物理第8章机械振动-1

1、1 1、什么是振动：、什么是振动： 物体在一固定位置附近作来回的往复运动，称为机械振动。物体在一固定位置附近作来回的往复运动，称为机械振动。 广义地，凡是描述物质运动状态的广义地，凡是描述物质运动状态的物理量物理量，在某一固定，在某一固定 值附近作周期性变化，都可称该物理量作振动。值附近作周期性变化，都可称该物理量作振动。一、振动的概念一、振动的概念 任何一个具有质量和弹性的系统在其运动状态发生突变时任何一个具有质量和弹性的系统在其运动状态发生突变时, 都会发生振动。都会发生振动。物体在发生摇摆、颠簸、打击、发声之处均有振动。物体在发生摇摆、颠簸、打击、发声之处均有振动。物质的运动具有粒子和波

2、动两种图象。物质的运动具有粒子和波动两种图象。天体的、宏观的机械运动，及分子的热运动呈粒子性；天体的、宏观的机械运动，及分子的热运动呈粒子性；微观领域内，无论场和实物都呈波、粒二象性。微观领域内，无论场和实物都呈波、粒二象性。 8.1 8.1 简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征22、振动的特征、振动的特征3、振动中最简单最基本的是简谐振动、振动中最简单最基本的是简谐振动。任何一个振动都可看成若干不同频率的简谐振动的合成。任何一个振动都可看成若干不同频率的简谐振动的合成。(在时间上）具有某种重复性。在时间上）具有某种重复性。3 二、简谐振动的特征二、简谐振动的特征谐振动的运动学方程谐振动的

3、运动学方程)cos(0tAx式中式中 A A、 是由初始条件所决定的两个积分常数是由初始条件所决定的两个积分常数 0物体振动时，它离开平衡位置的位移物体振动时，它离开平衡位置的位移 x 是时间是时间 t 的余弦（或正弦）的余弦（或正弦）函数函数xtAdtdvatAdtdxv2020)cos()sin(4三、几个谐振动的实例三、几个谐振动的实例、弹簧振子、弹簧振子1）定义：）定义：构成：轻质弹簧一端固定其另一端构成：轻质弹簧一端固定其另一端 与刚体联结。与刚体联结。条件：位移限定在弹性限度内，不条件：位移限定在弹性限度内，不计弹簧内部摩擦。计弹簧内部摩擦。2）无阻尼时的自由振动）无阻尼时的自由振

4、动阻尼：阻尼： 干摩擦、湿摩擦（介质阻力）、辐射干摩擦、湿摩擦（介质阻力）、辐射 自由振动：指系统只受外界一次性扰动，而后的运动自由振动：指系统只受外界一次性扰动，而后的运动 只在系统内部恢复力作用下运动。只在系统内部恢复力作用下运动。（1）平衡位置与坐标原点：）平衡位置与坐标原点：平衡位置：是系统处于稳定平稳的位置，并选该点为平衡位置：是系统处于稳定平稳的位置，并选该点为坐标原点（对水平面上的弹簧振子，则是其自由伸长处）。坐标原点（对水平面上的弹簧振子，则是其自由伸长处）。X0 xFK5（3 3）惯性的作用）惯性的作用 整个系统是在内部线性恢复力和惯性的交互作用下来实现振整个系统是在内部线性

5、恢复力和惯性的交互作用下来实现振 动的。动的。 恢复力与位移正比而反恢复力与位移正比而反向（线性回复力），即向（线性回复力），即 （2 2） 弹性恢复力的特点：弹性恢复力的特点：此处位移特指系统偏离平衡位置的位移此处位移特指系统偏离平衡位置的位移。F= -kx X0 xFK63 3）弹簧振子的运动微分方程）弹簧振子的运动微分方程mk2令0222xdtxd则得kxdtxdm22由牛顿定律：由牛顿定律：以振子为对象以振子为对象)cos(0tAx解微分方程得：解微分方程得：72）无阻尼时的自由振动）无阻尼时的自由振动（1）平衡位置与坐标原点：）平衡位置与坐标原点： 铅直位置为角平衡位置，铅直位置为角

