P、PI和PID控制器性能分析

1、题目：P、PI和PID控制器性能分析初始条件：一二阶系统结构如图所示，其中系统对象模型为G(s)二1,控制器(s+1)(5s+1)传递函数为D(s)二k(比例P控制)，D(s)二k+k/s(比例积分PI控制)，1P2PID(s)二k+k/s+ks(比例积分微分PID控制)，令k二19，k二0.5，k二4/19，D(s)3PIDPIDi为上述三种控制律之一。要求完成的主要任务:(包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求)(1) 分析系统分别在P、PI、PID控制器作用下的，由参考输入决定的系统类型及、口八匕误差常数；(2) 根据(1)中的条件求系统分别在P、PI、PID控制器作用

2、下的、由扰动w(t)决定的系统类型与误差常数；(3) 分析该系统的跟踪性能和扰动性能；(4) 在Matlab中画出(1)和(2)中的系统响应，并以此证明(3)结论；(5) 对上述任务写出完整的课程设计说明书，说明书中必须写清楚计算分析的过程其中应包括Matlab源程序或Simulink仿真模型，并注释。说明书的格式按照教务处标准书写。时间安排：任务时间(天)扌日导老师下达任务书，申题、查阅相关资料2分析、计算2编写程序1撰写报告2论文答辩1指导教师签名：系主任(或责任教师)签名：目录摘要1 设计任务及要求22 设计分析与计算32.1参考输入决定的系统类型及误差常数32.1.1 系统类型32.1

3、.2 误差常数42.2.扰动W(t)决定的系统类型与误差常数92.2.1 系统类型102.2.2 误差常数112.3系统的跟踪性能和扰动性能122.3.1 跟踪性能122.3.2 扰动性能133 仿真程序及波形133.1由输入决定的系统响应133.2由扰动决定的系统响应22总结参考文献摘要比例（P）控制：单独的比例控制也称“有差控制”输出的变化与输入控制器的偏差成比例关系，偏差越大输出越大。比例控制器对偏差反应较快。实际应用中，比例度的大小应视具体情况而定。比例积分（PI）控制：比例控制不能最终消除余差的缺点限制了它的单独使用。克服余差的办法是在比例控制的基础上加上积分控制作用。积分控制器的输

4、出与输入偏差对时间的积分成正比。只要偏差存在，输出就会不断累积（输出值越来越大或越来越小），一直到偏差为零，累积才会停止。所以，积分控制可以消除余差。两者结合，既有比例控制作用的迅速及时，又有积分控制作用消除余差的能力。比例积分微分（PID）控制：最为理想的控制当属比例-积分-微分控制规律。它集三者之长：既有比例作用的及时迅速，又有积分作用的消除余差的能力，还有微分作用的超前控制功能。本次课程设计分别叙述了系统在系统输入和扰动输入作用下的传递函数，通过传递函数反映系统类型和系统的稳态误差。本次课程设计也充分利用了MATLAB的强大功能，分别对系统的跟踪性能和扰动性能进行了曲线描述。本次课程设计

5、最大的收获就是运用MATLAB直观地对P、PI、PID三种控制器的控制性能进行了研究。【关键词】比例积分微分稳态性能系统类型扰动跟踪1设计任务及要求本次课程设计要求对3种控制器在参考输入和扰动输入两种情况下的性能进行研究，并通过MATLAB仿真功能进行验证，主要完成以下3个要求：（1）在参考输入的情况下，分别输出在3种控制器作用下的系统在阶跃、斜坡和加速度3种输入信号作用下的不同响应曲线，同时分析系统类型，求解各个误差系数。（2）在扰动输入的情况下，分别输出在3种控制器作用下的系统在阶跃、斜坡和加速度3种输入信号作用下的不同响应曲线，同时分析系统类型，求解各个误差系数。（3）通过不同响应曲线分

6、析系统的跟踪性能和扰动性能。本次课程设计先确定每个控制器下的传递函数，再通过软件仿真得到响应曲线并进行分析，从而得到系统的性能。2设计分析与计算2.1参考输入决定的系统类型及误差常数如图2-1所示，当参考输入决定系统类型及误差常数时，W(s)=O。WY图2-1二阶系统方框图由系统方框图可以知道，此二阶系统的误差信号E(s)=R(s)-Y(s)误差传递函数为：e(s)=E(s)RB1l+D(s)G(s)(2-1)2.1.1系统类型(1) 比例(P)控制器当传递函数D=Kp=19时，系统的开环传递函数为：19Di(s)G(s)=(s+1)(5s+1)故此时系统类型为0型系统。(2) 比例积分(PI

