matlab4符号运算

1、第4讲 符 号 运 算 教学目标 教学重点 教学过程教学目标 本章将介绍MATLAB 7的符号运算功能。 通过对本章的学习，读者应该掌握符号表达式和符号矩阵的操作、符号微积分、符号线性方程和符号微分方程等的运算。教学重点 符号表达式和符号矩阵的操作 符号微积分 符号线性方程 符号微分方程教学过程 符号变量、符号表达式和符号方程的生成 符号变量的基本操作 符号表达式的操作 符号矩阵及符号数组的生成和运算 符号极限基本知识 符号微分、求导和积分 符号积分变换的内容 符号代数方程的求解 图示化符号函数计算器的使用方法1. 符号变量、符号表达式和符号方程的生成 使用sym函数定义符号变量和符号表达式

2、使用syms函数定义符号变量和符号表达式 符号方程的生成 (1) 使用sym函数定义符号变量和符号表达式 sqrt(2) ans = 1.4142 a=sqrt(sym(2) a = 2(1/2) sym(2)/sym(5) ans = 2/5 2/5+1/3 ans = 0.7333(2) 使用syms函数定义符号变量和符号表达式 syms a b c x f = sym(a*x2 + b*x + c) f = a*x2 + b*x + c g=f2+4*f-2 g = (a*x2+b*x+c)2+4*a*x2+4*b*x+4*c-2 (3) 符号方程的生成 %符号方程的生成 %使用sym函

3、数生成符号方程 equation1=sym(sin(x)+cos(x)=1) equation1 = sin(x)+cos(x)=1 2.符号变量的基本操作 findsym函数用于寻找符号变量 任意精确度的符号表达式 数值型变量与符号型变量的转换形式 (1) findsym函数用于寻找符号变量 syms a alpha b x1 y findsym(alpha+a+b) ans = a, alpha, b findsym(cos(alpha)*b*x1 + 14*y,2) ans = x1,y findsym(y*(4+3*i) + 6*j) ans = y findsym(sym(4+3i)

4、 + 6j)(2) 任意精确度的符号表达式 r=vpa(pi) %缺省32位有效数字 r = 3.1415926535897932384626433832795 q=vpa(hilb(2) q = 1., .50000000000000000000000000000000 .50000000000000000000000000000000, .33333333333333333333333333333333 (3)数值型变量与符号型变量的转换形式 t=0.1 t = 0.1000 sym(t) %有理数形式 ans = 1/10 sym(t,r) %有理数形式 ans = 1/10 sym(t

5、,f) %浮点数形式 ans = 1.999999999999a*2(-4)3. 符号表达式(符号函数)的操作 符号表达式的四则运算 合并符号表达式的同类项 符号多项式的因式分解 符号表达式的简化 subs函数用于替换求值 反函数的运算 复合函数的运算 (1) 符号表达式的四则运算 syms x y a b fun1=sin(x)+cos(y) fun1 = sin(x)+cos(y) fun2=a+b fun2 = a+b fun1+fun2 ans = sin(x)+cos(y)+a+b fun1*fun2 ans = (sin(x)+cos(y)*(a+b)(2) 合并符号表达式的同类项

6、 syms x y collect(x2*y + y*x - x2 - 2*x) ans = (y-1)*x2+(y-2)*x f = -1/4*x*exp(-2*x)+3/16*exp(-2*x); collect(f) ans = -1/4*x*exp(-2*x)+3/16*exp(-2*x) (3) 符号多项式的因式分解(horner ) syms x fun1=2*x3+2*x2-32*x+40 fun1 = 2*x3+2*x2-32*x+40 factor(2*x3+2*x2-32*x+40) ans= 2*(x+5)*(x-2)2 horner(fun1) ans = 40+(-3

7、2+(2+2*x)*x)*x fun2=x3-6*x2+11*x-6 fun2 = x3-6*x2+11*x-6 horner(fun2) ans = -6+(11+(-6+x)*x)*x(4) 符号表达式的简化(simplify) syms x fun1=(1/x+7/x2+12/x+8)(1/3) fun1 = (13/x+7/x2+8)(1/3) sfy1=simplify(fun1) sfy1 = (13*x+7+8*x2)/x2)(1/3) sfy2=simplify(sfy1) sfy2 = (13*x+7+8*x2)/x2)(1/3) (5) subs函数用于替换求值 syms