6、平衡位置，o为角坐标为角坐标原点。原点。（2）恢复力矩的特点：）恢复力矩的特点： 重力对过悬点重力对过悬点0/的水平轴的力矩为：的水平轴的力矩为：sinmglM 负号表示力矩方向始终与角位移方负号表示力矩方向始终与角位移方向相反。向相反。1 1）定义）定义)5的摆动(在竖直平面内作小角度在重力作用下,:条件轻绳与质点固联一端固定的不可伸长的:构成o、单摆、单摆/o0lmgT/o08根据麦克劳林展开根据麦克劳林展开 53! 51! 31sin略去高阶无穷小后略去高阶无穷小后mglM（3）惯性的作用）惯性的作用:即恢复力矩与角位移正比而反向。即恢复力矩与角位移正比而反向。 （角位移指偏离平衡位置的

7、角位移）（角位移指偏离平衡位置的角位移）此处的惯性指摆球对过此处的惯性指摆球对过0/的水平轴的转动惯量的水平轴的转动惯量 Iml293）单摆的运动微分方程）单摆的运动微分方程由定轴转动的转动定律：由定轴转动的转动定律：mgldtdml222 令 2gl 0222dtd则得方程的解为方程的解为00costIM 100222dtd的系统，即为谐振子系统。的系统，即为谐振子系统。 谐振动定义：谐振动定义： 一个描述其一个描述其“惯性惯性”的物理量可视为常数的系统的物理量可视为常数的系统,在其稳在其稳定平衡位置附近作微小的自由振动时定平衡位置附近作微小的自由振动时,只受到内部线性恢复力只受到内部线性恢

8、复力的作用，且系统的运动微分方程能满足二阶齐次、线性常系的作用，且系统的运动微分方程能满足二阶齐次、线性常系数微分方程，即能满足数微分方程，即能满足 （1 1） 狭义：谐振子系统在无阻尼情况下的自由振动。狭义：谐振子系统在无阻尼情况下的自由振动。 四、简谐振动的定义四、简谐振动的定义11 （2 2） 广义：若一系统的运动微分方程能满足二阶齐次、广义：若一系统的运动微分方程能满足二阶齐次、 线性、常系数条件，即能满足线性、常系数条件，即能满足0222dtd的系统，其所做的运动就是谐振动。的系统，其所做的运动就是谐振动。 或物体运动时，它离开平衡位置的位移是时间的余或物体运动时，它离开平衡位置的位

9、移是时间的余弦（或正弦）函数，即满足弦（或正弦）函数，即满足)cos(0tAx其所做的运动就是谐振动。其所做的运动就是谐振动。12 例例8-1 弹簧下面悬挂物体，不计弹簧重弹簧下面悬挂物体，不计弹簧重量和阻力，试证其在平衡位置附近的振量和阻力，试证其在平衡位置附近的振动是谐振动。动是谐振动。 证：以平衡位置证：以平衡位置A为原点，向下为为原点，向下为x轴正向，轴正向， 设某一瞬时设某一瞬时m的坐标为的坐标为x，则物体在振动过程中的运动微分方程则物体在振动过程中的运动微分方程为为式中式中 l 是弹簧挂上重物后的静伸长是弹簧挂上重物后的静伸长 mglxkdtxdm)(22mglk因为,22kxdt

10、xdm0222xdtxd即有： 这说明：若一个谐振子系统受到一个恒力作用，只要将其坐这说明：若一个谐振子系统受到一个恒力作用，只要将其坐标原点移至恒力作用下新的平衡位置，该系统仍是一个与原标原点移至恒力作用下新的平衡位置，该系统仍是一个与原系统动力学特征相同的谐振子系统。系统动力学特征相同的谐振子系统。xAx0lmgF13一、谐振动的运动学方程一、谐振动的运动学方程以弹簧振子为例，其动力学方程为以弹簧振子为例，其动力学方程为0222xdtxd该方程的解该方程的解0costAx即为谐振动的运动学方程即为谐振动的运动学方程式中式中A A和和 0 0为由初始条件所决定的两个积分常数。为由初始条件所决