7、)控制器当传递函数D2(s)=Kp+K1=19+05时，系统的开环传递函数为:2pss(2-2)D2(s)G(s)=19s+0.5s(s+1)(5s+1)(2-3)故此时系统类型为1型系统。(3) 比例积分微分(PID)控制器当传递函数D3(s)=Kp+ki+Kds=19+05+±s时，系统的开环传递函数为:3PsDs19(2-4)4s2+361s+9.5D(s)G(s)=319s(s+1)(5s+1)故此时系统类型为1型系统。2.1.2误差常数下面求解在3种控制器作用下的系统在阶跃信号、斜坡信号和加速度信号三种常见的输入信号函数下的误差常数。2.1.2.1 阶跃信号输入阶跃信号为r

8、(t)=R1(t),其中R为输入阶跃函数的幅值，取拉氏变换可得R(s)=R/s，则有E(s)=1R1+D(s)G(s)"s(2-5)所以e(w)=limsE(s)=limSSST。ST。(2-6)R_R_R1+D(s)G(s)=l+limD(s)G(s)=1+KpsT。P其中KP=limD(s)G(s)PsT。对0型系统KK(1+TS)(1+T2S)KK=limL=KPsto(1+Tas)(1+Tbs)(2-7)e(w)=ss对1型或高于1型的系统2肿潛購T；：=-v»iabPstOsv(2-8)Ress(对=师=°2.1.2.2 斜坡信号输入斜坡信号为r(t)=

9、Rt,其中R为速度输入函数的斜率，取拉氏变换可得R(s)=R/s2,则有1RE(S)=1+D(s)G(s)s2(2-9)所以其中ess(w)=limsE(s)=limS0ST0s+sD(s)G(s)limsD(s)G(s)(2-10)stOKV=limsD(s)G(s)Vst0(2-11)对0型系统K斑1+并)(1+丁2沪.o%=Sims(1+T：s)(l+T2s).=0(2-12)StOe(小丄它ssKv对1型系统KK(l+Ts)(l+T2s)kK=lims款、=KX-s(1+Ts)(l+Ts)abstO(2-13)e(w)=ssRR(2-14)对2型或高于2型的系统KV=limsVstOK

10、(1+TS)(1+T2s)sn(1+Tas)(1+Tbs)(N»2)e(w)=ssR=02.1.2.3 加速度信号输入加速度信号为r(t)=Rt2/2,其中R为加速度信号输入函数的速度变换率，取拉氏变换可得R(s)=R/s3,则有E(s)=1Rl+D(s)G(s)S3(2-15)所以ess(w)=limsE(s)=list0RSt0s2+s2D(s)G(s)lims2D(s)G(s)Kst0a(2-16)(2-17)其中K=lims2D(s)G(s)ast0对0型系统K=lims2st0K(1+TS)(1+T2s)(l+TaS)(l+TbS)(2-18)e(w)=ssK=lims2K

11、(1+TS)(1+T2s)st0s(l+Tas)(l+Tbs)=0(2-19)R=gKa对1型系统e(w)=ssR=gKa对2型系统(2-20)K(l+TS)(l+T2s)Ka=limS2s2(1+Ts)(l+fs)=KabST。()RRe3)=ss7KKa对3型或高于3型的系统K(1+Ts)(1+Ts)-K=lims2(N»3)acsn(1+Ts)(1+Ts)-v丿(a)Rbesse)=K=°aST0(2-21)综上所述：(1)当控制器传递函数D(s)=K=19时，系统闭环特征方程D(s)=5s2+6s+20=0(2-22)该系统劳斯表为：S220S1S020根据劳斯判据

12、第一列全为正，所以此系统稳定。因为系统是0型系统，开环增益K=19，因此，系统的稳态误差为:1R吋=塞，阶跃输入r(t)=Rx1(t)ess(8)=叫斜坡输入r(t)=RtRt2仝加速度输入r(t)=2-(2)当控制器传递函数D2(s)=kp+kl=19+丄(比例积分PI控制)时，系统特征2Ps2s方程为：D(S)=10S3+12S2+40S+1=0(2-23)该系统劳斯表为：s31040s2121s1236s01根据劳斯判据第一列全为正，所以此系统稳定。因为系统是1型系统，系统开环增益K=1,所以系统稳态误差为:20，阶跃输入r(t)=R*1(t)R/、一=2R,斜坡输入r(t)=Rtess