8、x y f = x2*y + 5*x*sqrt(y) f = x2*y+5*x*y(1/2) subs(f, x, 3) ans = 9*y+15*y(1/2) subs(f, y, 3) ans = 3*x2+5*x*3(1/2) (6) 反函数的运算 (finverse ) syms x y f = x2+y f = x2+y finverse(f, y) ans = -x2+y (7) 复合函数的运算 (compose) syms x y z t u f = 1/(1 + x2) g = sin(y) h = xt p = exp(-y/u) compose(f,g) % f(g(x)

9、ans = 1/(1+sin(y)2) compose(f,g,t) ans = 1/(1+sin(t)2)4. 符号矩阵的生成和运算 符号矩阵的生成 使用sym函数直接生成符号矩阵 用生成子矩阵的方法生成符号矩阵 由数值矩阵转换为符号矩阵 符号矩阵及符号数组的运算 符号矩阵和数组的四则运算 矩阵和数组的逆运算 矩阵和数组的幂运算 符号矩阵的秩 符号矩阵的逆和行列式运算 （1）sym函数直接生成符号矩阵 a1=sym(1/3 2/3 5/7;9/11 11/13 13/17;17/19 19/23 23/29) a1 = 1/3, 2/3, 5/7 9/11, 11/13, 13/17 17/

10、19, 19/23, 23/29 （2） 用生成子矩阵的方法生成符号矩阵 a=100,cos(x);1/s,x a = 100,cos(x) 1/s,x （3）由数值矩阵转换为符号矩阵 M=30 1 1 1;6 1 5 9;9 8 25 4;32 45 62 0 M = 30 1 1 1 6 1 5 9 9 8 25 4 32 45 62 0 S=sym(M) S = 30, 1, 1, 1 6, 1, 5, 9 9, 8, 25, 4 32, 45, 62, 0 此时，虽然矩阵形式没有发生改变，但是在MATLAB 7的工作区间内，系统已经生成了一个新的矩阵，其数据类型为符号型。 （4）符号矩

11、阵的四则运算 m=sym(x,x2,x*2,1/x) m = x, x2, x*2, 1/x n=sym(2*x,y,x,x2) n = 2*x, y, x, x2 m+n ans = 3*x, x2+y, 3*x, 1/x+x2 m-n ans = -x, x2-y, x, 1/x-x2 （5） 矩阵和数组的转置运算 () syms x y z w a b c d q = 3, 4, 9, 6; x, y, z, w; a, b, c, d q ans = 3, conj(x), conj(a) 4, conj(y), conj(b) 9, conj(z), conj(c) 6, conj(

12、w), conj(d) (6) 符号矩阵的秩 (rank) a=sym(1,1/x,x2;sin(x),cos(x),tan(x);log(x),2,9) a = 1, 1/x, x2 sin(x), cos(x), tan(x) log(x), 2, 9 rank(a) ans = 3 5. 符号微积分 符号极限 (limit) 符号微分和求导 diff函数的使用 jacobian函数的使用 符号积分( int) (1) 符号极限 (limit) limit(F,x,a,right) or limit (F,x,a,left) syms x a t h; limit(sin(x)/x) an

13、s = 1 limit(x-2)/(x2-4),2) ans = 1/4 limit(1+2*t/x)(3*x),x, inf, left) ans = exp(6*t)(2) jacobian函数的使用 syms x y z a=x2+x*y;sin(x)*cos(y) a = x2+x*y sin(x)*cos(y) jacobian(a,x,y) ans = 2*x+y, x cos(x)*cos(y), -sin(x)*sin(y) 求f=xyz的Hessian矩阵 （1） FH1=maple(hessian(x*y*z,x,y,z);) FH1 = matrix(0, z, y, z