11、定的两个积分常数。 8.2 8.2 谐振动的运动学谐振动的运动学14二、描述谐振动的三个物理量二、描述谐振动的三个物理量 1、振幅、振幅A由初始条件由初始条件 x0、v0 决定决定)sin()cos(00tAVtAx 令令t=0则则 )2() 1 (sincos0000AVAx 222122020VxA得（1）周期）周期T：完成一次完全振动所需的时间完成一次完全振动所需的时间2、周期、周期T（频率（频率 、圆频率、圆频率 、固有圆频率）、固有圆频率）)cos(0tAx0)(cosTtA)2cos(0tA2 T2T或15 (3)圆频率圆频率 ： 秒内完成的完全振动的次数秒内完成的完全振动的次数固

12、有角频率固有角频率Imghmklg222复摆复摆弹簧振子弹簧振子单摆单摆(2)频率频率 ：单位时间内所完成的完全振动的次数单位时间内所完成的完全振动的次数T1 固有振动周期固有振动周期mghITkmTglT222(4)固有圆频率：固有圆频率：仅由振动系统的力学性质所决定的频率仅由振动系统的力学性质所决定的频率216 3、位相：、位相： 位相是描述系统机械运动状态的物理量。（相又指月相之相位相是描述系统机械运动状态的物理量。（相又指月相之相 取其具有周期性）取其具有周期性）)sin()cos() 1 (00tAvtAx能能确确定定系系统统运运动动状状态态，而而又又能能反反映映其其周周期期性性特特

13、征征的的是是 0t (i)用分析法确定特殊情况下的位相用分析法确定特殊情况下的位相0sincos0000AvAAx00v t=0 时，时，x0=A, v0=0. (位位位置；相位置；相变化的态势）变化的态势）X0X0=+A（2 2） 0 0 是是t t =0=0时刻的位相，即时刻的位相，即初位相（初位相（0202 之间取值）之间取值）170sin0cos0000AvAx200sincos0000AvAAx00sin0cos0000AvAx230X0v t=0时时, x0=0, v00180sin2cos0000AvAAx300000sincosAvAx000 xvtg即由初始条件所决定的两个积

14、分常数即由初始条件所决定的两个积分常数分别为和0A )(2020vxA )(0010 xvtg(ii)(ii)用由初始条件决定的积分常数求初位相用由初始条件决定的积分常数求初位相0 0 取使取使x x0 0 、v v0 0 均满足的值均满足的值 X0 A2v t=0时时, x0=A/2, v00, v0 , 在第 I 象限 x0, v0 , 在第 象限 x0 , 在第 III 象限 x0, v0 , 在第 象限 同时同时,其也形象地说明了，对其也形象地说明了，对应于每一个应于每一个x值值,有两种可能的运动方向。有两种可能的运动方向。X1x4x2x3x12341v2v3v4v33一个谐振动从一个

15、谐振动从一个状态到另一个状态一个状态到另一个状态经历的时间间隔为经历的时间间隔为 t=t2t1= T 2位相差位相差 两个振动在同一时刻两个振动在同一时刻t的位相差的位相差=2-1=(2t+20)-(1t+10)=(2-1)t+(20-10)x1=A1cos(1t+10) x2=A2cos(2t+20)1）两个简谐振动的位相差）两个简谐振动的位相差 2）同一振动在不同时刻的位相差）同一振动在不同时刻的位相差同一振动在同一振动在t1、t2时刻的位相差为时刻的位相差为 =(t2+0)-(t1+0)=(t2-t1) 两个同频振动在同一时刻的位相之差两个同频振动在同一时刻的位相之差 =20-1034x

16、(t)=Acos(t+0)v(t)=-Asin(t+0) =vmcos(t+0+/2)a(t)=-A2cos(t+0) =amcos(t+0) 设设 0=0 三种描述方法三种描述方法(即：三即：三角函数、函数图象、旋角函数、函数图象、旋转矢量）都离不开三个转矢量）都离不开三个特征量特征量A、和和0谐振动的三种表示法谐振动的三种表示法 x t t t 0 v 0 0 4Ta v a A x t x x 0 旋转矢量与振动图象旋转矢量与振动图象35例例106一质点作简谐振动的圆频率为一质点作简谐振动的圆频率为 ，振幅为振幅为A，当，当t=0时时质点位于质点位于 x=A2 处，且向处，且向X轴正方向

