2019-2020学年北京昌平区九年级上期末数学试卷

1、2019-2020学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1. .（2分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A.长方体B,圆锥C.圆柱D.三棱柱2. （2分）已知/A是锐角，tanA=1,那么/A的度数是（）A.15°B,30°C.45°D,60°3. （2分）随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（）4. （2分）如图，AB为。O的直径，弦CDLAB于点E,连接A

2、C,OC,OD,若/A=20°,则/COD的度数为（）A.40°B,60°C.80°D,100°5. （2分）在平面直角坐标系中，点A,B坐标分别为（1,0）,（3,2）,连接AB,将线段AB平移后得到线段A'B',点A的对应点A'坐标为（2,1）,则点B'坐标为（A.(4,2)B.(4,3)C.(6,2)D.(6,3)6. （2分）二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，若点A（0,yi）和B（3,y2）在此函数图象上，则yi与y2的大小关系是（）A.yi>y2B.yivy2C.yi=y2D.无法确定7

3、. （2分）如图所示的网格是正方形网格，图中ABC绕着一个点旋转，得到A'B'C',点C的对应点C'所在的区域在i区X区中，则点C'所在单位正方形的区域是（）111111111111j>十,1111111111111111L1_L一1111，>B11111!/!11区:山11111:2区11111111|111rl|_罔产t厂厂幅I111»11111-1111111111111L-111111111L一二L一，一一一一11111L11JA.i区B.2区C.3区D.4区8. （2分）如图，抛物线y=-x2+2x+m交x轴于点A（a,0

4、）和B（b,0）,交y轴于点C,抛物线的顶点为D,下列四个结论：点C的坐标为（0,m）;当m=0时，ABD是等腰直角三角形；若a=-i,则b=4;抛物线上有两点P（xi,yi）和Q（x2,y2）,若xiivx2,且xi+x2>2,则yi>y2.其中结论正确的序号是（）A.B.C.D.二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）9. （2分）已知抛物线y=x2+c,过点（0,2）,则c=.10. （2分）如图，已知正方形OABC的三个顶点坐标分别为A（2,0）,B（2,2）,C（0,2）,若反比例函数y（k>0）的图象与正方形OABC的边有交点，请写出一个符合条件的k值.10

5、CABCD内接于。O,。的半径为6,则杷的长为12.（2分）如图，在ABC中,/C=90°,ZA=a,AC=20,请用含a的式子表示BC的长13. （2分）如图，RA,PB是。的切线，切点分别是点A和B,AC是。的直径.若/P=60°,RA=6,则BC的长为.14. （2分）平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别是A（2,4）,B（3,0）,在第一象限内以原点O为位似中心,A'的坐标为且CD=10m,则这段弯路所在圆的半径为AB,点O是这段弧所在圆的圆心，AB=40m,点C是郎的中点,M和点N,线段MN经过平移得到线16. （2分）如图，抛物线y=x2+2x+2和抛物

6、线y=x2-2x-2的顶点分别为点段PQ,若点Q的横坐标是3,则点P的坐标是,MN平移到PQ扫过的阴影部分的面积是、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）xtan60°-sin245°18.(5分)如图，在RtABC中,Z0=90°,tanA=,BC=2,求AB的长.32x+3.19.(1)将二次函数化成y=a(x-h)2+k的形式;(2)在平面直角坐标系中画出y=-x2-2x+3的图象;(3)结合函数图象，直接写出y>0时x的取值范围.20.(5分)下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程.已知：。及。外一点P.17. （5分）计

7、算：sin30°+2cos60°求作：直线RA和直线PB,使PA切。O于点A,PB切。O于点B.作法：如图，连接OP,分别以点O和点P为圆心，大于/OP的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M,N;连接MN,交OP于点Q,再以点Q为圆心，OQ的长为半径作弧，交。于点A和点B;作直线PA和直线PB.所以直线PA和PB就是所求作的直线.根据小东设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)（2）完成下面的证明.证明：OP是。Q的直径,/OAP=/OBP=°()(填推理的依据)PAXOA,PBXOB.OA,OB为。的半径,一一一一21. （5分）如图，

8、A,B,C是。上的点，sinA=,半径为5,求BC的长.22. （5分）课堂上同学们借助两个直角三角形纸板进行探究，直角三角形纸板如图1所示，分别为RtABC和RtDEF,其中/A=/D=90°,AC=DE=2cm.当边AC与DE重合，且边AB和DF在同一条直线上时：（1）如图2在下边的图形中，画出所有符合题意的图形;（2）求BF的长.四、解答题（共4道小题，每小题6分，共24分）当今大跨度桥梁大多采用此种结构.此种桥梁各结构23. （6分）材料1:如图1,昌平南环大桥是经典的悬索桥,的名称如图2所示，其建造原理是在两边高大的桥塔之间,悬挂着主索，再以相应的间隔，从主索上设置竖直的吊