14、, 0, x, y, x, 0) （2） FH2=maple(hessian,x*y*z,x,y,z) FH2 = matrix(0, z, y, z, 0, x, y, x, 0) （3） FH=sym(FH2) FH = 0, z, y z, 0, x y, x, 0 diff(f) 对缺省变量求微分 diff(f,v) 对指定变量v求微分 diff(f,v,n) 对指定变量v求n阶微分 int(f) 对f表达式的缺省变量求不定积分 int(f,v) 对f表达式的v变量求不定积分3. 符号微积分 int(f,a,b) 返回f对预设独立变量的积分值，积分区间为（a,b）； int(f,v,a

15、,b) 对f表达式的v变量在（a,b) 区间求定积分 a和b为数值式或符号式。 缺省时为不定积分 否则为定积分缺省时为缺省变量int（被积表达式，积分变量，积分下限， 积分上限） syms t int(2*y, sin(t), 1) ? Function sin is not defined for values of class char. int(2*y, sin(t), 1) ans =1-sin(t)2 int(2*y, g, 1) ans = 1-g2 例1.计算二重不定积分dxdyxexyF=int(int(x*exp(-x*y),x),y)F= 1/y*exp(-x*y) sym

16、s x y F=int(int(x*exp(-x*y), x), y) F = 1/y*exp(-x*y)6.符号积分变换 Fourier变换及其逆变换 Fourier变换 (fourier ) Fourier变换的逆变换 (ifourier ) Laplace变换及其逆变换 Laplace变换 (laplace ) Laplace逆变换(ilaplace ) Z变换及其反变换 Z变换(ztrans ) Z的逆变换(iztrans ) (1) Fourier变换的实现 syms t v w x fourier(1/t) ans = i*pi*(Heaviside(-w)-Heaviside(w

17、) fourier(exp(-x2),x,t) ans = pi(1/2)*exp(-1/4*t2) fourier(exp(-t)*sym(Heaviside(t),v) ans = 1/(1+i*v)(2) Z变换的实现 syms k n w z ztrans(2n) ans = 1/2*z/(1/2*z-1) ztrans(sin(k*n),w) ans = w*sin(k)/(w2-2*w*cos(k)+1) ztrans(cos(n*k),k,z) ans = (z-cos(n)*z/(z2-2*z*cos(n)+1)7. 符号代数方程的求解 符号线性方程组的求解 符号非线性方程组的

18、求解 一般符号代数方程组的求解 solve(f, x) 求一个方程的解 如果f不含等号，则解f=0。 得到数值解：double, numeric 如果是周期方程，只给出解的子集。 解方程组 （n个方程）solve(f1,f2, fn) solve(f1,f2,fn,x,y)符号方程组的求解举例 使用solve函数求解一般的符号代数方程组 x,y = solve(x2 + x*y + y = 3,x2 - 4*x + 3 = 0) x = 1 3 y = 1 -3/2 例1. f = ax2+bx+c 求解f=a*x2+b*x+c; solve(f) 对缺省变量x求解ans =1/2/a*(-b

19、+(b2-4*a*c)(1/2)1/2/a*(-b-(b2-4*a*c)(1/2)计算机格式aacbb242一般格式解方程组 也用solve 返回一个struct, 或 数据组(如x,y= solve) struct 变量是不能直接显示内容的 要显示其值，使用sAns.x, sAns.y。f=solve(x+y+z=1,x-y+z=2,2*x-y-z=1)f = x: 1x1 sym f.x ans =2/3 y: 1x1 sym f.y ans =-1/2 z: 1x1 sym f.z ans =5/6 x,y,z=solve(x+y+z=1,x-y+z=2,2*x-y-z=1) x = 2/3 y =-1/2 z =5/65. 符号微分方程求解用一个函数可以方便地得到微 分方程的符号解符号微分方程求解指令：dsolve命令格式：dsolve(f,g) f 微分方程，可多至12个微分方程的求 解；g为初始条件 默认自变量为 x,可任意指定自变量t, u等 微分方程的各阶导数项以大写字母D表示 ，D表示微分，D2、D3表示二阶、三