17、运动，试画出此振动的轴正方向运动，试画出此振动的旋转矢量图。旋转矢量图。解：由已知条件可知，解：由已知条件可知，t=0时，时，0sincos2100tAvtAAx与之对应的初位相角在第四象限与之对应的初位相角在第四象限303036例例10107 7一物体作简谐振动，振动方程为一物体作简谐振动，振动方程为x=Acos（ t+ 4），），在在 t=T4 时，物体的加速度为时，物体的加速度为 2212AA 2212AB 2213AC 2213AD答：选（答：选（B）4cos222tAdtxda24124Tt2222142cosAAa37一、动能一、动能221mvEk)(2mk二、势能二、势能221k

18、xEP三、总能三、总能221kAEEEPk四、动能和势能在一个周期内的平均值四、动能和势能在一个周期内的平均值2cos121sin)2cos1 (21cos22)(sin210222tAm)(sin21022tkA)(cos21022tkA2max21mv2221Am设设x(t)=Acos(t+0 ) v(t)=-Asin(t+ 0) 8.3 8.3 简谐振动的能量简谐振动的能量38同理平均势能同理平均势能2002241)(cos211 kAdttkATETPEkAEEPk21412221kAE Etx0 xx=Acost在一个周期在一个周期 T 内的平均动能内的平均动能 )(sin211 0

19、022TKdttkATE241kA )(2cos1 21211 002TdttkAT39例例10-8 谐振动过程中，动能和势能相等的位置的位移等于谐振动过程中，动能和势能相等的位置的位移等于 ADACABAA22;23;2;4解：解：222212121kAkxmv222121kxmv 而题知22212121kAkx DAx即应选于是,2240例例109 一物体质量为一物体质量为 0.25kg，在弹性力作用下作简谐振动，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的倔强系数弹簧的倔强系数 k=25Nm-1，如果起始振动具有势能，如果起始振动具有势能 0.06J 和动和动能能 0.02J，求（求（1）振幅；（）

20、振幅；（2）经过平衡位置时物体的速度。）经过平衡位置时物体的速度。解（解（1）221kAEEEpk（2）过平衡点时，）过平衡点时，x=0，此时动能等于总能量，此时动能等于总能量221mvEEEpkmkEEApk08. 0/ )(2smmEEvpk/8 . 0/ )(241一、动能一、动能221mvEk)(2mk二、势能二、势能221kxEP)(sin210222tAm)(sin21022tkA)(cos21022tkAx(t)=Acos(t+0 ) v(t)=-Asin(t+ 0) 8.3 8.3 简谐振动的能量简谐振动的能量42三、总能三、总能221kAEEEPk四、动能和势能在一个周期内的

21、平均值四、动能和势能在一个周期内的平均值2max21mv2221Am )(sin211 0022TKdttkATE241kA )(2cos1 21211 002TdttkAT43同理平均势能同理平均势能2002241)(cos211 kAdttkATETPEkAEEPk21412221kAE Etx0 xx=Acost44一、两个同方向、同频率谐振动的合成一、两个同方向、同频率谐振动的合成x1 = A1cos ( t+ 1) x2 = A2 cos ( t+ 2) 求求： x x1 x2 1 1、 计算法计算法)cos()cos(20210121tAtAxxx202202101101sinsi

22、ncoscos sinsincoscostAtAtAtA)sinsin(sin )coscos(cos202101202101AAtAAt02021010202101sinsinsin coscoscos AAAAAA 令 8.4 8.4 简谐振动的合成简谐振动的合成45 )tAcos( sinsincoscos 000tAtAx 上式两个同方向、同频率的谐振动的合振动仍然是一个同两个同方向、同频率的谐振动的合振动仍然是一个同频率的谐振动。频率的谐振动。合振幅合振幅 )cos(21020212221AAAAA初位相初位相 coscossinsin20210120210110AAAAtg其中其中

23、462、旋转矢量合成法、旋转矢量合成法xy0A110A220A0 x1x2x1y2yy 利用正切函数求得合振动的初位相。利用正切函数求得合振动的初位相。 两振动频率相同，则它们的旋转矢量以相同的角速度两振动频率相同，则它们的旋转矢量以相同的角速度 旋旋转，故形成稳定的平形四边形。转，故形成稳定的平形四边形。 利用矢量加法的平行四边形法则，合振动的旋转矢量为利用矢量加法的平行四边形法则，合振动的旋转矢量为A，47振幅最大振幅最大 Amax=A1+A2振幅最小振幅最小 Amin= |A1 A2|3、位相差对合振幅的影响、位相差对合振幅的影响2 , 1 , 0 2 )()(10201020kktt（