13、®)=KRt2,加速度输入r(t)=当控制器传递函数为D3(s)=kp+kl+kDs=19+丄+皱(比例积分微分PID控3PsD2s19(2-24)制)时，系统特征方程为：D(S)=190s3+236s2+60s+19=0该系统劳斯表为：s3190760s223619si87875118s019根据劳斯判据第一列全为正，所以此系统稳定。因为系统为1型系统，系统开环增益K=1,所以系统稳态误差为:20,阶跃输入r(t)=R*i(t)Re(»)=ssr2R,斜坡输入r(t)=RtkRt2叫加速度输入r(t)=-综合上述可得到下表。表2-1输入信号作用下的稳态误差控制器系统型别阶

14、跃输入r(t)=R*l(t)斜坡输入r(t)=Rt加速度输入r(t)=Rt22P0R20OOCOPII02RCOPIDI02RCO2.2.扰动W(t)决定的系统类型与误差常数由于输入信号和扰动信号作用于系统的不同位置，因此即使系统对于某种形式输入信号作用的稳态误差为零，但对于同一形式的扰动作用，其稳态误差未必为零。控制系统如图2-1所示，其中W(t)代表扰动信号的拉式变换式。由于在扰动信号W(s)作用下系统的理想输出应为零，故该系统响应扰动W(t)的输出端误差信号为：E(s)二G,s?(、N(s)N1+DIs)G(s)AKKsv1A(s)BC)BC)_7+rts1+V-+?"Xs)A

15、(s)(s7+KF-FTXs)BCs)BXs)J123123123设sE(s)满足终值定理条件，则e(g)=limsE(s)ssNs0(225)lim$_0slkvi+v2+v3AKKsv1A(s)(s)B(s)A(s)AXs)A(s)+KKKB(s)B(s)B(s)123123123(226)当扰动为阶跃信号时，1=0，则eD=<Nss-3,v=0(v=0,v=0)1+KKK123123=0(v丰0,v丰0)23A-,vKi10,v>1;1当扰动信号为斜坡信号时，1=1,Nsss,v=0;iA1Ki10,v>2;1当扰动信号为加速度信号时，1=2，则Nsss,v<1;

16、1A2-,v=2K110,v>3;1由于误差传递函数所含s=0的零点数，等价于系统扰动作用点前向通道串联积分环节v】与主反馈通道串联积分环节v3之和，故对于响应扰动作用的系统有下列结论：1）扰动作用点之前的前向通道积分环节数与主反馈通道积分环节数之和决定系统响应扰动作用的型别，该型别与扰动作用点之后前向通道的积分环节数无关。（2）如果在扰动作用点之前的前向通道或主反馈通道中设置v个积分环节，必可消除系统在扰动信号作用下的稳态误差。2.2.1系统类型因为扰动作用点之前的向前通道积分环节数与主反馈通道积分环节数之和决定系统相应扰动作用的型别，该型别与扰动作用点之后向前通道的积分环节数无关，所

17、以（1）当控制器传递函数为D（s）=kp=19（比例P控制）时，系统扰动作用点前的向前通道所含的积分环节数为0，系统主反馈通道所含的积分环节数为0，所以此系统为相应扰动信号的0型系统。(2) 当控制器传递函数D2(s)=kp+ki=19+丄(比例积分PI控制)时，系统扰动2Ps2s作用点前的向前通道所含的积分环节数为1，系统主反馈通道所含的积分环节数为0,所以此系统为相应扰动信号的I型系统。(3) 当控制器传递函数为D3(s)=kp+ki+kDs=19+丄+生(比例积分微分PID控3PsD2s19制)时，系统扰动作用点前的向前通道所含的积分环节数为1，系统主反馈通道所含的积分环节数为0,所以此

18、系统为相应扰动信号的I型系统2.2.2误差常数控制系统如图2-1所示，由于在扰动信号W(s)作用下系统理想输出应为零,故该反馈系统扰动w(t)的输出端误差信号为En(s)=YG(s)W(s)1+D(s)G(s)(227)面考虑扰动输入分别在阶跃扰动转矩、斜坡扰动转矩和加速度扰动转矩作用下的稳态误差。(1) 当控制器传递函数为D(s)=kp=19(比例P控制)时，sE(s)在s右半平1Pn面及虚轴上解析。其中En(s)=nW(s)(s+l)(5s+l)+19(228)所以系统稳态误差为：50恥120se(w)=limsE(s)=,W(s)ssstOnS2,W(s)-2s3(2) 当控制器传递函数