9、索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，主索几何形态近似符合抛物线.材料2:如图3,某一同类型悬索桥，两桥塔AD=BC=10m,间距AB为32m,桥面AB水平，主索最低点为点P,点P距离桥面为2m；甲同学：以DC中点为原点，DC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系;乙同学：如图5,以AB中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系;丙同学：以点P为原点，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系.(1)请你选用其中一位同学建立的平面直角坐标系，写出此种情况下点C的坐标，并求出主索抛物线的表达式；(2)距离点P水平距离为4m和8m处的吊索共四条需要更换，则四根吊索总长度为多少米？24. (

10、6分)如图，AB是。O的直径，点C是圆上一点，点D是半圆的中点，连接CD交OB于点E,点F是AB延长线上一点，CF=EF.(1)求证：FC是。的切线；-25. (6分)如图1,处是直径AB所对的半圆弧，点P是AB与直径AB所围成图形的外部的一个定点，AB=8cm,点C是A5上一动点，连接PC交AB于点D.小明根据学习函数的经验，对线段AD,CD,PD,进行了研究，设A,D两点间的距离为xcm,C,D两点间的距离为yicm,P,D两点之间的距离为y2cm.程，请补充完整:x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小明的探究过(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了yi,y2与X的

11、几组对应值:x/cm0.001.002.003.003.204.005.006.006.507.008.00yi/cm0.001.042.093.113.304.004.413.462.501.530.00y2/cm6.245.294.353.463.302.642.00m1.802.002.65补充表格；(说明：补全表格时，相关数值保留两位小数)(2)如图2,在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，并画出函数y2的图象:(3)结合函数图象解决问题：当AD=2PD时，AD的长度约为.26. (6分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A,将

12、点A向右平移2个单位长度，得到点B,点B在抛物线上.(1)直接写出抛物线的对称轴是;用含a的代数式表示b;(2)横、纵坐标都是整数的点叫整点.点A恰好为整点，若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内(不含边界)恰有1个整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围.五、解答题(共2道小题，每小题7分，共14分)27. (7分)已知等边ABC,点D为BC上一点，连接AD.(1)若点E是AC上一点，且CE=BD,连接BE,BE与AD的交点为点P,在图(1)中根据题意补全图形，直接写出/APE的大小；(2)将AD绕点A逆时针旋转120°,得到AF,连接BF交AC于点Q,在图(2)中

13、根据题意补全图形，用等式表示线段AQ和CD的数量关系，并证明.图1图228. (7分)对于平面直角坐标系xOy中，已知点A(-2,0)和点B(3,0),线段AB和线段AB外的一点P,给出如下定义：若45°W/APBW90。时，则称点P为线段AB的可视点，且当PA=PB时，称点P为线段AB的正可视点.(1)如图1,在点Pi(3,6),P2(-2,-5),P3(2,2)中，线段AB的可视点是;若点P在y轴正半轴上，写出一个满足条件的点P的坐标：.(2)在直线y=x+b上存在线段AB的可视点，求b的取值范围；(3)在直线y=-x+m上存在线段AB的正可视点，直接写出m的取值范围.01备用图

14、2019-2020学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1 .【解答】解：俯视图是三角形的，因此这个几何体的上面、下面是三角形的，主视图和左视图是长方形的，且左视图的长方形的宽较窄，因此判断这个几何体是三棱柱，故选：D.2 .【解答】解：.一/A是锐角，tanA=1,A的度数是：45°.故选：C.3 .【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误.故选：B.4 .【

15、解答】解：二弦CDXAB, .昨嗝 ./BOD=/BOC=2/A=2X20°=40°, ./COD=40°+40°=80°.故选：C.5 .【解答】解：:A（1,0）平移后得到点A'的坐标为（2,1）,向右平移1个单位，向上平移了1个单位，B（3,2）的对应点坐标为（4,3）,故选：B.6 .【解答】解：点A（0,y1）和B（-3,平）在抛物线对称轴x=-2的两侧，且点A比点B离对称轴要远，因此y1>y2,故选：A.7 .【解答】解：如图，连接AA'、BB',分另I作AA'、BB'的中垂线，两直线的

16、交点P即为旋转中心，rIIr.IIJIJiiii(11111111m1"I4J-1-V-iJ-,iiiiiiiiic1/ijIii-=liii一iii中R.V<L11_l.111区I1I1花、,i1_宅L1i2区i*”iJ>s,1,一一i1t1rir-Ii一1I1L11户区；产；¥；-1-t1-1i-t-1：<：,“尸'|11r.i11-111一一一一一4一一.一一一|一一一T一4一一"I"一-I11J1111111111i1i,11工i11由图可知，线段AB和点C绕着P点逆时针旋转90°,.点C逆时针旋转90。后所得