24、1 1）若位相差）若位相差2 , 1 , 0 ) 12( kk（2 2）若位相差）若位相差（3 3）若位相差）若位相差 1020为其它任意值时为其它任意值时振幅振幅A A AminA Amax48 )cos(212212221AAAAA2443而而AAAAAA23222221?313143cos34cos43sin34sinAAAAtg解：设合振动为解：设合振动为则,costAx例例101010 10 两谐振动方程分别为两谐振动方程分别为43cos3,4cos21tAxtAx求它们的合振动求它们的合振动49例例101011 11 两谐振动振动方程分别为两谐振动振动方程分别为,)610cos(3

25、1cmtx求求它它们们的的合合振振动动。，cmtx)3210cos(42解解 这两个谐振动的位相差为这两个谐振动的位相差为.2作旋转矢量图，利用旋转矢量合成作旋转矢量图，利用旋转矢量合成法，合振动为法，合振动为cmtgttAx)34610cos(5 )10cos(106034oxA50从图可看出，因两旋转矢量的角从图可看出，因两旋转矢量的角速度速度 1 1、 2 2 不相同，所以由两不相同，所以由两矢量矢量A A1 1、A A2 2合成的平行四边形的合成的平行四边形的形状要发生变化，矢量形状要发生变化，矢量A A的大小的大小也随之而变，出现了振幅有周期也随之而变，出现了振幅有周期性地变化。性地

26、变化。1、利用旋转矢量合成法、利用旋转矢量合成法二、同方向、不同频率谐振动的合成二、同方向、不同频率谐振动的合成拍拍1ox1A2ArA251 因此，当两个振动频率接近时，合成中由于周期的微小因此，当两个振动频率接近时，合成中由于周期的微小差别而造成合振幅随时间作周期性变化，振动时而加强时而差别而造成合振幅随时间作周期性变化，振动时而加强时而减弱的现象称为减弱的现象称为拍拍。合振动在单位时间内加强合振动在单位时间内加强(或减弱或减弱)的次数称为的次数称为拍频。拍频。522、拍振动表达式、拍振动表达式 设分振动为设分振动为)cos(011tAx)cos(022tAx2cos2cos2coscos)

27、2cos(2cos20121221ttAxxx3、拍频：指合振幅变化的频率、拍频：指合振幅变化的频率 余弦函数的周期应为余弦函数的周期应为2，但，但取绝对值后，周期为取绝对值后，周期为，故合振，故合振幅变化的周期幅变化的周期 121222T1212221T于是拍频为即即“拍频拍频”等于两个分振动频率之差。等于两个分振动频率之差。534、“拍振动拍振动”的应用的应用 声振动、电磁振荡和波动中是经常遇到的。声振动、电磁振荡和波动中是经常遇到的。 利用拍现象还可以测定振动频率、校正乐器和制造差拍振利用拍现象还可以测定振动频率、校正乐器和制造差拍振荡器等等荡器等等5、同步锁模：、同步锁模：上面关于拍频

28、现象的讨论只是数学计算的结果。这只是问上面关于拍频现象的讨论只是数学计算的结果。这只是问题的一种可能。如果这两个分振动，通过一定物理条件，使题的一种可能。如果这两个分振动，通过一定物理条件，使二者发生了非线性耦合， 那么上面那种简单的线性叠加就不二者发生了非线性耦合， 那么上面那种简单的线性叠加就不再成立，而会出现所谓“同步锁模”现象，即两个分振动的再成立，而会出现所谓“同步锁模”现象，即两个分振动的频率锁定在同一个频率上。频率锁定在同一个频率上。 54三三两个振动方向相互垂直的同频谐振动的合成两个振动方向相互垂直的同频谐振动的合成椭圆振动椭圆振动)cos(11tAx)cos(22tAy设设

