舍6-7 定积分的几何应用

1、一、定积分的元素法一、定积分的元素法二、平面图形的面积二、平面图形的面积第七节第七节 定积分的几何应用定积分的几何应用三、旋转体的体积三、旋转体的体积四、平行截面面积已知的四、平行截面面积已知的 立体的体积立体的体积五、小结五、小结定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题( )dbaAf xx 一、定积分的元素法一、定积分的元素法曲曲 边边 梯梯 形形 由由 连连 续续 曲曲 线线)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成。ab xyo)(xfy 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用面积表示为定

2、积分的步骤如下面积表示为定积分的步骤如下iiixfA )( iix （3）求和，得）求和，得A的近似值的近似值.)(1iinixfA （4）求极限，得）求极限，得A的精确值的精确值iinixfA )(lim10 ( )dbaf xx 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用ab xyo)(xfy 提示提示lim( )dAf xx ( )d .baf xx xdxx dA面积元素面积元素定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用当所求量当所求量U符合下列条件：符合下列条件：（3）部分量）部分量iU 的近似值可表示为的近似值可表示为iixf )( ；定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应

3、用元素法的一般步骤：元素法的一般步骤：定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法应用方向：应用方向：平面图形的面积，体积。平面图形的面积，体积。经济应用。其他应用。经济应用。其他应用。定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用xyo)(xfy ab二、平面图形的面积二、平面图形的面积xxx 如何用元素法分析？如何用元素法分析？dA？， 情形一情形一 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用xyo)(xfy ab二、平面图形的面积二、平面图形的面积xxx 如何用元素法分析？如何用元素法分析？ xxfA 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应

4、用xyo)(xfy ab二、平面图形的面积二、平面图形的面积xxx ddAfxx如何用元素法分析？如何用元素法分析？定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用xyo)(xfy ab第二步：写出面积第二步：写出面积表达式。表达式。 ( )dbaAf xx 二、平面图形的面积二、平面图形的面积xxx 如何用元素法分析？如何用元素法分析？ ddAfxx定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用Oxy,上上设在区间设在区间ba,)(的上方的上方xgy ),()(xgxf 求这两条求这两条曲线曲线及直线及直线bxax ,所围成的区域的所围成的区域的面积面积A.)(xgy )(xfy ab上上任任取取

5、一一个个在在,ba,d,xxx 的的面积元素面积元素dA为为它对应它对应 Ad xxgxfAd)()( )()(xgxf xd ab位位于于曲曲线线曲曲线线)(xfy 即即A定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用小区间小区间xxxd 例例1解解.2, 02所围成的图形面积所围成的图形面积求由求由xxyyx 画草图画草图,求两曲线交点的坐标以便求两曲线交点的坐标以便解方程组解方程组: xxyyx202交点交点).3 , 3(),0 , 0(面积元素面积元素 Ad,3 , 0 x xxxAd)3(2.2903选选 为积分变量为积分变量, xxd )2(2xx x定积分在几何学上的应用定积分在

6、几何学上的应用确定积分限确定积分限,OxyA xxxd xxxd)3(2 xxy22 0 yx)3 , 3( 解解两曲线的交点两曲线的交点)1 , 1()0 , 0(面积元素面积元素2d()dAxxx选选 为积分变量为积分变量x1 , 0 x120()dAxxx 10333223 xx.31 2xy 2yx 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用解解两曲线的交点两曲线的交点).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy选选 为积分变量为积分变量x3, 2 x,0, 2)1( x321d(6)dAxxxx,3 , 0)2( x232d(6 )dAxxxx2xy xxy6

7、3 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用于是所求面积于是所求面积21AAA 0322(6)dAxxxx 3230(6 )dxxxx .12253 说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式问题：问题：积分变量只能选积分变量只能选 吗？吗？x定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用练习xyo)(2yx cd)(1yx xyo)(yx cd观察下列图形，选择合适的积分变量求其面积：观察下列图形，选择合适的积分变量求其面积：考虑选择考虑选择x为积分变量，如何分析面积表达式？为积分变量，如何分析面积表达式？ 情形二情形二 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上