17、对应点C'落在4区，故选：D.8 .【解答】解：抛物线与y轴的交点坐标为（0,m）,.C（0,m）,故正确；当m=0时，抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（0,0）、（2,0）,对称轴方程为x=1,.ABD是等腰直角三角形，故正确；当a=-1时，抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1,0）,:对称轴x=1,另一个交点坐标为（3,0）,b=-3,故错误；观察二次函数图象可知：当x11vx2,且x1+x2>2,则y1>y2.故正确.故选：C.、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）9 .【解答】解：,抛物线y=x2+c,过点（0,2）,0+c=2,c=2,故答案为：2.10 .【

18、解答】解：二反比例函数y=（k>0）的图象与正方形OABC的边有交点,把B（2,2）代入y=K得，k=4,，满足条件的k值的范围是0vkw4,故k=1（答案不唯一），故答案为：k=1（满足条件的k值的范围是0vkw4）.11 .【解答】解：连接OB,OC,则OC=OB=6,/BOC=90°,箴的弧长为上上兀X6=3兀,10故答案为3兀.12 .【解答】解：在ABC中，/0=90°,tanA=所以BC=ACtanA=20tana.故答案为20tan”.13【解答】解：连接AB,FA,PB是。O的切线,FA=FB,./P=60°,.FAB为等边三角形，AB=FA

19、=6,/FAB=60°,.FA是。O的切线，CAB=30°,AC是。O的直径，./ABC=90°,在RtABC中，BC=AB?tan/CAB=6X迪=271，3故答案为：2<3.ApC14 .【解答】解：以原点O为位似中心，把OAB缩小为原来的y,A(2,4),.A的对应点A'的坐标为(2X,4X)，即(1,2),22故答案为：(1,2).15 .【解答】解：:OCXAB,AD=DB=20m,在RtAAOD中，OA2=OD2+AD2,设半径为r得：r2=(r-10)2+202,解得：r=25m,.这段弯路的半径为25m.故答案为：25.16 .【解答

20、】解：如图，连接PM,QN,MQ、PN.由y=x2+2x+2=(x+1)2+1,y=x22x2=(x1)2-3,知M(1,1),N(1,-3). 点Q的横坐标是3,点Q在抛物线y=x2-2x-2上， .y=32-2X3-2=1.Q(3,1). 线段MN先向上平移4个单位，然后向右平移2个单位得到线段PQ. 点P的坐标是(1,5),PNXMQ,且PN与MQ相互平分,，平行四边形PMNQ是菱形.根据平移的性质知，S阴影部分=S菱形PMNQ=PN?MQ=_1_X4X8=16.三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17 .【解答】解：sin30°+2cos60°xtan60

21、°-sin245=4+2乂,：如一（亨）2,=V318 .【解答】解：二.在RtABC中，/C=90°,.AB2=AC2+BC2=40,，AB=2V10.19 .【解答】解：（1）y=x22x+3=-(x2+2x+1-1)=-(x+1)2+4；（2）抛物线的顶点坐标为（-1,4）,y轴的交点坐标为（0,3）;当x=0时，y=-x2-2x+3=3,则抛物线与(1,0)；当y=0时，-x2-2x+3=0,解得xi=1,x2=-3,则抛物线与x轴的交点坐标为（-3,0）,如图,证明：OP是。Q的直径，/OAP=/OBP=90°（直径所对的圆周角是直角），PAXOA,PB

22、XOB.OA,OB为。的半径，PA,PB是。O的切线.故答案为90,直径所对的圆周角是直角.21.【解答】证明：方法I:连接OB,OC,过点O作ODLBC,如图1 .OB=OC,且ODLBC,ZBOD=ZCOD=1/BOC,2 /A=AzBOC,2 .ZBOD=ZA,sinA=sinZBOD=-1-, .在RtABOD中， sinZBOD=-1,OB5 .OB=5,BD=4,55BD=CD,BC=8.方法n：作射线BO,交。O于点D,连接DC,如图2.BD为。O的直径,ZBCD=90, ZBDC=ZA,4sinA=sinZBDC=,5 .在RtABDC中，RCA.sinZBDC=,BD5 .O