29、下面所做的工作是为了消去参量下面所做的工作是为了消去参量t，而得其轨迹方程。，而得其轨迹方程。将两分振动方程进行恒等变换，得将两分振动方程进行恒等变换，得 1sinsincoscos111ttAx 2sinsincoscos222ttAy 3)sin(sincoscos121221tAyAx得得12cos) 2(cos) 1 (由由55 2sin1由由 1sin2 4)sin(cossinsin121221tAyAx得得 并整理可得并整理可得 2243xAyAxyA A21222212212212cos()sin () 这说明：振动方向互相垂直的同频谐振的轨迹是一椭圆这说明：振动方向互相垂直的

30、同频谐振的轨迹是一椭圆 曲线，但曲线的形状则与两分振动的位相差有很大关系。曲线，但曲线的形状则与两分振动的位相差有很大关系。56 = 5 /4 = 3 /2 = 7 /4 = 0 = /4 = /2 = 3 /4 = PQ57四四两个振动方向互相垂直频率成整数比的振动合成两个振动方向互相垂直频率成整数比的振动合成 李萨如图形李萨如图形58五五振动的分解和次谐频振动的分解和次谐频 根据福里哀级数理论，任何一个周期性的复杂运动都能分根据福里哀级数理论，任何一个周期性的复杂运动都能分解成频率成整数倍递增的一系列简谐振动之和。解成频率成整数倍递增的一系列简谐振动之和。 如图所示方波，是电子学中常见的电

31、压输入，是一种非如图所示方波，是电子学中常见的电压输入，是一种非谐振动，按福里哀级数可展开成谐振动，按福里哀级数可展开成 t tu1 振动的分解振动的分解：)5cos513cos31(cos22)(tttAAtu 就是说这种方波形振荡可分解为圆频率为就是说这种方波形振荡可分解为圆频率为，3，5的的 谐振动，这种分解叫做谐波分析，其中谐振动，这种分解叫做谐波分析，其中基频，基频，n泛频（倍泛频（倍频）或福里哀谐频。频）或福里哀谐频。5960 一个任意的周期性复杂运动，分解后是一组包含一系列谐泛一个任意的周期性复杂运动，分解后是一组包含一系列谐泛频振动的无穷级数。频振动的无穷级数。 一个随机的振动

32、分解后只能用福里哀积分表示，即其频谱一个随机的振动分解后只能用福里哀积分表示，即其频谱线不是分立的，而是连续的，即线不是分立的，而是连续的，即 xf tAtdBtd( )( )cos( )sin 00 (2)出现福里哀谐频和次谐频现象，都是一种非线性效应。但出现福里哀谐频和次谐频现象，都是一种非线性效应。但二者有区别；无论多么弱的非线性都可产生福里哀谐频。但要二者有区别；无论多么弱的非线性都可产生福里哀谐频。但要产生次谐频，则对非线性有阈值限制。产生次谐频，则对非线性有阈值限制。2、次谐频：、次谐频： (1)振动的分解在大多数情况下都是按福里哀谐频分解，即振动的分解在大多数情况下都是按福里哀谐

33、频分解，即这时分振动的频率都是某个基频的整数倍。但在另外一定的这时分振动的频率都是某个基频的整数倍。但在另外一定的条件下，其分振动的频率是某个分数基频（例条件下，其分振动的频率是某个分数基频（例/2）的）的“谐谐频频”这种现象叫做次谐频。这种现象叫做次谐频。61 一、谐振子系统在弱介质阻尼下的自由振动一、谐振子系统在弱介质阻尼下的自由振动1、 固体在介质中所受阻力在一般情况下为固体在介质中所受阻力在一般情况下为 221vvfrdtdxvfr 2、以弹簧振子为例，其运动微分方程为、以弹簧振子为例，其运动微分方程为kxdtdxdtxdm22令令 ， 则有则有 02kmm2我们只讨论其中的线性部分，

34、我们只讨论其中的线性部分，即在低速情况下的振动即在低速情况下的振动 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振62d xdtdxdtx220220式中式中阻尼因子阻尼因子 0系统固有角频率。系统固有角频率。方程的解及其物理意义方程的解及其物理意义 1 1、弱阻尼、弱阻尼 )1(0220令令)cos(00teAxt(1)式中式中A0、0是由初始条件所是由初始条件所决定的两个积分常数；决定的两个积分常数； (2)阻尼振动的振幅阻尼振动的振幅 teAA0即即 ： 振幅按指数规律衰减，故阻尼振动又称减幅振动；振幅按指数规律衰减，故阻尼振动又称减幅振动；63(3) 准周期的问题：准周期指函数准周期的问