19、D2(s)=kp+kt=19+(比例积分PI控制)时，sE(s)在2Ps2sns右半平面及虚轴上解析。其中En(s)=s(s+lV5(229)所以系统稳态误差为：nO,W(s)=-°sneSsS)=limsEn(s)=2nW(s)=WssstOn1s2g,W(s)=Js3(3) 当控制器传递函数为D3(s)=kp+ki+kDs=19+丄+生(比例积分微分PID控3PsD2s19制)时sE_n在s右半平面及虚轴上解析。其中En(s)=sW(s)4s2s(s+1)(5s+1)+19s+0.5+19(2-30)所以系统稳态误差为：n0,W(s)=0se(w)=limsE(s)=ssst0n

20、n2nW(s)=-11s2w,W(s)=丿s3综上所述得下表。表2-2不同控制器和输入下的稳态误差和型别控制器阶跃输入W(s)=nos斜坡输入W(s)=n1s2加速度输入W(s)=n2s3系统型别Pn02000000PI02n1001PID02n10012.3系统的跟踪性能和扰动性能2.3.1跟踪性能(1) 在P控制器作用下能够跟踪阶跃输入，但存在一个稳态位置误差R/20,不能跟踪斜坡输入与加速度输入。(2) 在PI控制器作用下系统能很好的跟踪阶跃输入，跟踪斜坡输入存在稳态位置误差2R,不能跟踪加速度输入。(3) 在PID控制器作用下系统能很好的跟踪阶跃输入，跟踪斜坡输入存在稳态位置误差2R,

21、不能跟踪加速度输入。2.3.2扰动性能(1)在P控制器作用下系统对阶跃扰动的抵抗性比较好但存在一个扰动误差翌，对斜坡和加速度扰动抵抗能力很差。19(2)在PI控制器作用下系统对阶跃和斜坡扰动抵抗力较强，但对加速度扰动抵抗力很差。(3)在PID控制器作用下系统对阶跃和斜坡扰动抵抗力较强，但对加速度扰动抵抗力很差。3仿真程序及波形3.1由输入决定的系统响应(1)当控制器传递函数D=K=19时，系统的开环传递函数为:1p19Di(S)G(S)=(s+1)(5s+1)系统的闭环传递函数为:(3-1)19(s+1)(5s+1)0(s)=单位阶跃响应的MATLAB程序命令如下(3-2)num=19;den

22、=5,6,20;t=0:0.1:10;y,x,t=step(num,den,t);plot(t,y);grid;xlabel('t');ylabel('y');%分子多项式%分母多项式%时间矢量%阶跃响应%绘制曲线%绘制网格%设置横坐标%设置纵坐标系统响应曲线图如图3-3所示。图3-1单位阶跃相应单位斜坡响应的MATLAB程序命令如下:num=19;%分子多项式den=5,6,20,0;%分母多项式t=0:0.1:10;%时间矢量y,x,t=step(num,den,t);%阶跃响应plot(t,y);%绘制曲线grid;%绘制网格xlabel('t&#

23、39;);%绘制横坐标ylabel('y');%绘制纵坐标图32单位斜坡响应单位加速度响应的MATLAB程序命令如下:num=19;%分子多项式den=5,6,20,0,0;%分母多项式t=0:0.1:10;%时间矢量y,x,t=step(num,den,t);%阶跃响应plot(t,y);%绘制曲线grid;%绘制网格xlabel('t');%绘制横坐标ylabel('y');%绘制纵坐标t图33单位加速度响应(2)当控制器传递函数D2(s)=kp+ki=19+丄(比例积分PI控制)时，系统闭环2Ps2s传递函数为：38s+l"=10

24、s3+12s240s+1单位阶跃响应的MATLAB程序命令如下：(33)num=38,l;den=10,12,40,l;t=0:0.1:10;y,x,t=step(num,den,t);plot(t,y);grid;xlabel('t');%分子多项式%分母多项式%时间矢量%阶跃响应%绘制曲线%绘制网格%设置横坐标%设置纵坐标ylabel('y');图34单位阶跃响应单位斜坡响应的MATLAB程序命令如下：num=38,l;%分子多项式den=10,12,40,l,0;%分母多项式t=0:0.1:10;%时间矢量y,x,t=step(num,den,t);%阶跃

25、响应plot(t,y);%绘制曲线grid;%绘制网格xlabel('t');%设置横坐标ylabel('y');系统响应曲线图如图3-5所示。%设置纵坐标50图35单位斜坡响应单位加速度响应的MATLAB程序命令如下：num=38,l;%分子多项式den=10,12,40,l,0,0;%分母多项式t=0:0.1:10;%时间矢量y,x,t=step(num,den,t);%阶跃响应plot(t,y)；%绘制曲线grid;%绘制网格xlabel('t');%设置横坐标ylabel('y');系统响应曲线图如图3-6所示。%设置纵坐

