线型的，而是曲线型的。与垂直方向的距离y，相对应的速度u。取速度分布(velocity profile) 的极限，得牛顿的摩擦定律(newtons law of friction)(yudydu物体表面的摩擦应力速度梯度在物体表面很大。如边界层厚度为

3、，则在处速度梯度为0。00ydyduy摩擦应力在物体表面上成立的条件是流体与物体表面的相对速度为0。这个条件叫做无滑移边界条件。除了理想气体和稀薄气体外，普通的流体满足这个条件。气体的粘性系数公式萨瑟兰公式(Sutherlands formula of viscosity)为绝对温度时的粘性系数，是随气体种类而不同的常数。空气的，30200()TCTTTC00TCK4 .110CC)15(15.2880oKTsPa107932. 1502.5 流场与连续式流场(flow field)：流体流过的空间。定常流(steady flow)：流场每个点的流动状态量，即速度、压强、密度、温度等不随时间变

4、化的流动。非定常流(unsteady flow)：流场各点的状态量随时间变化的流动。随着观测的方式不同，流场可以是定常的，也可以是非定常的。例如：无风状态的大气中飞机以一定速度飞行时。直观地表现流场的方法是流线(stream line)。在某一瞬间流场各点的速度方向用小箭头表示。将小箭头连接，可形成很多曲线。流线上各点的切线和该点的速度矢量方向一致。 非定常流的流线一般随时间而变形。 定常流的流线不随时间而变形。 定常流的流体粒子流过的路径与流线一致。 非定常流的粒子路径与流线不同。流管：定常流场中的闭曲线C。通过曲线的各点的流线形成的管。流体不会横穿流管侧壁。因为如果那样，流线在侧壁上交叉或

5、分叉，在一点上流体有两个速度。 考虑一根流管，流管上的截面（垂直于流馆）的截面积为，截面上的平均速度为 。单位时间通过截面的流体的体积为。设截面上流体的密度为，则单位时间通过截面的流体质量，即流通量(mass flux)为 。1S1v11Sv1111Sv同样地，这一流管的另一个截面的流量为。流动为定常时。截面和截面之间流体的质量不随时间变化。从截面流入的流体流量与从截面流出的流体流量相等，即连续公式(continuity equation)质量守恒定律对流体运动的应用222Sv222111SvSv流体是不可压性时，因，所以这意味着，对不可压流体来讲，流管的截面积小的地方流速大，而截面积大的地方

6、流速小。从流线图上看，流线密的地方流速大，流线稀的地方流速小。212211SvSv以上公式是针对特定的截面，给出的。对于流管的任意截面，其流量等一定。设任意截面积为，平均速度为，密度为，则有对于不可压流体，有Svconst.vSconst.vS2.6 贝努利定理给出完全气体的定常流中，沿一根流线或一根细流管的速度与压强的关系。是流体运动的能量守恒定律。设流体为不可压性，密度为，压强为，流速为，水平面测量的高度为，重力加速度为，沿此流线贝努利定理(bernoullis theorem)pvhgconst.212ghvp考虑一根细流管上的，两个截面。截面上的流体经过微小时间后前进到达截面，截面上的

7、流体前进到达截面。dtdtv11dtv22按照能量守恒定律，做功与能量等价。一个系受到做功，其能量（动能、势能、内能）增加。对截面的流体，受的合压强，而有的位移，这个截面上被做功另一方面，截面上的流体逆着合压强产生的位移，因此向外做功11Spdtv1dtvSp11122Spdtv2dtvSp222面向流管的侧面的压强因为在压强方向上没有位移，所以做功为。因此，在截面、之间流体所做的功为所考虑的流体的能量在向截面、移动过程中增加。dtvSpdtvSp22211112定常流时，截面和之间的流动状态不随时间变化，这个能量的增加等于截面和两部分流体能量之差。12211流体为不可压性时，截面与之间存在连

8、续公式成立。设流体密度为，连续公式两边乘以，左边为部分流体的质量，右边为部分流体的质量。两者相等，设为，有纯做功式变为dtdtvS1111dtvS2222dmdmdtvSdtvS2211dmppdmpdmp2121考虑以上两部分的能量。可以同质点力学、刚体力学一样考虑不可压流体的力学能量。绝热的不可压完全流体，其内能不变。部分的动能为，势能为 全能为。同样，部分的全能为 ，能量的增加为e11dmv2121dmgh1dmghv)21(12122dmghv)21(222dmghvdmghv)21()21(121222使能量增加与纯做功相等，用相除，整理结果，得上式对流线上任意两个截面都成立，因此有dm222212112121ghvpghvpconst.212ghvp将式中的势能项右移，得气体情况下，小时，与其他项相比， 可以忽视。因此)(212122222211hhgvpvp12hh )(22hhg2222112121vpvp流线上的任意一点const.212vp流体中的物体，其前端成为驻点，流速为。设驻点压强为，到达该点流线的公式为为流体由于运动产生的压强，叫动压(dynamic pressure)。相对讲叫静压(static pressure)0p0221pvp221vp动压与静压的总和叫总压(total pressure)，