35、题：准周期指函数 与时间轴与时间轴t的零交点间的间隔（但函数的峰值不在两零交点的的零交点间的间隔（但函数的峰值不在两零交点的中心）中心）,即即)cos(00teAtx阻尼振动曲线阻尼振动曲线ot/T/2 T22022T 说明阻尼越大，准周期越大，阻尼越小，越接近系统固有说明阻尼越大，准周期越大，阻尼越小，越接近系统固有 周期。周期。002T642 2、临界阻尼、临界阻尼 )(220这时这时teccx)(21 c1、c2为两积分常数。为两积分常数。其用途之一其用途之一, 用于灵敏仪器的回零用于灵敏仪器的回零装置。装置。ttececx)(2)(1202202此时此时 其不是往复运动，须无限长的其不

36、是往复运动，须无限长的时间才能回零。时间才能回零。3 3、过阻尼、过阻尼 )(20265不不讨讨论论随随机机外外力力t tH Hc co os s只只讨讨论论谐谐和和策策动动力力F F周周期期性性外外力力用用下下的的新新平平衡衡点点将将坐坐标标原原点点移移至至恒恒力力作作恒恒力力作作用用外界作用外界作用 1、弱阻尼谐振子系统谐受迫振动微分方程、弱阻尼谐振子系统谐受迫振动微分方程以弹簧振子为例以弹簧振子为例tHdtdxkxdtxdmcos22其运动方程为其运动方程为,20mk令,2mmHh 二、受迫振动二、受迫振动 共振共振thxdtdxdtxdcos22022 则得则得 66 2、方程的解及其

37、物理意义、方程的解及其物理意义 )cos()cos(000tAteAxt由微分方程理论由微分方程理论, ,上述方程的解为上述方程的解为1）自由振动的能量是外界一次性输入）自由振动的能量是外界一次性输入 减减幅幅振振动动有有能能量量损损耗耗, ,: :有有阻阻尼尼等等幅幅振振动动能能量量守守恒恒, ,: :无无阻阻尼尼2）受迫振动过程中，外界在不断地向振动系统补充能量）受迫振动过程中，外界在不断地向振动系统补充能量。的的稳稳定定受受迫迫振振动动是是由由谐谐和和策策动动力力所所维维持持也也就就不不存存在在了了, ,与与初初始始条条件件相相关关的的A A当当其其衰衰减减完完毕毕时时, ,的的固固有有

38、项项, ,就就是是由由初初始始能能量量所所维维持持0 00 0)t(AteAtcos)cos(00067三三.稳定的受迫振动稳定的受迫振动 )cos(tAx2222204)(hA2202tg (1) 说明此时振动方程的位相说明此时振动方程的位相 与初始条件无关，其表示振与初始条件无关，其表示振动位移的位相与策动力位相的位相差；动位移的位相与策动力位相的位相差； (2) 说明振幅是策动力的函数，因此存在极值的问题说明振幅是策动力的函数，因此存在极值的问题,与此对与此对应的极值现象，称为位移共振。应的极值现象，称为位移共振。1、 稳定受迫振动的频率等于策动力的频率稳定受迫振动的频率等于策动力的频率

39、 2、 稳定受迫振动的振幅稳定受迫振动的振幅A和位相和位相 （用待定系数法可得）（用待定系数法可得）68四、共振问题四、共振问题 1、位移共振（又称振幅共振）、位移共振（又称振幅共振） 只要令只要令 即可得即可得 0)(ddA2202r此即振幅共振频率此即振幅共振频率692、速度共振（又称能量共振）、速度共振（又称能量共振） )sin(tAdtdxvAVv, 0)(dAd令令0v得得 速度（能量）共振频率速度（能量）共振频率3、 共振的利用与防止共振的利用与防止(1)(1)位移共振位移共振 核核磁磁共共振振. .打打夯夯, ,振振动动筛筛, ,利利用用海海堤堤. .机机床床, ,过过桥桥, ,