8、的应用( )ddcAyy xyo)(2yx cd)(1yx xyo)(yx cd21( )( )ddcAyyy yyy yyy 观察下列图形，选择合适的积分变量：观察下列图形，选择合适的积分变量：考虑选择考虑选择y为积分变量，如何分析面积表达式？为积分变量，如何分析面积表达式？ 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用由曲线由曲线)()(ygyf 和直线和直线dycy ,所围成的区域的所围成的区域的面积面积A.上上任任取取一一个个在在,dc,d,yyy 的的面积元素面积元素dA为为它对应它对应 yygyfAd)()(d yygyfAd)()(cd)(ygx )(yfx yyyd )(),(

9、ygxyfx cdA定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用小区间小区间Oxy解解两曲线的交点两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxy选选 为积分变量为积分变量y4, 2 y2d4d2yAyy42d18.AA xy22 4 xy定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程 tbytaxsincos由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积04daAy x 204sin d( cos )btat 2204sindabt t .ab 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用分成若干块上面讨论过的那两种区域

10、分成若干块上面讨论过的那两种区域,只要分别只要分别一般情况下一般情况下,由曲线围成的有界区域由曲线围成的有界区域,总可以总可以算出每块的面积再相加即可算出每块的面积再相加即可.(2)(1)(1)(2)定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用 旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆圆柱柱三、旋转体的体积三、旋转体的体积(volume of body)（1）定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用圆圆锥锥圆圆台台三、旋转体的体积三、旋转体的体积(volume of body)

11、（3）（2）定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用)(xfy ba,bax Vdxxd 旋转体的体积旋转体的体积xxfVd)(2 采用元素法采用元素法如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线),(xfy 直线直线bxax ,及及 x 轴所围成的轴所围成的曲边梯形绕曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的立体轴旋转一周而成的立体,体积为多少体积为多少?取取积分变量为积分变量为x,上任取小区间上任取小区间在在,ba,d,xxx xd以以为底的为底的小曲边梯形小曲边梯形绕绕 x 轴轴旋转而旋转而成的薄片的成的薄片的体积元素体积元素 2)(xfxdab（1）定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用

12、Oxyx解解1 , 0 x.1 , 02轴旋转形成的体积轴旋转形成的体积上绕上绕在在求求xxy xyVdd2 体积元素体积元素xx d4 dxxV4 xxfVd)(d2 例例6取取积分变量为积分变量为x,5 01oxy12xy 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用yyVd)(2 )(yx 如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线),(yx dycy ,及及 y 轴所围成的轴所围成的曲边梯形绕曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体轴旋转一周而成的立体, 体积为多少体积为多少?(2)直线直线 Vd体积元素体积元素 2)(y yd旋转体的体积旋转体的体积cd定积分在几何学上的应用定积分在几何

13、学上的应用Oxycd),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxydxxVx210)( 2xy 2yx 22xyyxxy例7：求由抛物线和所围成的图形绕 轴、 轴旋转所成立体的体积。1052)5121(xx 103)5121( 解：两曲线的交点为：解：两曲线的交点为：dxx2102)( 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用Oxya 2解解 xV 20323d)coscos3cos31(tttta.532a *例例8 求摆线求摆线的的一拱一拱与与y=0所围成的所围成的图形分别绕图形分别绕x轴、轴、y轴旋转而成的轴旋转而成的旋转体的体积旋转体的体积.绕绕 x轴轴旋转的旋转体体积旋转的旋转

14、体体积 xxyd)(2 0a 2)sin(ttax 变量代换变量代换0 20a 2定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用ttad)cos1( 22)cos1(ta )cos1(),sin(tayttax Oxya 2a a2o yVyyxd)(21 )(2yxx .633a 绕绕 y轴轴旋转的旋转体体积旋转的旋转体体积ABC可看作平面图形可看作平面图形OABC与与OBC分别绕分别绕 y轴轴旋转构成的旋转旋转构成的旋转体的体积之差体的体积之差.BCoyyxd)(22 )cos1()sin(tayttax摆线摆线22)sin(tta ttadsin 2 22)sin(tta ttadsin