26、标图36单位加速度响应(3)当控制器传递函数为D3(s)=kp+ki+kDs=19+丄+袒(比例积分微分PID控3PsD2s19制)时，系统闭环传递函数为：木(、8s2+722s+19叽s)=190s3+236s2+760s+19(34)单位阶跃响应的MATLAB程序命令如下:num=8,342,19;den=190,236,760,19;t=0:0.1:10;y,x,t=step(num,den,t);plot(t,y);grid;xlabel('t');ylabel('y');%分子多项式%分母多项式%时间矢量%阶跃响应%绘制曲线%绘制网格%设置横坐标%设置

27、纵坐标系统响应曲线图如图3-7所示。0.7图3-7单位阶跃响应单位斜坡响应的MATLAB程序命令如下：num=8,342,19;%分子多项式den=190,236,760,19,0;%分母多项式t=0:0.1:10;%时间矢量y,x,t=step(num,den,t);%阶跃响应plot(t,y);%绘制曲线grid;%绘制网格xlabel('t');%设置横坐标ylabel('y');%设置纵坐标系统响应曲线图如图3-8所示。25图3-8单位斜坡响应单位加速度响应的MATLAB程序命令如下：num=8,342,19;%分子多项式den=190,236,760,

28、19,0,0;%分母多项式t=0:0.1:10;%时间矢量y,x,t=step(num,den,t);%阶跃响应plot(t,y);%绘制曲线grid;%绘制网格xlabel('t');%设置横坐标ylabel('y');系统响应曲线图如图3-9所示。%设置纵坐标图3-9单位加速度响应综上分析：对于比例控制系统、比例积分控制系统不能跟踪斜坡输入，对于比例积分微分控制系统能够跟踪斜坡输入；对于比例、比例积分、比例积分微分控制系统都不能跟踪加速度输入。3.2由扰动决定的系统响应(35)(1)当控制器传递函数为D(s)=kp=19(比例P控制)时，扰动系统闭环传递函数

29、为：0(s)=G=l+G(s)D(s)5s2+6s+20单位阶跃响应的MATLAB程序命令如下：num=l;%分子多项式den=5,6,20;%分母多项式t=0:0.1:10;%时间矢量y,x,t=step(num,den,t);%阶跃响应plot(t,y);%绘制曲线grid;%绘制网格xlabel('t');%设置横坐标ylabel('y');%设置纵坐标系统响应曲线图如图3-10所示。厂I图3-10单位阶跃响应单位斜坡响应的MATLAB程序命令如下：num=-l;%分子多项式den=5,6,20,0;%分母多项式t=0:0.1:10;%时间矢量y,x,t=

30、step(num,den,t);%阶跃响应plot(t,y);%绘制曲线grid;%绘制网格xlabel('t');%设置横坐标ylabel('y');系统响应曲线图如图3-11所示。%设置纵坐标-.5-0.1-.15-0.2»-0.25-0.3-.35-0.4-0.45-0.510图3-11单位斜坡响应单位加速度响应的MATLAB程序命令如下:num=l;%分子多项式den=5,6,20,0,0;%分母多项式t=0:0.1:10;%时间矢量y,x,t=step(num,den,t);%阶跃响应plot(t,y);%绘制曲线grid;%绘制网格xlab

31、el('t');%设置横坐标ylabel('y');系统响应曲线图如图312所示。%设置纵坐标-0.5-1-1.5-212345678910-2'5o图3-12单位加速度响应闭环传递函数为：2s°(s)10s3+12s2+40s+1(36)(2)当控制器传递函数D2(s)=kp+kl=19+丄(比例积分PI控制)时，扰动系统s2s单位阶跃响应的MATLAB程序命令如下：num=-2,0;%分子多项式den=10,12,40,l;%分母多项式t=0:0.1:20;%时间矢量y,x,t=step(num,den,t);%阶跃响应plot(t,y);%绘制曲线grid;%绘制网格xlabel('t');%设置横坐标ylabel('y');%设置纵坐标系统响应曲线图如图3-13所示。0图3-13单位阶跃响应单位斜坡响应的MATLAB程序命令如下：num=-2,0;%分子多项式den=10,12,40,l,0;%分母多项式t=0:0.1:20;%时间矢量y,x,t=step(num,den,t);%阶跃响应plot(t,y);%绘制曲线grid;%绘制网格xlabel(&