40、防防止止(2) 能量共振能量共振调谐（能量输入处于最佳状态）调谐（能量输入处于最佳状态）70一、关于非线性振动一、关于非线性振动 1、什么是非线性振动、什么是非线性振动： 2、发生非线性振动的根本原因是：振动系统由于某种因素、发生非线性振动的根本原因是：振动系统由于某种因素而处于非线性状态。而处于非线性状态。（1）内在的非线性因素）内在的非线性因素 例如振动系统由于振幅过大，而出现了非线性恢复力例如振动系统由于振幅过大，而出现了非线性恢复力例如单摆：例如单摆： 50当当 时时 sin!131535恢复力矩为恢复力矩为Mmglmgl sin()16112035 弹簧振子，当振幅过大，亦出现非线性

41、现恢复力，即弹簧振子，当振幅过大，亦出现非线性现恢复力，即33221xkxkxkF指不能用线性微分方程所能描述的运动。指不能用线性微分方程所能描述的运动。 非线性振动简介非线性振动简介71 描述系统描述系统“惯性惯性”的物理量，由于某种原因而不能保持的物理量，由于某种原因而不能保持常常 数，例如振子的质量或转动惯量或电感数，例如振子的质量或转动惯量或电感L等是变量等是变量如荡如荡 秋千。秋千。还有一类非线性振动还有一类非线性振动产生自激振动产生自激振动 指由于系统自身的特点，使系统能从单向激励的能源中指由于系统自身的特点，使系统能从单向激励的能源中自行有控地吸收能量，并使单向激励能源转化为周期

42、性振动自行有控地吸收能量，并使单向激励能源转化为周期性振动的能源。的能源。 显然这种转换是线性机制所不能完成的（如前所述，线显然这种转换是线性机制所不能完成的（如前所述，线性系统不能改变激励的频率），故这种振动应归属于非线性性系统不能改变激励的频率），故这种振动应归属于非线性振动。振动。 由于振速过大，使得介质阻尼处于非线性状态，即这时介由于振速过大，使得介质阻尼处于非线性状态，即这时介 质阻尼为质阻尼为33221vvvf（2）外在因素）外在因素例如，微风中树梢的抖动。例如，微风中树梢的抖动。72 策动力是非线性的策动力是非线性的22,vvxxF 对以上所述的非线性因素中，只要出现其中一种，系

43、统的振动对以上所述的非线性因素中，只要出现其中一种，系统的振动就是非线性的。即使振动系统本身是线性的（或说所有内在的非就是非线性的。即使振动系统本身是线性的（或说所有内在的非线性因素都可忽略），若受到外来的非线性策动力的作用，其振线性因素都可忽略），若受到外来的非线性策动力的作用，其振动也是非线性的。动也是非线性的。 3、非线性系统的本质特点是：、非线性系统的本质特点是：针对具体的非线性因素，系统的振动形式是完全不同的。针对具体的非线性因素，系统的振动形式是完全不同的。 叠加原理不成立。叠加原理不成立。73二、几种常见的非线性振动二、几种常见的非线性振动 1、自激振动：、自激振动： 自激振动理

44、论常用于防止汽车车轮的跳动，飞机机翼颤自激振动理论常用于防止汽车车轮的跳动，飞机机翼颤振，机床的自振；而又被利用于钟表、风钻、调速器及电子振，机床的自振；而又被利用于钟表、风钻、调速器及电子振荡电路中。振荡电路中。 对于耗散系统能源的补充若是周期性外力作用则为受迫对于耗散系统能源的补充若是周期性外力作用则为受迫振动；若用单向力激励再加上系统能自行调控从外界吸收的振动；若用单向力激励再加上系统能自行调控从外界吸收的能量，就会产生自振。能量，就会产生自振。 产生自振的主体，可以是线性系统，也可以是非线性系产生自振的主体，可以是线性系统，也可以是非线性系统，而单向激励则通常是位移和速度的函数。统，而单向激励则通常是位移和速度的函数。2、参数振动：、参数振动： 漏摆，荡秋千等可作为参数振动的实例；而航天器液体燃料漏摆，荡秋千等可作为参数振动的实例；而航天器液体燃料 自由面的振荡对飞行的影响则是当代科研的前沿；对圆柱容器中自由面的振荡对飞行的影响则