15、00)(Aa2)(B0)(Oa2)(B定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用 203223d)sinsin2sin(tttttta)(1yxx 2023dsin)sin(tttta轴轴所所围围成成图图形形绕绕和和求求抛抛物物线线yxyxy 2.旋旋转转所所得得旋旋转转体体的的体体积积解解 两曲线的交点为两曲线的交点为).1 , 1()0 , 0(和和绕绕y轴旋转轴旋转 V 1022d)(yy 2xy xy 1yyd)(102 103 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用)1 , 1( xyO 104d)(yyy 补充补充2|( )|dbyaVxf xx 利用这个公式，可知上例中利

16、用这个公式，可知上例中 2222002002202cosd2d sin2 sin2sin d2cos2Vxxxxxxxx xx 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用旋转体体积公式旋转体体积公式( ),yf xayxxbxx由由曲曲线线，直直线线及及 轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕轴轴旋旋转转一一周周所所成成的的立立体体体体积积分分别别为为2 ( )bxaVf xdx 2( )byaVxf x dx ( ),xg ycyyydyx由由曲曲线线，直直线线及及 轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕轴轴旋旋转转一一周周所所成成的的立立体体体体积积分分别别为为2( )dxcVyg

17、y dy 2 ( )dycVg ydy 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用四、平行截面面积为已知的立体的体积四、平行截面面积为已知的立体的体积上垂直于一定轴的各个截面面积上垂直于一定轴的各个截面面积,xxAVd)(d .d)( xxAV立体体积立体体积如果一个立体不是旋转体如果一个立体不是旋转体,但却知道该立体但却知道该立体的体积也可用定积分来计算的体积也可用定积分来计算.那么那么,这个立体这个立体)(xA表示过点表示过点x且垂直于且垂直于x轴的轴的截面面积截面面积,)(xA为为x的已知连续函数的已知连续函数.采用元素法采用元素法体积元素体积元素ba定积分在几何学上的应用定积分在几何

18、学上的应用a xbxxd xOx)(xA解解 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程底圆方程222Ryx x,22xRy ,tan22 xRh 例例9 一平面经过半径为一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角并与底面交成角, 计算这平面截圆柱体所得计算这平面截圆柱体所得立体的体积立体的体积.垂直于垂直于x轴的截面为直角三角形轴的截面为直角三角形.底边底边高高 截面面积截面面积,tan)(21)(22 xRxA 立体体积立体体积.tan323 R 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用hxxRdtan)(2122 R baxxAVd)(02RR Oxyh V解解

19、 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为222Ryx 截面面积截面面积 )(xA立体体积立体体积xxRhVRRd22 hR221 垂直于垂直于x轴的截面为等腰三角形轴的截面为等腰三角形例例10 yh22xRh 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用求以求以半径为半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积的正劈锥体的体积.xOxyR五、小结定积分的元素法定积分的元素法平面图形的面积平面图形的面积旋转体的体积旋转体的体积平行截面面积已知的立体的体积平行截面面积已知的立体的体积()dbaVA xx 2 ( ) dba

20、Vf xx 2 ( ) ddcVyy 21( )( )dbaAfxfxx 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用思考题思考题1 设曲线设曲线)(xfy 过原点及点过原点及点)3 , 2(，且，且)(xf为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与与x轴和曲线轴和曲线)(xfy 围成的面积是另一条平围成的面积是另一条平行线与行线与y轴和曲线轴和曲线)(xfy 围成的面积的两围成的面积的两倍，求曲线方程倍，求曲线方程.定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用思考题思考题1

21、解答解答1S2Sxyo)(xfy ),(yx122SS 20( )dxSf xx 120( )dxSxySxyf xx 00( )d2( )d xxf xxxyf xx 03( )d2,xf xxxy 两边同时对两边同时对 求导求导x定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用yxyxf 22)(3yyx 2积分得积分得,2cxy 因因为为曲曲线线)(xfy 过过点点)3 , 2(29 c,292xy 因因为为)(xf为为单单调调函函数数所以所求曲线为所以所求曲线为.223xy 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用思考题思考题2 求求曲曲线线4 xy，1 y，0 x所所围围成成的的图图形形绕绕y