23、B=5,BD=10,.BC4.-=,105BC=8.22.【解答】解：（1）补全图形如图:(2)情况I,如图1: .在RtAACF中，/F=ZACF=45°,AF=AC=2cm. .在RtAACB中，/B=30°,BC=4,AB=23BF=(23+2)cm.情况n,如图2： .在RtAACF中，/F=ZACF=45°,AF=AC=2cm. .在RtAACB中，/B=30°,BC=4,AB=2VS.BF=(23-2)cm.四、解答题(共4道小题，每小题6分，共24分)23.【解答】解：当选择甲同学的坐标系时，(1)由图可知，点C的坐标为(16,0),设抛物

24、线的表达式为y=ax2+c(aw。)，由题意可知，C点坐标为（16,0）,P点坐标为（0,-8）,f215乂舒广。、cT，主索抛物线的表达式为y=x2-8;32(2)x=4时，y=!X42328=此时吊索的长度为2m,2同理，x=8时，y=X82-8=-6,此时吊索的长度为10-6=4(m),由抛物线的对称性可得，x=-4时，此时吊索的长度也为x=-8时，此时吊索的长度也为4m,豆+旦+4+4=13（米），22四根吊索的总长度为13米.当选择乙同学的坐标系时,（1）由图可知，点C的坐标为（16,10）,设抛物线的表达式为y=ax2+c（aw。），由题意可知，C点坐标为（16,10）,P点坐标为

25、（0,2）c=2解得行/.，主索抛物线的表达式为y=匚x2+2；32(2)x=4时，y=±*42+2=32,此时吊索的长度为m,m,2由抛物线的对称性可得，x=-4时，此时吊索的长度也为同理，x=8时，y=A-x2+2=4,此时吊索的长度为4m,x=-8时，此时吊索的长度也为4m,（米），四根吊索的总长度为13米.当选择丙同学的坐标系时，（1）由图可知，点C的坐标为（16,8）,设抛物线的表达式为y=ax2（aw0）162xa=8,解得a=-L,32，主索抛物线的表达式为y=Lx2；32(2)x=4时，y=X42=J,此时吊索的长度为工十7=»(m),322242由抛物线的

26、对称性可得，x=-4时，此时吊索的长度也为m,2同理，x=8时，y=X82=2,此时吊索的长度为2+2=4(m),x=-8时，此时吊索的长度也为4m,+4+4=13(米),四根吊索的总长度为13米.24.【解答】(1)证明：如图，连接OD.点D是半圆的中点, ./AOD=ZBOD=90°, ./ODC+/OED=90°, OD=OC, ./ODC=ZOCD.又CF=EF, ./FCE=ZFEC. ./FEC=ZOED, ./FCE=ZOED. ./FCE+/OCD=/OED+/ODC=90°,即FC±OC,FC是。O的切线；(2)解：tanA=, 在RA

27、BC中，=,AC2 ./ACB=ZOCF=90°, ./ACO=ZBCF=ZA, ACFACBF,-BF=CF=BC=1CFAFAC2.AF=10,.-，cf2=bf?af.BF=225.【解答】解：（1）通过取点、画图、测量，可得m=1.73,（2）如图（3）.当AD=2PD,PD=AD,2AD=4.54,在（2）中图象中作出y=/x的图象，并测量两个函数图象交点得:故答案为：4.54.26.【解答】解：（1）.一A与B关于对称轴x=1对称，抛物线对称轴为直线x=1,故答案为直线x=1;:抛物线y=ax?+bx+c与y轴交于点A,A(0,c)点A向右平移2个单位长度，得到点B(2,

28、c),点B在抛物线上，4a+2b+c=c,.b=-2a.(2)方法一：如图1,若a>0,-A(0,c),B(2,c),，区域内(不含边界)恰有1个整点D的坐标为(1,c-1),则理另一个整点E(1,c-2)不在区域内,:把x=1代入抛物线yuaW+bx+c得y=a+b+c=-a+c,根据题意得解得i<a<2,如图2,若a<0,同理可得、，解得-2wav-1综上，符合题意的a的取值范围为-2wav-1或1<a02.方法二：AB=2,点A是整点，点C到AB的距离大于1并且小于等于2.点C到AB的距离表示为c-a,减去c的差的绝对值,1<|c-a-c|<2,

29、即1<|a<2,五、解答题（共2道小题，每小题7分，共14分）irAB=EC*ZABD=ZC=60D=CE27.【解答】（1）补全图形图1,证明：在ABD和4BEC中,ABDABEC(SAS)BAD=ZCBE./APE是ABP的一个外角，APE=/BAD+ZABP=/CBE+ZABP=ZABC=60°(2)补全图形图2,aQ-CD，AB二EC证明：在ABD和BEC中，/ABD=Nc二60"gCEABDABEC(SAS) ./BAD=ZCBE, /APE是ABP的一个外角， ./APE=/BAD+ZABP=/CBE+ZABP=ZABC=60° AF是由AD绕点A逆时针旋转120°